Munka és energia

Munka Fizikai értelemben munkavégzésről akkor beszélünk, ha egy test erő hatására elmozdul. Ha állandó F erő hatására az erő irányában s úton elmozdul a test, akkor az erő munkája: W = F·s [Nm = J] Ha állandó F erő hatására az elmozdulás a szöget zár be erő irányával, akkor s úton az erő munkája: W = F·s·cosa

Munka Általános definíció: W = F·Dr·cosa = F·Dr

Emelési munka Függőlegesen mozgatunk egy testet. A nehézségi erő ellenében végez az F erő munkát. A mozgás egyenletes, az F erő nagysága ugyanakkora, mint a nehézségi erő: F = m·g We= m·g·h

We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2 Gyorsítási munka Ha egy kezdetben nyugvó testre állandó erő hat, a test egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végez. A test a mozgás során az erő irányába mozdul el, így munkavégzés történik. F= m·a We= m·a·s = m·a·½at2= ½ m·a2·t2= ½ m·v2

Lineáris erő ellenében végzett munka Lineáris erő: F ~ x Rúgó erő ellenében végzett munka: F =D x

Energia Energia  Munkavégző képesség Egy meghatározott A állapotban levő test energiával rendelkezik, ha megfelelő körülmények között munkavégzésre képes. Energiáját azzal a munkával mérjük, amelyet a test végez, míg egy A állapotból a megállapodás szerint választott A0 állapotba jut, vagy azzal a munkával, amelyet a testre ható erők ellenében végeznünk kell, míg A0 -ból A-ba juttatjuk. Az energia mértékegysége megegyezik a munkáéval. [J]

Helyzeti (potenciális) energia Bármely magasságba felemelt testeknek van energiája. A gravitációs erő képes a felemelt testet mozgásba hozni. A helyzeti energia szempontjából alapállapotnak tetszőleges magasságot tekinthetünk. E = mgh

Mozgási (kinetikus) energia Ha bármely test valamilyen v sebességgel mozog, annak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a nyugalmi állapotot tekintjük. Ekin= ½ m·v2

Rugalmas energia A kihúzott rugónak energiája van. Alapállapotnak ebben az esetben a test feszítés előtti állapotát tekintjük.

Munkatétel Egy tömegpont kinetikus energiájának megváltozása megegyezik a ráható erők eredője által végzett munkával:

Konzervatív erőtér A térnek azt a tartományát, amelyben az odahelyezett testekre erő hat, erőtérnek vagy mezőnek nevezzük. Az erőterek minden pontjához rendelhetünk egy fizikai mennyiséget, azt a munkát, amelyet az erőtér végez, miközben a test az adott pontból egy vonatkoztatási pontba jut. Ez a munka konzervatív erőterek esetén csak az erőtértől és a két pont megválasztásától függ. A vonatkoztatási pontot rögzítve már csak az erőtérnek és a vizsgált pontnak a függvénye.

Konzervatív erőtér Konzervatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, amelyben tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka zérus

Konzervatív erőtér Konzervatív erők: Nem konzervatív erők: nehézségi erő gravitációs erő (elektromos erő) Nem konzervatív erők: súrlódási erő közegellenállási erő

A mechanikai energia megmaradásának tétele A mozgási, a helyzeti és a rugalmas energiát közös néven mechanikai energiának nevezzük. Egy konzervatív erőtérben mozgó tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege (összes mechanikai energiája) a mozgás folyamán állandó.

Teljesítmény Teljesítmény  az időegység alatt végzett munka

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája Lineáris erőtörvény, rugalmas erő: F=-Dx D a direkciós állandó F = ma -Dx = ma

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája bevezetve:

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája Keressük az egyenlet megoldását! és az általános megoldás két független megoldás lineáris kombinációjaként állítható elő: ahol B és C tetszőleges állandók, amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg.

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája A kezdeti feltételekből: ha t = 0 esetén a kezdeti kitérés és sebesség értéke x0 és v0, akkor: x(t=0) = x0 = C A sebességfüggvényt a kitérés idő szerinti differenciálásával kaphatjuk:

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája t = 0 esetén: C-t és B-t behelyettesítve:

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája Bevezetve a és jelöléseket: felhasználva: kapjuk:

Harmonikus rezgőmozgás dinamikája A amplitúdó és a a fázisszög (kezdőfázis) A és a a kezdeti feltételek (x0, v0) által meghatározottak:

Pontrendszerek mechanikája Pontrendszer a kettő, vagy ennél több tömegpont együttese n a pontrendszerhez tartozó tömegpontok száma m1, m2, … mn az egyes tömegpontok tömege. ri az mi tömegpont helyvektora

Pontrendszerek mechanikája Fi az i-dik tömegpontra ható eredő, függ a többi tömegpont helyétől, sebességétől: n db differenciál vektoregyenlet, megoldása nehéz

Pontrendszerek mechanikája Az i-dik tömegpontra ható erőket a rendszer szempontjából külső és belső erőkre oszthatjuk fel Fij az i-dik tömegpontra a j-dik által kifejtett ún. belső erő, míg a pontrendszeren kívüli objektumok által mi-re kifejtett külső erőhatások eredőjét Fi jelöli. Nyilvánvalóan Fii = 0.

Pontrendszerek mechanikája az i-edik tömegpont mozgásegyenlete így: a pontrendszer mozgását leíró egyenleteket összeadva kapjuk:

Tömegközéppont Newton III. tv.-e értelmében: Fij=-Fji ezért : A jobb oldalt átalakítva: Tömegközéppont helyvektora

Tömegközéppont tétel Egy pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és rá hatna a külső erők eredője. Ez a tömegközéppont tétele.

Impulzustétel A jobb oldalt másként átalakítva: A pontrendszer teljes impulzusa: Impulzustétel: egy pontrendszer teljes impul-zusának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a rendszerre ható külső erők eredőjével:

Impulzusmegmaradás törvénye A pontrendszer belső erői tehát nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát. Az impulzustétel speciális esete az impulzusmegmaradás törvénye, amely kimondja, hogy egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők eredője 0 a rendszer teljes impulzusa időben állandó. I = const.

Ütközések Az ütközések során általában két (v. több) objektum kerül nagyon rövid ideig tartó intenzív kontaktusba. Az ütköző testeket egyetlen pontrendszernek tekintve elmondhatjuk, hogy az ütközés során a belső erők játszanak meghatározó szerepet, ezek azonban nem változtatják meg a rendszer teljes impulzusát.

Ütközések Az impulzusmegmaradás törvénye még külső erők jelenlétében is jó közelítéssel teljesül, ha közvetlenül az ütközés előtti és utáni időpillanatokat hasonlítjuk össze. ha Dt=0, akkor DI is elhanyagolható Az ütközések tárgyalása során tehát általában érvényesnek tételezzük fel az impulzusmegmaradás törvényét.

Ütközések Centrális ütközés: a két érintkező felületnek az ütközési ponthoz tartozó normálisa, az ütközési normális egybeesik a két pont tömegközéppontját összekötő egyenessel Egyenes vagy ferde ütközésről beszélünk aszerint, hogy közvetlenül az ütközés előtt a két golyó sebességvektora egy egyenesbe esik vagy nem.

Ütközések Az ütközés során a találkozó testek deformálódnak, majd az ütközés után vagy visszanyerik eredeti formájukat (rugalmas ütközés), vagy a deformáció tartós marad (rugalmatlan ütközés). Ütközések általában bonyolult jelenségek!!! Mi csak a transzlációs mozgást végző homogén golyók ütközésével foglalkozunk.

Tökéletesen rugalmas ütközés m1v1+m2v2 = m1u1+m2u2 m1 és m2 tömegű testek sebessége ütközés előtt: v1, v2 ütközés után: u1 , u2

Egydimenziós rugalmas ütközés A másodikat osztva az elsővel:

Egydimenziós rugalmas ütközés Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1

Egydimenziós rugalmas ütközés Speciális esetek: m1 = m2 akkor u1= v2 és u2= v1

m2 >> m1 és v2 =0, akkor u2= 0, u1≈ -v1 Ha az egyik test tömege jóval nagyobb mint a másik, akkor az gyakorlatilag mozdulatlan marad az ütközés során, míg a másik ugyanakkora sebességgel pattan vissza.

Tökéletesen rugalmatlan ütközés Ebben az esetben a deformáció az ütközés után tartósan megmarad, a testek összetapadva egy közös sebességgel együtt mennek tovább, u1 = u2 = u m1v1+m2v2 = (m1+m2)u

Ütközés A valóságos ütközések a rugalmas és rugalmatlan határeset közötti átmenetként értelmezhetők. A testek ugyan visszapattannak, de a deformáció egy része megmarad. Hogy a valós ütközés milyen mértékben közelíti a tökéletesen rugalmas ütközést, azt egydimenziós esetben az ún. ütközési együttható fejezi ki:

Ütközés tökéletesen rugalmas ütközésnél 1, tökéletesen rugalmatlannál 0, egyéb esetben 1 >  > 0. Abban a speciális esetben, ha m2 >> m1 (pl. fal), akkor , amelynek megnyilvánulásaként pl. egy pattogó labda egyre kisebb magasságra pattan fel, amíg végül megáll.

Az impulzusmomentum tétele Az i-dik tömegpontra vonatkozó mozgásegyenlet mindkét oldalát az ri helyvektorral balról vektoriálisan megszorozva: Forgatónyomaték:

Az impulzusmomentum tétele A jobboldalt átalakítva: Impulzusmomentum:

Az impulzusmomentum tétele Az összes i-re összegezve: ahol N jelöli a pontrendszer teljes impulzusmomentumát.

Az impulzusmomentum tétele Ha a belső erők centrálisak, azaz a belső erők a tömegpontokat összekötő egyenesek irányába mutatnak, akkor a belső erők forgatónyomatékainak összege zérus. Tekintsük két tömegpont egymásra kifejtett forgatónyomatékainak az összegét. A hatás-ellenhatás törvénye alapján Fij = -Fji,

Az impulzusmomentum tétele Az impulzusmomentum tétele szerint ha a belső erők centrálisak, akkor egy pontrendszer teljes impulzusmomentumának idő szerinti differenciálhányadosa megegyezik a külső erők forgatónyomatékainak összegével.

Impulzusmomentum megmaradás tétele Speciális eset: Egy zárt rendszer esetén, vagy ha a külső erők forgatónyomatéka zérus, akkor a pontrendszer teljes impulzusmomentuma időben állandó.

Merev testek mechanikája Az olyan pontrendszereket, ahol a tömegpontok közti távolságok a mozgás folyamán nem változnak, merev testeknek nevezzük. Egy merev test helyzetét 6 független adat határozza meg, azaz egy merev test szabadsági fokainak száma 3n helyett csupán s = 6. (n a tömegpontok száma.)

Merev testek mechanikája A merev test alapvető mozgásai: transzláció: a test minden pontja egyidejűleg egymással párhuzamos, egyenes vonalú pályán mozog. rotácó: egy meghatározott egyenes, a forgástengely pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre merőleges síkban fekvő körívek.

Merev testek mozgása A merev testek mozgására érvényesek mindazok az általános tételek, amelyeket a pontrendszerek esetében levezettünk. A tömegközéppont tétele és az impulzusmomentum tétele:

Merev test forgása rögzített tengely körül Legyen z a forgástengely mi körmozgást végez ri merőleges vi-re

Merev test forgása rögzített tengely körül

Merev test forgása rögzített tengely körül Q az adott forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték

Merev test forgása rögzített tengely körül

Mechanikai hullámok Mechanikai hullámról beszélünk akkor, ha egy rugalmas közeg egyensúlyi állapotát valamiképpen megbolygatva az előidézett zavar tovaterjed a közegben. A hullámok terjedése során a közegrészecskék egyensúlyi helyzetük körül rezegnek, azaz átlagos elmozdulásuk zérus.

Mechanikai hullámok Ha a közeg részecskéi a terjedési irányra merőleges mozogást végeznek, akkor transzverzális hullámról van szó.

Mechanikai hullámok Ha a közeg részecskéi a terjedés irányában rezegnek, akkor longitudinális hullámról beszélünk, A longitudinális hullámoknál sűrűsödések és ritkulások terjednek tova.

Harmonikus hullámok matematikai leírása Egy harmonikus rezgést végző hullámforrás szinuszos (harmonikus) hullámok megjelenéséhez vezet, amelyeket amplitúdójuk, hullámhosszuk, frekvenciájuk ill. sebességük jellemez. A hullám amplitúdóját a közegrészecskék maximális kitérése adja meg, míg hullámhossznak (l) a hullám azonos fázisban rezgő szomszédos pontjainak távolságát nevezzük. Ha a részecskék rezgésideje T, akkor nyilvánvalóan a hullám T idő alatt l távolságot tesz meg.

Harmonikus hullámok matematikai leírása

Harmonikus hullámok matematikai leírása ahol a hullámszám, pedig a rezgő részecskék körfrekvenciáját jelöli.

Hullámok találkozása, interferencia Általában interferenciáról beszélünk akkor, ha két vagy több hullám egy adott térrészben találkozik. Az eredő hullám a szuperpozíció elve alapján szerkeszthető meg, azaz a tér egyes pontjaiban a jelenlevő rezgések összeadódnak.

Hullámok találkozása, interferencia Szűkebb értelemben akkor beszélünk interferenciáról, ha a két hullám összegződése időben állandó hullámképet (intenzitáseloszlást) hoz létre. Ilyet csak azonos frekvenciájú és állandó fáziskülönbséggel találkozó hullámok adhatnak, ezeket nevezzük koherens hullámoknak.

Interferencia Ha a találkozó hullámok fáziskülönbsége 0, 2, 4, …stb. akkor maximális erősítés, ha , 3, … stb. esetén maximális gyengítés, egyenlő amplitúdóknál pedig kioltás jön létre.