Intelligens közlekedési rendszerek és járműnavigáció 6. Előadás: Adatfeldolgozás I.: gráfelemzések

Óravázlat Gráf-alapok Elemzési példák Fogalmak, megadási módok Optimális út algoritmusok Elemzési példák Magyarország Baranya megye BME K-épület

Gráf alapok Gráf: „dolgok (csomópontok, csúcsok) és rajtuk értelmezett összeköttetések (élek) halmaza” (Wikipédia) Megadási módok: Lista Grafikon (lineáris, kör, korrekt!) Mátrix

Gráf fogalmak Csomópont (node) Közbülső pont (vertex) Él (edge/arc) Út (séta) Egyszerű út (él!) Elemi út (csomópont!) Körút

Gráf: matematikai definíció

Incidencia (él-csomópont) X1 X2 X3 X4 X5 X6   1 -1        + 4 8 - 2 -2 16

Adjacencia (csomópont-csomópont) és él-él X1 X2 X3 X4 X5 X6  3 -1 2 4         2 -1 1

Adjacencia még egyszer Összekötési (összekötöttségi) mátrix Kapcsolati mátrix X1 X2 X3 X4 X5 1

Irányított kontra irányítatlan Adjacencia mátrix (A) Direkt/közvetlen kapcsolatok Ha igaz, hogy , akkor A szimmetrikus, tehát oda-vissza irányok, tehát irányítatlan, egyébként irányított ( ) Úthálózatban melyik eset?

OSM példa: autópálya vs főút

Általános adjacencia Nemcsak a direkt kapcsolatok Majdnem teljesen feltöltött mátrix (An) Előállítása: Henley-Williams algoritmus Ha és s=1,2,…,k-1 esetén, akkor

Példa Magyarország úthálózata egyszerűsítve 221 pont, 307 él

Adjacencia mátrixok

Még egyszer az adjacencia

Forrás-nyelő Forrás: csak kimenő éleket tartalmazó pont Kimenő élszám: kifok (outdegree) Nyelő: csak befutó éleket tartalmazó pont Befutó élszám: befok (indegree) Általában: Ki- és befutó élszám összesen: fokszám Speciális esetek: fokszám=0, 1, 2, >2 Átlagos fokszám Köztes állapotok: rangfüggvény!

OSM-példa I. Magyarország OSM-ben (2010.01.04) : autópályák (motorway & motorway link): SHP formátumban: 1148 polyline, 2296 node (OSM-node!), 9676 vertex (OSM-vertex!) Valójában: 10603 független pont, 10756 él

OSM-példa II. Adjacencia-mátrix: 10603 × 10603 elem Irányított gráf Kifok: nemnulla mátrix-elemek oszloponkénti összege Befok: nemnulla mátrix-elemek soronkénti összege Források: ahol befok=0 Nyelő: ahol kifok=0 Elágazási pont: befok+kifok>2

OSM-példa III. 214 forrás, 202 nyelő, 0 izolált pont, 416 végpont, 691 elágazási pont

Optimális út Kapacitás és kapacitás-mátrix Kérdések: Távolság-mátrix Idő-mátrix Fogyasztás-mátrix … Kérdések: Legrövidebb út Leggyorsabb út Leggazdaságosabb út

Távolság-mátrix Elsőrendű (D1): Általánosított (Dn): Direkt kapcsolatok hossza Ritka mátrix Általánosított (Dn): Nemcsak a közvetlen kapcsolatok (pl. autóstérkép melléklete városok közötti úthossz) „Meglehetősen” feltöltött mátrix

Dn előállítása Floyd-Warshall-algoritmus: Számítási képlete: Nem definiált él: végtelen kapacitású Eredmény: azonos méretű mátrix (all-pairs számítás) Idő! Bővített algoritmus: k pontok tárolása is → itiner-mátrix Felhasználás: hálózati elemzés

Magyarország példa I. Egyszerűsített úthálózat

Magyarország példa II. Egy sor jelentése: adott pontból az összes többi elérhetősége → elérhetőségi térkép

Magyarország példa III. Ilyen alapon az adjacencia is…

Magyarország példa IV. Az itiner-mátrix pedig komplex adatstruktúra:

Ismételt Warshall-alkalmazás Pl. útkiesés hatásának elemzése Első eset: teljes hálózat Második eset: lezárt út és a hálózat Különbség-mátrix: a lezárás hatása

Egység-távolság ábra Egertől minden 150 km-en belüli pont

Navigációs bonyolultság Hány út ágazik el? Milyen sűrűn vannak az elágazások?

Hálózat-szegmentálás Szegmentum/szegmens: önálló egység, töredék, összetartozó elemcsoport Alkalmazási példák: Melyik kiszolgálási ponthoz esnek a pontok legközelebb (közigazgatási zónák)? Hova kell vinni legkevesebb erőforrással a dolgokat (szerviz-térkép)?

Kórház-ellátási térkép Baranya-megye úthálózata: 310 pont, 548 él, 4 kórház

Kórház-szegmensek és ellátás

Mentőállomás

Beteg-ellátás

Optimális út II. Ha nem szükséges a hálózat-elemzés: Cél-algoritmusok, pl. Belman-Ford Keresések, pl. A* Különleges feladatok: Körút-tervezés (Travelling Salesman Problem – TSP): pl. szállítmányozás Kínai postás probléma (Chinese Postman Problem – CPP): pl. útellenőrzés Kanadai utazó probléma (Canadian Traveller Problem – CTP) …

TSP Kezdeti verzió Jó közelítéssel végleges verzió

Bővebb OSM-adathalmaz Autópálya + elsőrendű utak: 3176 polyline, 6352 node, 43955 vertex, (mátrix-méret!), 46464 él; 219 forrás, 241 nyelő, 2320 elágazási pont

3D-s alkalmazás A gráf a pontokra nézve dimenziófüggetlen! Épületen belüli szinteken és köztük navigáció A gráf eredete: digitális térképek konverziója, felmérés, alaprajzi digitalizálás… Lehetséges feladatok: navigáció, vészhelyzet-elhárítás

A gráf szerkezete ArchiCAD → MicroStation → DXF → Matlab

Az épületgráf

Optimális 3D-út Floyd-Warshall-algoritmus (azonos!) Egyszer kiszámított Dn Felhasználói felület: K-Navigator

3D-s hálózat szegmentálása Bejáratokra, mint kiválasztott pontokra „Katasztrófa-védelmi támogatás”

Meglepetés! Jövő héten (március 27-én) ITS előadás után (kb. 11:30) Leica Pegasus mobil térképező rendszer bemutatkozása lesz az egyetemkertben. A részleteket Lovas tanár úr hirdeti ki aznap.

Köszönöm a figyelmet!