talp-1

This chapter is about the orthic triangle of the isosceles triamgle. This type of triangle is very interesting in itself. Now we will examine the connection between this triangle (or rather the focus of the incircle of this triangle) and the focus of the circumcircle of the original triangle. After this we will generalize the orthic triangle and will examine the connection between the generalized orthic triangle and the original triangle. At the end of the chapter there is some homework. Good luck to it! talp-2

Talpponti háromszögnek nevezzük a hegyes szögű háromszög magasságainak talppontjai alkotta háromszöget MTBP húrnégyszög ATMQ szintén húrnégyszög Az APC, BQC háromszögekből Tehát az ABC háromszög CT magassága a PQT háromszögben szögfelező talp-3

Azt kaptuk, hogy a hegyes szögű háromszög M magasságpontja a TPQ talpponti háromszögének a be- írható körének a középpontja. talp-4

Most rajzoljuk meg egy KLM háromszög közép- vonalait és oldalfelező merőlegeseit Az O pont KLM-ben a köré írt kör középpontja, EFG- ben pedig magasságpont Tehát a hegyes szögű háromszög köré írt körének középpontja a középvonalai alkotta háromszögnek éppen a magasságpontja. talp-5

A kapott két eredményt egybevetve arra jutottunk, hogy a hegyes szögű háromszög köré írt körének középpontja a középvonalai alkotta háromszög talpponti háromszögének a beírható körének a középpontja. A K pont ABC-ben a köré írt kör közép- pontja, EFG-ben ma- gasságpont, PQR-ben a beírható kör közép- pontja. talp-6

Általánosítjuk a talpponti háromszöget: legyen P az ABC háromszög tetszőleges belső pontja. P-ből az oldalakra állított merőlegesek talppontjai A 1 B 1 C 1. Az A 1 B 1 C 1 háromszöget nevezzük a P ponthoz tartozó első talpponti háromszögnek. P-ből az A 1 B 1 C 1 háromszög oldalaira állított merőlegesek talppontjai legyenek A 2 B 2 C 2. Ezt a háromszöget mondjuk a P ponthoz tartozó második talpponti háromszögnek. Az eljárást n- szer folytatva megkapjuk a P ponthoz tartozó n-edik talpponti háromszöget talp-7

Megmutatjuk, hogy a harmadik talpponti háromszög min- dig hasonló az eredeti háromszöghöz négyszögek húrnégyszögek a pirossal jelzett szögek egyenlők talp-8

négyszögek szintén húrnégyszögek a kékkel jelzett szögek is egyenlők Tehát talp-9

Legyen T az ABC he- gyes szögű három- szög A-ból induló magasságának talp- pontja. Igazoljuk, hogy T-ből az AC, BC oldalakra, vala- mint a másik két ma- gasságra állított me- rőlegesek talppontjai egy egyenesre illesz- kednek! Házi feladat Jöjjön végül egy talp-10

A házi feladat megoldása Megmutatjuk, hogy az S, K, L pontok egy egyenesbe esnek (a K, L, R pontkora ugyanígy lát- ható be). mert KTLM húrnégyszög mert merőleges szárú hegyes szögek mert QC és ST párhuzamosak mert SKTB húrnégyszög (Thalesz) talp-11

Arra jutottunk, hogy az ábrán azonos módon jelölt szögek egyenlők: Tehát az S, K, L pontok valóban egy egyenesen vannak talp-12