A természet törvényei A természetben és a művészetekben felfedezhető arányok nem a misztikum homályában, hanem az élet nagyon is valóságos törvényeinek érvényesülésében keresendők. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Aranymetszés Aranymetszésnek nevezik egy szakasz két olyan részre való felosztását, melyek közül a kisebb (rövidebb) szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbikhoz (hosszabb), mint az az egészhez. Másképp fogalmazva: a hosszabb szakasz mértani közép arányos a rövidebb szakasz és az egész távolság között. Az aranymetszés szerkesztése a szelő tételen alapszik. (Tétel: A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. ) készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Az ötszög Az egyik Platóni-testnek, a dodekaédernek alapja az ötszög, melynek szerkesztéséhez már Platónnak is ismernie kellett az aranymetszést. A szabályos ötszög átlói aranymetszés szerint osztják egymást. Az ötszög mint jelkép már az ősidőktől fogva, mint egység, és ugyanakkor az univerzum szimbóluma. Jelképe a termékenységnek és az életnek is. Öt ujjunk van, ennyi az érzékszerveink száma és a természetben is lépten-nyomon találkozunk ezzel a számmal. Nagyon sok virág öt szirmú. A mezei juhar levelei az öt ujjunkhoz hasonlóan öt karéjból állnak, a levelek részeinek méretviszonyaiban aranymetszési arányok fedezhetők fel. A szabályos ötágú csillag alakzatban is megfigyelhetőek az aranymetszés arányai. A Pithagoreusok az emberi mikrokozmosz tökéletes számának tartották, és titkos jelként használták. A középkor asztrológiai ábráin az ötszög csúcsainál az öt főbolygó (Merkúr, Vénusz, Mars, Jupiter, Szaturnusz) neve szerepel. Az öt elem jelképeként is megjelenik. Ötágú csillag a szabad kőművesek jele, és az ötágú csillagból alkotott ábra a boszorkányok titkos jele, a boszorkányszög Szabad kőművesek jele készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola boszorkányszög

Csigavonal Egy téglalap, amelynek oldalai az aranymetszés szerint aránylanak egymáshoz felosztható egy négyzetre és egy olyan téglalapra, amelynek oldalai az aranymetszés szerint aránylanak egymáshoz. Minden téglalap tovább osztható, és az alakzatokat összekötve csigavonalat (*logaritmikus spirált) kapunk. *lásd: 12. dia készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Példa az aranymetszés megjelenésére Kodály Zoltán R. Engel-Hardt 60 tölgyfáról 500 ép állapotú levelet szedett össze, melyek közül 235 pontosan megfelel az aranymetszés szabályainak, és a többi is csak pár milliméterben tér el. A méhkasokban a hím és nőstény méhek aránya phi (~1,618). Az ötkarú tengericsillag pentagramm alakú, sugaras szimmetriájú, bár ennek egyszerű oka az alkalmazkodás, mivel ez fokozza az állat szilárdságát a mechanikai igénybevétel során. A nautilus nevű polipfaj esetén, ahol a szelvények az aranymetszés szabályai szerint növekednek. Néhány cég logoját az aranymetszés szabályai szerint tervezték meg, úgy mint a Kit-Kat, a National Geographic, a Visa, vagy a MasterCardét. A fülünk is előnyben részesíti az aranymetszést. A zenében elsőként Ockeghem, flamand zeneszerző alkalmazta tudatosan Magyar zeneszerzők közül Bartók és Kodály műveiben fedezhető fel az aranymetszés alkalmazása. Kodály Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245. vagyis a 395x0,618-adik taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: „Istenben vessed bizalmadat.” Bartók kétzongorás-ütőhangszeres szonátájának reprízbelépési pontja esik az aranymetszés helyére (274/443). További műveik, amelyekben tetőpont az aranymetszés helye: Mese a kis légyről, Tört hangzatok, Háry János. Bartók Béla készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Példa az aranymetszés megjelenésére Az ábra a korai keresztény időből, a 3. századból való Krisztus monogrammal egyesített, az életet jelképező ankh-keresztet ábrázol. A kereszten az aranymetszés arány több helyen is megtalálható. A két alsó keresztgerenda hossza a keresztoszlop magasságának hosszabb, illetve rövidebb aranymetszete. A két keresztgerenda együttes hossza megegyezik az oszlop magasságával, a kör középpontja az oszlopnak a talpponttól a legfelső gerendáig terjedő távolságát aranymetszésben osztja. A legfelső keresztgerenda középpontja a középső keresztgerenda alsó élétől a kereszt csúcsáig mért távolságnak, a p betű felső görbülete a betű teljes hosszának aranymetszete. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Aranymetszés a művészetben A görög művészetben a Pantheon arányait megfigyelve vehetjük észre az általuk „divina proportió”-nak (isteni arány) nevezett szabályokat. Leonardo da Vinci Vitruvius-tanulmányán az emberi testet tanulmányozva fedezhetjük fel testünk aranymetszés arányait. Vitruvius, római építész, aki arányrendszerében az emberi test arányait vette alapul. Ha egy ember a hátára fekszik és kinyújtja kezeit és lábait, akkor létrejön egy kör, amelynek középpontja a köldöke. Ha az ujjhegy és a könyök távolságát egy egységnek vesszük, akkor a csukló az aranymetszés pontján van. Ha fejtől a sarokig nézzük, és a saroktól a köldökig, akkor ezeknek az aránya is phi az egyhez, és ugyanez az arány jellemzi a csípőtől a sarokig, illetve a térdtől a sarokig mért távolságokat. Számos festményen felfedezhető az aranymetszés, mint például: Da Vinci Mona Lisa-ja(balról az első kép), vagy George Seurat a Fűrdőzés Asniéres-ben cimű olajfestménye (balról a második kép). Piet Mondrian konstruktivista festő a Kompozició vörössel, sárgával és kékkel című képét szintén így készítette el (balról a harmadik kép). A kép szépsége arányaiban rejlik. Csontváry Kosztka Tivadar, Baalbek című művének Naptemplom részlete úgy van elkészítve, hogy a "naptemplom kapu”, illetve az előtte várakozó alakok a festmény aranymetszés-pontjába esnek (balról a negyedik kép). Szintén az aranymetszés arányrendszere szerint épült a Szent Péter bazilika Rómában, de az építészetben számos helyen megtalálhatjuk még az isteni arányt. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Fibonacci-sorozat Egy olyan sorozat, melynek első két eleme az 1, minden utána következő elemet az előtte álló két elem összeadásával képezünk. (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89…) A sorozat (n+1)-edik eleme a harmadik elemtől a következő módon állítható elő: an+1=an+an-1 Fibonacci találta meg elsőként, 1202-ben, de később Kepler is tanulmányozta a jelenséget természetbeni példákkal összevetve a The Six Cornered Snowflake című könyvében. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Fibonacci-sorozat a természetben Leonardo Pisano, ismertebb nevén Fibonacci (Bonaccio fia) kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. Leonardo híres művében található a következő probléma: egy nyúlpár, amely először két hónapos korában lesz szaporulat képes, havonta egy új nyúlpárnak ad életet. Az utódok első szaporulatára szintén két hónapot kell várni, de azután azok is hasonló ütemben hoznak létre új párokat. Hogyan alakul a nyúlpárok száma, ha mindegyikük életben marad? A feladat megoldásában kövessük a nyúlpárok számának időbeli alakulását! Így az első és a második hónapban egy nyúlpárunk van. A harmadik hónapban a számuk egyről kettőre változik. A következő hónapban megszületik a harmadik pár. Az ötödik hónapban azonban már az új pár is szaporulat képes, így az új párok száma már kettővel nő és az összes párok száma ötre gyarapodik. Az egyes hónapokhoz tartozó nyúlpárok számát leíró számsorozat: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Fibonacci-sorozat néven vonult be a köztudatba. Az előző növekedési modellhez hasonlóan Fibonacci-sorozattal írható le egyes fafajtáknál az ágak számának évenkénti alakulása is. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Példa a Fibonacci-sorozat megjelenésére A porzók és a virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak és a nősziromnak 3; a haranglábnak, a boglárkának és a vadrózsának 5; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak 8; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 21; a fodroslevelű margitvirágnak az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van. Az irodalomban is megjelenik, így például Dan Brown bestsellerében, A Da Vinci-kódban is és és Darren Aronofsky filmjében, a π-ben (az aranymetszéssel együtt). Bartók Béla is tudatlanul használta ütemsorrendek hosszúságának tagolására a Fibonacci-számokat, teljesen indirekt módon. Lendvai Ernő magyar zenetörténész fedezte fel ezt az összefüggést a szerző műveiben, később más zenékben is megtalálták ennek a számsornak a megjelenését. Az építészetben is sok *Fibonacci-spirál inspirálta épületet találhatunk. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola *lásd: 12. dia

Az aranymetszés és a Fibonacci-sorozat matematikai összefüggése A Fibonacci-sorozat valószínűleg a legismertebb matematikai sorozat: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 A következő elem mindig az előző kettő összege. A sorozat egyre nagyobb sorszámú elemeinek hányadosa egy állandó számhoz, az aranymetszéssel kapott hosszabbik szakasznak a rövidebbikhez való arányához közelít. A sorozat határértéke phi. (~1,618) készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

A Fibonacci-spirál (és a csigavonal kapcsolata) Az arányosan növekvő sugarú spirál: a legegyszerűbb szabályos csigavonal vagy spirál leírásával már Arkhimedész munkáiban is találkozunk. Az arkhimedészi spirál jellemzője, hogy a spirált leíró P pontnak a kezdőponttól való távolsága arányos az elfordulás szögével. Ebből következik, hogy két egymást követő ív közötti távolság nem változik: az arkhimedészi spirál állandó szélességű csigavonal. Gyakorlatban a lemezjátszó tűje ilyen spirált ír le, valamint ehhez a spirálhoz jutunk állandó vastagságú anyagok (pl. szőnyeg) feltekerésével. A logaritmikus spirál: Megfigyelhetjük, hogy a csigák mészháza alkotta két egymást követő íve között a távolság állandóan növekszik. Ha ez a növekedés arányos az elfordulás szögével, a csigavonalon mozgó pont középponttól való távolsága exponenciális függvény szerint nő. Az így keletkezett görbe neve logaritmikus spirál. A logaritmikus spirál és az aranymetszés: a spirál középpontján áthaladó bármely egyenes a spirálokkal alkotott két átellenes metszéspontja közötti távolságot az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja. A logaritmikus spirálnak megfelelő alakzatok megjelenése nem tekinthető véletlennek: ebben a természet bővített újratermelési tendenciája, önmagához hasonló alakzat létrehozására irányuló önreprodukciós törekvése jut kifejezésre. Ez jól megfigyelhető az éticsiga és a nautilusz mészházán. készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Közös megjelenésük a természetben A növények szárán az egymást követő levelek elfordulása (a phyllotaxis) többnyire, egyes becslések szerint 90%-ban Fn / Fn + 2 teljes kör. Például szilfa és hárs esetén 1/2. Bükknél, mogyorónál és szedernél 1/3. Tölgynél, almánál, cseresznyénél és meggynél 2/5.Nyárnál, rózsánál és baracknál 3/8. Fűznél és mandulánál 5/13. Ezek az arányok éppen a lánctörtbe fejtésekor kapott közelítő törtek ( az aranymetszés). A rózsafélékre jellemző az 5 többszöröse, és ahol az 5 sziromlevél sugárszimmetriában helyezkedik el, ott a kiterített virág kör alakú tányérjában szabályos ötszög rajzolódik ki. De nem csak a szirmok esetében találunk Fibonacci- számokat. Ha megnézünk egy óriási napraforgót, virágocskák egy figyelemre méltó mintáját látjuk rajta - apró virágok, ezek amelyekből a végén mag lesz - a fejben. A virágocskák két, egymást átmetsző spirálcsaládba rendeződnek, az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellenkező irányba. Egyes fajtáknál az első fajta spirálok száma 34, a másik fajtáé 55. Ez két egymás utáni Fibonacci-szám. A pontos számok a napraforgó fajtájától függnek, de gyakran találunk 34-et és 55-öt vagy 55-öt és 89-et, akár 89-et és 144-et, a következő Fibonacci-számot. Az ananásznak 8 sor pikkelye, ezek a sorok bal fele lejtenek, 13 pedig jobb fele.  készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola

Források Hámori Miklós: Arányok és talányok, 1994 Hermann Weyl: Szimmetria, 1982 Imrehné Sebestyén Margit: A képzelet világa 1. Rosie Dickins & Mari Griffith: Bevezetés a művészetbe Sain Márton: Nincs királyi út!, 1986 Falus Róbert: Az aranymetszés legendája, 1982 Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, 1974 www.sulinet.hu www.jgytf.u-szeged.hu www.wikipedia.hu www.einstein1.freeblog.hu Képek: Google és Hermann Weyl: Szimmetria, 1982 Felkészítő Tanár: Kertai Helga készítette: Telek Zsófia és Peti Fruzsina, Városmajori Gimnázium és Kós Károly Általános Iskola