Halmazok

Halmaz: Nem definiált alapfogalom Elemeinek megadása: 1. Elemeinek felsorolásával {a,b,c} 2. Tulajdonság (predikátum) megadásával {x: P(x)} vagy {x | P(x)}

Speciális halmazok: Üres halmaz, melynek nincs eleme Ø vagy { } Természetes számok halmaza N Egész számok halmaza Z Racionális számok halmaza Q Valós számok halmaza R Komplex számok halmaza C Hatványhalmaz P(X) „X” halmaz összes részhalmazának halmaza. |X|<|P(X)|

Halmazokon értelmezett relációk: „A” halmaz részhalmaza „B”-nek, ha az „A” halmaz elemei egyúttal „B”-nek is elemei. „A” halmaz valódi részhalmaza „B”-nek, ha „A” részhalmaza „B”-nek, de A≠B. Halmazok egyenlősége: „A” részhalmaza „B”-nek, és „B” részhalmaza „A”-nak.

Asszociativitás (csoportosíthatóság) Kommutativitás (felcserélhetőség) Disztributivitás (széttagolhatóság) balról disztributív jobbról disztributív Zártság „A” halmaz egy műveletre akkor zárt, ha bármely két elemére felírva a műveletet, az eredmény is eleme az „A” halmaznak.

Halmazokon értelmezett műveletek Egyesítés (unió): AUB elemei pontosan azok az elemek, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei. -kommutatív -asszociatív -AUA=A, azaz idempotens -AUØ=A

Halmazokon értelmezett műveletek Metszet (közös rész) A∩B elemei pontosan azok az elemek, amelyek mind „A”-nak, mind „B”-nek elemei. -kommutatív -asszociatív -A∩A=A (idempotencia) -A∩Ø=Ø

Halmazokon értelmezett műveletek Halmazok különbsége („B” halmaz „A”-ra vonatkozó komplementere) A\B elemei pontosan azok az elemek, amelyek „A”-nak elemei, és „B”-nek nem. -nem kommutatív

Halmazokon értelmezett műveletek Komplementer halmaz (Kiegészítő halmaz) „B” halmaz komplementere, valamely „C” halmazra vonatkoztatva (melynek „B” részhalmaza), „C” azon elemei, amelyek nem elemei „B”-nek. C B

Halmazokon értelmezett műveletek Szimmetrikus differencia AΔB elemei pontosan azok az elemek, amelyek vagy „A”-nak, vagy „B”-nek elemei, de nem elemei mindkettőnek. A B -kommutatív -asszociatív -AΔA=Ø -AΔØ=A

Halmazokon értelmezett műveletek Szorzathalmaz (halmazok direkt (Descartes) szorzata) AxB elemei mindazon rendezett (a,b) elem párok, melyekre A={1,2,3} B={a,b,c} AxB a b c 1 (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,a) (3,b) (3,c) -nem kommutatív

Fontosabb képletek Elnyelési tulajdonságok: Disztributivitás: De Morgan-képletek:

Halmazok számossága |A|=|B| Két halmaz („A” és „B”) ekvivalens, ha van olyan kölcsönösen egyértelmű leképzés, amely „A” minden eleméhez „B” valamely elemét rendeli hozzá (létezik az f: A→B bijekció). A~B Az ekvivalens halmazok számossága megegyezik. |A|=|B| Egy halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha ugyanannyi eleme van, mint a természetes számok halmazának. A valós számok halmazának számossága kontinuum.