Kalman-féle rendszer definíció  = (T, X, U, Y, , , , ) ahol T – az időhalmaz X – a lehetséges belső állapotok halmaza U – a lehetséges bemeneti értékek halmaza Y – a lehetséges kimeneti értékek halmaza  - a lehetséges bemenet időfüggvények halmaza  - a lehetséges kimenet időfüggvények halmaza  - az állapotátmeneti függvény  - a kiolvasó függvény

Állapottér modell Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor y – a kimeneti vektor A – az állapotátmeneti mátrix B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix

Állapottér modell (folyt.) SISO MIMO dim(x) n n dim(u) 1 p dim(y) 1 r dim(A) nn nn dim(B) n1 np dim(C) 1n rn dim(D) 11 rp

Állapottér modell (folyt.) az állapottér modell blokkdiagramja

Állapottér modell - példa ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram

Állapottér modell - példa a leíró egyenletek: tartálybeli belépő kilépő mennyiség = áram - áram megváltozása 1. tartály 2. tartály

Állapottér modell - példa legyen a két állapotváltozó h1 és h2  x vektor elemei a bemenő változó Fi  u (egy bemenet) a kimenő változó F1  y (egy kimenet) az egyenletek átalakítása után:

Állapottér modell - példa ebből az állapottér modell: x = A  x + B  u x = C  x + D  u

Állapottér modell - megoldhatóság induljunk ki a rendszeregyenletből: Laplace-transzformálva x0 kezdeti feltételek mellett: átrendezve

Állapottér modell - megoldhatóság az (sI-A)-1 értelmezése: inverz Laplace-transzformálva: ahol eAt a mátrixexponenciális és t  0.

Állapottér modell - megoldhatóság inverz Laplace-transzformálva egyenletet: a kimeneti egyenlet:

Állapottér modell - megoldhatóság a megoldás értelmezése: pillanatnyi kiindulási bemeneti állapot = állapottól + változótól függő tag függő tag ha a bemeneti változó 0, akkor az első tag írja le a kezdő állapottól való függést eA(t-t0) = (t – t0) állapotátmeneti mátrix (nn-es mátrix) ha a kezdőállapot nulla, akkor a második tag írja le a bemenettől való függést: kényszerfüggvény

Állapottér modell – I/O modell kapcsolata induljunk ki az állapottér modellből: Laplace-tarnszformáljuk mindkét egyenletet zérus kezdeti feltétel mellett és fejezzük ki az első egyenletből X(s)-t: helyettesítsünk be a második egyenletben X(s) helyére:

Állapottér modell – I/O modell kapcsolata innen ez pedig nem más, mint az átviteli függvény: azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje között az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot

Állapottér modell – megfigyelhetőség Működés közben mérhető paraméterek a bemenetek u(t) és a kimenetek y(t). A modellhez viszont kellenek az állapotváltozók: Az így megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 időponthoz tartozó x(t0) kezdőállapothoz és u(t) = 0 bementhez létezik olyan t1> t0 időpont, hogy y(t) | t (t0, t1] kimenet ismerete elegendő x(t0) kezdőállapot megadásához.

Állapottér modell – megfigyelhetőség A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy a egyenletből x(t0) kiszámítható legyen. Ehhez viszont CeA(t1-t0) mátrix sorainak kell a vizsgált időközben lineárisan függetlennek lenniük.

Állapottér modell – megfigyelhetőség Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú: és r(On-1) = n

Állapottér modell – irányíthatóság A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor elemei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy az modell állapotváltozóit adott induló állapotból kiindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba.

Állapottér modell – irányíthatóság Def.: Állapotirányíthatóság A modellel leírt rendszert egy adott (t0,t1] teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0) kezdőállapothoz és tetszőleges x(t1) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdőállapotból a végállapotba átviszi.

Állapottér modell – irányíthatóság Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy az összefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az eA(t1-t0) B mátrixsorainak lineáris függetlenségét kellene vizsgálni. Ez nyilvánvalóan nehézkes feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alkalmazzuk.

Állapottér modell – irányíthatóság Tétel: Kalman-féle rangfeltétel A szokásos módon megadott állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett irányíthatósági mátrix teljes rangú: és r(Cn-1) = n

Állapottér modell – irányíthatóság Megj.: Létezik ún. kimenet-irányíthatóság is, amikor y(t1) vagyis a kimenet értékeire írunk elő követelményeket. egy kimenetű rendszereknél triviálisan teljesül szóhasználat: irányíthatóság  állapotirányíthatóság megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve kapcsolatba hozható más állapottér tulajdonságokkal.

Állapottér modell – tulajdonságok állapottér modell megfigyelhető és irányítható az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető az állapotváltozók száma minimális

Állapottér modell – tulajdonságok Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető: nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel. Állapotváltozók száma minimális: ha kevesebb állapotváltozóval írjuk le a rendszert, akkor nem ugyanazt a rendszert kapjuk (nem egyeznek meg az átviteli függvények).

Állapottér modell – tulajdonságok Megj.: Az állapottér modell nem egyértelmű, definiálhatók ún. hasonlósági transzformációk, melyekkel a rendszer áttranszformálható másik alakra, de az átviteli függvény nem változik!

Állapottér modell – stabilitás Stabilitás fogalmak Tekintsük a állapottér modellt. BIBO stabilitás Korlátos bemenetre korlátos kimenet – külső stabilitás Belső stabilitás a modell – adott együttható mátrixokkal leírt rendszer stabilitása

Állapottér modell – stabilitás Def.: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi modell azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

Állapottér modell – stabilitás Def.: Stabilitási mátrix Egy ARnn mátrixot stabilitási mátrixnak nevezünk, ha valamennyi saját értéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám: Re{i(A)}<0, i esetén Megj.: A sajátérték fogalma Egy ARnn mátrix sajátértékei a | I - A | = 0 egyenlet i gyökei. Az nn-es mátrixnak n db sajátértéke van.

Állapottér modell – stabilitás Tétel: Egy adott állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A mátrix stabilitási mátrix. Tétel: A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást. (Ha egy modell belső stabilitású, akkor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.)

Állapottér modell – stabilitás Stabilitásvizsgálati módszerek: Stabilitási mátrix definíciója alapján: A mátrix sajátértékeinek meghatározásával (csak max. három állapotváltozós rendszerek esetében). Ljapunov kritérium

Diszkrét állapottér modell Diszkrét idejű állapottér modell az időtartományban kitüntetett időpontok adottak a változók értékei csak ezekben a mintavételi időpontokban ismertek az állapottér modell első egyenlete differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható a származtatásnál feltételezzük, hogy a bemenő jel(ek) egy nulladrendű tartón keresztül jut(nak) a rendszerbe

Diszkrét állapottér modell A lineáris, időinvariáns, diszkrét idejű állapottér modell: ahol A, B a folytonos idejű modell együttható mátrixai, T a mintavételi idő

Diszkrét állapottér modell - megoldás Legyen x(0) a kezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, ekkor

Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. Diszkrét idejű pulzus válasz függvény h(k) : Induljunk ki a diszkrét állapottér modell előbb levezett megoldásából és helyettesítsük be a kimeneti egyenletbe: ebből látható, hogy

Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv. A diszkrét idejű átviteli függvény a diszkrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz: illetve

Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség Def.: Megfigyelhetőség Egy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőnek nevezzük, ha véges k számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-kimenet párok ismerete elégséges a kezdőállapot megadásához:

Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú: és r(WO) = n

Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság Diszkrét idejű rendszereknél megkülönböztetjük a irányíthatóságot elérhetőséget Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is.

Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság Def.: Irányíthatóság Egy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt irányíthatónak nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba x(k)=0 átvihető.

Diszkrét állapottér modell - elérhetőség Def.: Elérhetőség Egy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt elérhetőnek nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba x(k) átvihető.

Diszkrét állapottér modell - elérhetőség Kalman-féle rangfeltétel az elérhetőségre: A szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett elérhetőségi mátrix teljes rangú: és r(WC) = n

Diszkrét állapottér modell - stabilitás folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjük itt is a a külső (BIBO) és a belső (nulla bementi) stabilitást kiindulási modell itt is a diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell.

Diszkrét állapottér modell - stabilitás Def.: Belső stabilitás Tekintsük a x(k +1) = x(k) x(0)  0 azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(k) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

Diszkrét állapottér modell - stabilitás Tétel: Egy diszkrét idejű állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha a  mátrix saját értékei az egység sugarú körön belül vannak: i() < 1