Tangramok és hanoi tornyok

Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek

Archimedes tangramja Stomachion Kb. 2000 éves Az első tangram A csúcsok négyzetrácsokon vannak Az elemek területe egész Több megoldás létezik

Tangramok A kínai és a japán tangram Négyzet felosztásai Elemek száma: 7 45 fok többszörösei Mindkettőből rengeteg érdekes alakzat kirakható

Tangramok Érdekes alakzatok

Tangramok Konvex alakzatok Ez a 13 van csak? És a japánban?

A két tangram jellemzői Mindkettő 16 kis háromszögre bontható

Tétel A kínai tangramból 13 féle, a japánból 16 féle konvex alakzat rakható ki ! Fu Traing Wang és Chuan-Chih Hsuing nyomán.

1. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal. Nem lehet ilyen!

1. Segédlemma Ha van mindkét oldalon racionális és irracionális háromszögoldal is, akkor csak ugyanannyi lehet. Bizonyítás: Legyen felül n racionális és m irracionális oldal, alul k, l. Ekkor: n-k és l-m csak 0 lehet, különben egy irracionális szám előállna két egész hányadosaként

1. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal. Nem lehet ilyen!

1. Lemma bizonyítása Indirekt. Tegyük fel, hogy lehet. Ekkor van egy első irracionális, ennek csúcsában az egyenes két oldalán egy racionális és egy irracionális oldal találkozik:

1. Lemma bizonyítása folyt. A racionális oldalon kell lennie irracionálisnak is (és fordítva), a segédlemma miatt. Tekintsük azt a csúcsot, ahol racionális oldal irracionálissal találkozik:

1. Lemma bizonyítása folyt. A köztük levő lyukat be kell tömni: A zöld vonalak mentén újra előáll az eredeti helyzet. Alatta is és felette is folytathatjuk a bizonyítást a végtelenségig. Így véges sok háromszöggel nem lehet befejezni. Qed!

2. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat egy-egy oldalán vagy minden háromszögoldal racionális vagy mind irracionális.

2. Lemma bizonyítása Tekintsünk egy háromszöget az egyik oldalon: Ezeket ki kell egészíteni szakasszá. Az 1. Lemma miatt csak azonos típusú oldalak találkozhatnak:

2. Lemma következménye Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat oldalainak “racionálissága” 45 fokonként változik. Tehát, ha két oldal közbezárt szöge 45 vagy 135 fok, akkor az egyik racionális, a másik irracionális, ha a közbezárt szög 90 fok, akkor mindkettő racionális vagy irracionális. Pl. így: Irracionális oldalak Racionális oldalak

3. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög maximum 8 szög lehet. Bizonyítás: Egy ilyen sokszög egy szöge max. 135 fok lehet. Ha n oldalú a sokszög, akkor a szögeinek összegére felírható: 135n ≥ 180(n-2) 135n ≥ 180n-360 360 ≥ 45n 8 ≥ n

4. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög beírható egy téglalapba úgy, hogy a téglalap oldalain racionális sokszögoldalak legyenek. b c b c x a d a d a=x, b=0, c=0 a+b = c+d = x y A terület kétszeresére: a2+b2+c2+d2+16=2xy x≥a+b, x≥c+d, y≥a+d, y≥c+b a, b, c, d ≥ 0 és x, y > 0

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásai x y a b c d 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 8 9 8 0 8 0 4 6 4 0 4 0 2 6 2 0 2 0 2 6 2 0 0 2 5 5 4 1 4 1 5 5 5 0 3 0 3 5 3 0 1 2 3 5 3 0 2 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 4 4 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 3 4 2 0 2 0 3 4 2 0 0 2 2 4 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásai x y a b c d 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 8 9 8 0 8 0 4 6 4 0 4 0 2 6 2 0 2 0 2 6 2 0 0 2 5 5 4 1 4 1 5 5 5 0 3 0 3 5 3 0 1 2 3 5 3 0 2 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 4 4 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 3 4 2 0 2 0 3 4 2 0 0 2 2 4 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásai x y a b c d 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 8 9 8 0 8 0 4 6 4 0 4 0 2 6 2 0 2 0 2 6 2 0 0 2 5 5 4 1 4 1 5 5 5 0 3 0 3 5 3 0 1 2 3 5 3 0 2 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 4 4 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 3 4 2 0 2 0 3 4 2 0 0 2 2 4 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásai x y a b c d 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 8 9 8 0 8 0 4 6 4 0 4 0 2 6 2 0 2 0 2 6 2 0 0 2 5 5 4 1 4 1 5 5 5 0 3 0 3 5 3 0 1 2 3 5 3 0 2 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 4 4 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 3 4 2 0 2 0 3 4 2 0 0 2 2 4 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 1

a2+b2+c2+d2+16=2xy megoldásai x y a b c d 1 8 0 0 0 0 1 9 1 0 1 0 1 9 1 0 0 1 8 9 8 0 8 0 4 6 4 0 4 0 2 6 2 0 2 0 2 6 2 0 0 2 5 5 4 1 4 1 5 5 5 0 3 0 3 5 3 0 1 2 3 5 3 0 2 1 2 5 1 1 1 1 2 5 2 0 0 0 4 4 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 3 4 2 0 2 0 3 4 2 0 0 2 2 4 0 0 0 0 3 3 1 0 1 0 3 3 1 0 0 1 Kínai tangrammal kirakhatatlanok Japán tangrammal kirakhatatlanok

Hanoi tornyok Három vagy több rúdon csökkenő átmérőjű korongok. Cél a korongok áthelyezése egy másik rúdra. Egyszerre csak egy korongot szabad mozgatni. Kisebben nem lehet nagyobb.

Hanoi torony (az eredeti) Három rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok Alaphelyzet H(n) lépés Hogy lehet áttenni az utolsót? H(n-1) lépés 1 lépés H(n-1) lépés Vége!

Hanoi torony (az eredeti) Szükséges lépésszám: H(n) H(1)=1 H(n)=H(n-1)+1+H(n-1) H(n)=2H(n-1)+1 Állítás: H(n)=2n-1 Bizonyítás teljes indukcióval! H(1)=21-1=2-1=1 H(n)=2H(n-1)+1= 2*(2n-1-1)+1=2n-2+1=2n-1

Hanoi 4 tornya (Reve játéka) 4 rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok B(n) B(n-1) 1 B(n-1)

Hanoi 4 tornya (Reve játéka) Egy jobb módszer R(n) R(n-i) H(i) R(n-i)

Hanoi 4 tornya (Reve játéka) De mennyi legyen az i? Ha n korong van és n háromszögszám, vagyis n=k(k+1)/2 akkor belátható, hogy i=k a legjobb választás. Ha n a k-1. és a k. háromszögszám között van, akkor k és k-1 is jó választás.

Hanoi 4 tornya (Reve játéka) De mennyi legyen az i? n i R(n) 1 2 3 5 4 9 13 6 17 7 25 8 33 Néhány n-re a jó i és a szükséges lépésszám: Ez a legjobb???

Hanoi ciklikus tornyai 4 rúd, csak körben mozgathatók a korongok Feladat: az elsőről a 3-ra vinni a korongokat

Hanoi ciklikus tornyai C(n)=3C(n-1)+2 C(n)=3n-1 C(n) C(n-1) 1 Van ennél jobb? C(n-1) Van, de ismeretlen!!! 2, 8, 18, 36, 66, 120, 210 lépés kell minimum! 1 C(n-1)

Hanoi szomszédos tornyai 4 rúd, csak a szomszédosra mozgathatók a korongok Erre sem tudunk jó módszert! 3, 10, 19, 34, 57, 88 ... lépés szükséges.

Hanoi tornyok Rokonjátékok:

Hanoi tornyok Emeletes kigabalyító

Tangramok és hanoi tornyok Megoldatlan problémák: Egyéb tangramokból előállítható konvex alakzatok Reve játékának (4-es hanoi) optimális stratégiája Ciklikus és szomszédos hanoi jó stratégiája Ezek lépésszámára egy jobb, zárt alakú becslés 4-nél több tornyú hanoik vizsgálata