Készítette: Péteri Dénes A π meghatározása Készítette: Péteri Dénes

A π általános tulajdonságai Valós szám (R) Irracionális (Q*) Transzcendens a kör kerületének és átmérőjének aránya ( ) Egységnyi sugarú kör kerülete

A π jelölése A görög ábécé tizenhetedik betűjével jelöljük (π) Görög neve: περιφέρεια = periféria, kerület körkörös állandó Archimedes-i állandó Ludolph-féle szám

A π számértéke Matematikában vagy fizikában általában csak néhány tizedesjeggyel szokás számolni (3,14), de a tizedesjegyek száma végtelen. Modern számítástechnikai módszerekkel már több mint egymilliárd tizedesjegyig kiszámították az értékét. A π értéke 100.000 helyiértékig:

A π története

A π története

A π kiszámított helyes helyiértékeinek száma 263–1949-ig

A π számítógéppel való kalkulációja

A π kiszámított helyes helyiértékeinek száma 1949–2004-ig

Archimedes sokszögesítési módszere A körbe és a kör köré írt szabályos sokszögek vizsgálatával

A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata

A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata

A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata => n – 1 db négyzetgyök

A körbe írt szabályos 2n oldalú sokszög vizsgálata A 2n oldalú beírt szabályos sokszög kerülete: n – 1 db négyzetgyök

Sokszögesítési módszer Liu Hui (263) 29*6 oldalú sokszög

Végtelen sorozatok Leibniz-féle sor: 1400 körül - Madhava of Sangamagrama 17. sz. – Gottfried Leibniz Egy átalakított változata:

Végtelen sorozatok Viéte-féle sor François Viète (1593) Wallis-formula John Wallis (1655)

Végtelen sorozatok Isaac Newton (1665) – 16 tizedesjegy Machin-formula John Machin (1706) – 100 tizedesjegy ahol

Végtelen sorozatok Euler-féle sor Leonhard Euler (1735) Euler egyik másik képlete:

Végtelen sorozatok William Brouncker lánctörtje: Csebisev-sorok (1957): Egy szimmetrikus formula (1997):

Bailey-Borwein-Plouffe formula 1995. - Simon Plouffe David H. Bailey, Peter Borwein A képlet lehetővé teszi, hogy kiszámoljuk a π n-edik bináris (vagy hexadecimális) számjegyének kiszámítását anélkül, hogy ki kéne számolni az előző jegyeket.

PiHex Distributed computing project (1998-2000) Bellard formula: 1998. augusztus 30. – 5*1012-tól 5*1012+76-ig: 00111111001000101011100110011110011000111100100001011010110110101100101111001 1999. február 9. – 4*1013-tól 4*1013+64-ig: 00000111110011111111100110111000111010001011101011001001111100000

PiHex 2000. szeptember 11. – 1015-től 1015+60-ig: 0011000100001011010110000011010011100101101101100000111010011 A legutolsó mérés 56 különböző országban lévő 1734 számítógép felhasználásával, 1,200,000 CPU óra alatt történt. A 1,000,000,000,000,060. helyen álló 1-es a π kiszámított legkisebb helyiértéken álló számjegye.

Ramanujan-képletek Srinivasa Ramanujan (1910): Ramanujan képleteivel 14 tizedesjegyet lehet generálni számításonként. 1989. - Chudnovsky testvérek - 1,011,196,691 tizedesjegy

Brent–Salamin algoritmus 1975. - Richard Brent, Eugene Salamin 25 iteráció kell ahhoz, hogy 45 millió helyes tizedesjegyhez jussunk. 1999. - Yasumasa Kanada - 206,158,430,000 tizedesjegy

K. Takano és F. C. W. Störmer algoritmusa Machin algoritmusát fejlesztették tovább K. Takano (1982): F. C. W. Störmer (1896): E két képlet alapján számolta ki Yasumasa Kanada 2004-ben 1,351,100,000,000 tizedesjegyig a π-t. Ez a legtöbb tizedesjegy, amit valaha kiszámítottak.

Programok a π kiszámítására PiFast - Xavier Gourdon (2003) QuickPi - Steve Pagliarulo PdPi – Péteri Dénes (2009)

PdPi Leibniz-féle sor spi: számított π értéke n: számítások száma el: előjel spi:=spi+4*el/(2*n-1)

PdPi A program letöltehtő: http://petden_wow.extra.hu/pdpi.exe A forráskód letölthető: http://petden_wow.extra.hu/pdpi.pas További információk: http://petden_wow.extra.hu/pdpi.html peteri.denes@gmail.com http://petden.try.hu/