Hálózatok a fizikában és a fizika oktatásában Farkas Illés MTA-ELTE Statisztikus és Biológiai Fizika kutatócsoport Békéscsaba, 08. márc. 29.

Érdekes példák Bevezetés komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, … alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok kísérletek (megfigyelések), modellezés, … Megfigyelések hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak szomszédaim gyakran ismerik egymást néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van Modellek Erdős-Rényi Kis világ Skálafüggetlen Érdekes példák

Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. Példák Betű  szó  mondat  bekezdés  fejezet  könyv Tanuló  csoport  osztály  iskola Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom

Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. Példák Betű  szó  mondat  bekezdés  fejezet  könyv Tanuló  csoport  osztály  iskola Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom Csoportok, hierarchia * Tartalmazási * Alárendelési Dékán Intézetvezetők Tanszékvezetők

Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. Példák Betű  szó  mondat  bekezdés  fejezet  könyv Tanuló  csoport  osztály  iskola Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom Csoportok, hierarchia * Tartalmazási * Alárendelési Dékán Doktori Iskola vezetője Intézetvezetők Tanszékvezetők

Utak részletes térképe Hálózatok (gráfok) A komplex rendszerek vizsgálatára gyakran használt eszköz: . Rendszer alkotóeleme – hálózat pontja . Két elem (résztvevő) között kapcsolat v. hasonlóság – két pont összekötése a hálózatban Előny: . Szerkezetet jól megőrzi: csoportok (csoportosulások, modulok, klaszterek), hierarchikus szerveződés Megjegyzés: . Hálózatban általában nincsen tér (koordináták) Utak részletes térképe Hálózat csúcspontok: utak élek: kereszteződések Csúcs csoportok a hálózatban Települések Megyék (régiók) Országok Kontinensek

Hálózatok (gráfok) Ci = 1 / 3 N, E csúcsok és élek száma szomszédok közötti élek száma Ci = 1 / 3 Klaszterezettség (egy csúcspont) szomszéd csúcs N, E csúcsok és élek száma ki i. csúcs fokszáma, átlagos érték: <k> L átlagos legrövidebb úthossz Ci i. csúcs klaszterezettsége C átlagos csomósodás (clustering) Két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza) A B d A B = 2 hurok fa

Megfigyelések hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak szomszédaim gyakran ismerik egymást néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) Definició, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza) B A d A B = 2

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) Definíció, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza) B A d A B = 2 Karinthy (1929), Minden másképpen van (Láncszemek) Tessék egy akármilyen meghatározható egyént kijelölni a Föld másfél milliárd lakója közül, bármelyik pontján a Földnek -- ő fogadást ajánl, hogy legföljebb öt, más egyénen keresztül, kik közül az egyik neki személyes ismerőse, kapcsolatot tud létesíteni az illetővel, csupa személyes ismeretség alapon. Stanley Milgram kísérlete (1967): levelezőlapok továbbítása Kiindulás: Omaha, Célpont: Boston Továbbítás csak közvetlen ismeretségeken keresztül Eredmény: célba ért képeslapok átlagos lépésszáma: 5.5  “hat lépésnyi világ”

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L Példák „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L Példák „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi) N <k> L 225 226 61 3.65 4 941 2.67 18.7 282 14 2.65 Filmszínészek hálózata Erősáramú rendszer C. elegans idegsejtek Watts, Strogatz, 1998, Science

Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L Példák „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi) WWW részhalmazok Barabási, Albert, 1999, Science mérés N = 325,729 (nd.edu) : L = 11.2, illesztés mérési pontokra L = 0.35 + 2.06 log N jóslat teljes www-re N ≈ 8*108 (1999-ben)  L ≈ 19 N <k> L 225 226 61 3.65 4 941 2.67 18.7 282 14 2.65 Filmszínészek hálózata Erősáramú rendszer C. elegans idegsejtek Watts, Strogatz, 1998, Science

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) Mark Granovetter (1973) Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magas C és alacsony L

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) Mark Granovetter (1973) Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magas C és alacsony L Példa hálózat és kérdések (szociometria): Csúcspontok: diákok Élek: A és B tudják egymás testvéreinek nevét, ha túl sűrű (ritka) a hálózat, módosított kérdés (pl. iwiw-en bejelölték egymást) Kérdések: N, E  betöltési valószínűség (hálózat sűrűsége), p = 2 E / [ N ( N – 1 ) ] Ci mekkora a mérésből és mekkora lenne véletlenszerű esetben [ iwiw Bp (N=850k, E=110M), Sopron (N=27k, E=4.1M), Szarvas (N=5.5k, E=840k) ]

Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) Mark Granovetter (1973) Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magas C és alacsony L N <k> L mért, rnd C mért, rnd Filmszínészek hálózata 225 226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027 Erősáramú rendszer 4 941 2.67 18.7 12.4 0.080 0.005 C. elegans idegsejtek 282 14 2.65 2.25 0.28 0.05 Watts, Strogatz, 1998, Science

Megfigyelés: kiugróan magas fokszámok (hatványfüggvény szerinti fokszám eloszlás) Definíció: csúcs fokszáma Megjegyzés: melyik pontokon át vezet sok legrövidebb útvonal… Példa hálózatok log p(k) Hatványfüggvény (az eloszlás vége hosszú) Nincsen karaketerisztikus fokszám p(k) k <k> Gyorsan lecsengő eloszlás Van jellemző fokszám Fokszám eloszlás log k

Modellek Erdős-Rényi gráf Kis világ modell Skálafüggetlen modell

Erdős-Rényi modell P. Erdős, A. Rényi, Publ. Math. 6, 290-297 (1959) bármely két csúcs összekötése p=const. valószínűséggel Fokszám eloszlás: binomiális … Poisson

Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) kiindulás: reguláris (szabályos) gráf az élek p részének véletlen átkötése közepes p értékek esetén: magas C, alacsony L a fokszám-eloszlás lecsengése exponenciális

Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998) Megjegyzések: 1) a kis világ hálózat szerkezete rács (szabályos rész)  magas klaszterezettség véletlen komponens (E-R)  „rövidzárak” miatt rövid utak 2) Nagy fokszámok valószínűsége: exponenciálisan kicsi

a fokszám eloszlás hatványfüggvény szerint csökken Skálafüggetlen modell A.-L. Barabási, R. Albert, Science 286, 509-512 (1999) a fokszám eloszlás hatványfüggvény szerint csökken www erősáramú hálózat színészek Növekedés Új csúcspont választ a régiek közül: fokszám szerint lineárisan növekedő eséllyel

Érdekes példák Bevezetés komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, … alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok kísérletek (megfigyelések), modellezés, … Megfigyelések hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak szomszédaim gyakran ismerik egymást néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van Modellek Erdős-Rényi Kis világ Skálafüggetlen Érdekes példák

További példák Egymás után csúcsok törlése  átlagos úthossz változik Ha a nagy fokszámú csúcsoktól indulunk, akkor L gyorsan nő. Jeong et.al. (2001) f Albert et.al. (2000) Sarjadzó élesztő (S. cerevisiae) fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózatában nagy fokszámú csúcsok 3x nagyobb eséllyel esszenciálisak

Köszönöm a figyelmet ! http://www.CFinder.org Fizikai szemle, 2007/06 Mindentudás az iskolában: Hálózatok mindenütt. http://www.CFinder.org