Félévi követelmény (nappali) előadásokon rövid zárthelyi (min. 5) gyakorló feladat beadása és bemutatása a gyakorlatokon (max. 10 perc) Min. 3 zh. jegyből és a gyakorlatokon tapasztalt munka alapján gyakorlati jegy Pótzárthelyi csak különleges esetben.

A félév tananyaga A természetes szám fogalma Halmazelmélet Számok írása Matematikai logika Racionális számok Természetes számok Oszthatóság Számrendszerek

Számfogalom kialakítása problémák felvetése Hány pénzed van? Mennyi pénzed van? Hány családod van? Hány tagú a családod? Heisenberg (atomfizikus) írása a nyelvről – a szavak jelentése Egy – az egység fogalma A természetes számok fogalma Halmazelméleti megközelítés Axiomatikus megközelítés

A fogalomalkotás problémája Mefisztó: . Szavakhoz tartsd magad! Hiába a bizonyosság templomába biztos kapun így léphetsz be csak. Tanítvány: De a szóhoz fogalom is tapad. Mefisztó: Jó, jó! Túlságosan sok még az aggodalmad; éppen hol nincsenek fogalmak, megfelelő szó hamarost akad.”

Misztifikált számok Az egy – egység fogalma – törtek száműzése A számok vizsgálata: a világ harmóniájának leírása érdekében történtek Páros és páratlan számok – műveletek Tökéletes szám egyenlő a nála kisebb osztóink összegével 1+2+3=6 1+2+4+7+14=28 Baráti számpár: bármelyik egyenlő a másik osztóinak összegével (220, 284), (1184,1210)

A püthagóreusok zeneelmélete Szümphónia – összecsengés (négy kalapács hangja) - rezgésszámok Oktáv 2:1 Kvint 3:2 Kvart 4:3 A konszonáns hangközök az 1,2,3,4 számokkal jellemezhetők

Harmónia Az alaphangot adó húr legyen 12 egység 12:9=8:6, 9=(6+12)/2, 8=(6*12)/((6+2)/2) Az aránypár második tagja a külső tagok számtani közepe, a harmadik tagja a külső tagok harmonikus közepe: „arany aránypár”

„háromszögszámok” O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 AZ N-IK „HÁROMSZÖGSZÁM” (n+1)n/2

„téglalapszámok” O O O O O O O O 3*4=12 2*5=10 Az n-ik n(n+1) alakú szám az első n páros szám összege Térbeli alakzatokból köbszámok összegét számolták

Számírás

kínai

Halmazelméleti alapfogalmak Halmaz: dolgok, tárgyak, fogalmak, személyek összessége. Jelölés: H={a,b,c} az a halmaz, amelynek elemei a, b és c Szemléltetés: Venn-diagram

Műveletek halmazokkal Únió Metszet Különbség A U B Komplementer A A B A \ B

Halmazok úniója A={a II. évfolyamos, szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége} B={a II. évfolyamos, barna, vagy vörös hajú hallgatók összessége} AUB={A II. évfolyamos, barna, vagy szőke, vagy vörös hajú hallgatók összessége} Alaphalmaz: az AVKF nappali tagozatos hallgatói

Descartes szorzat Rendezett pár fogalma y x Rendezett pár fogalma Descartes szorzat A x B ={¸(a,b)|a€A,b€B} – példa: koordinátarendszer Ha A=B, akkor AxA=A2 jelölés is használatos Ha A, vagy B üres halmaz, akkor AxB={} Általánosítás A1xA2x….An={a1;a2;…an)|a1€A1;a2€A2…an€An}

Megfeleltetések, relációk, függvények Irányított kapcsolat (szülő, gyerek kapcsolat) Megfeleltetés – kétváltozós (binér) reláció r Í A x B , (a,b)€ r azt jelenti, hogy a r relációban áll b-vel. A kisiskolás feladatok között nagyon gyakori! (pl. nevek-virágok) Nem irányított kapcsolat (megtett út és a szükséges idő kapcsolata)

Halmazok számosságának fogalma Azonos számosságú, vagy számosságilag ekvivalens halmazoknak nevezzük azokat a H1 és H2 halmazokat, amelyekhez létezik olyan leképezés, amely kölcsönösen egyértelműen (bijektív) képezi az egyik halmazt a másik halmazra. Jelölés: |H1|=|H2|

A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy Legyen benne üres halmaz Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz. Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

A természetes számok halmaza A természetes számok halmaza végtelen számosságú, Jelölése: N={1,2,3,…..} Megjegyzések Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg. A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk. A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

A természetes számok axiomatikus értelmezése Alapfogalmak Természetes szám A nulla (0) rákövetkezés Axiómák

A természetes számokra vonatkozó axiómák Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző. Ha egy T tulajdonság olyan, hogy Igaz a k0€N számra, továbbá Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k0, k€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

Műveletek természetes számokkal Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB| Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B| Osztás a,b€N, a:b az a c€N, melyre bc=a

A számfogalom bővítése Műveleti tulajdonságok Kommutatív A+b=b+a, ab=ba Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) Disztributív (a+b)c=ac+bc