PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás

Jó e-könyv: Jó e-könyv: ation/14/opkut.pdf ation/14/opkut.pdf ation/14/opkut.pdf ation/14/opkut.pdf Sztrik János Sztrik János RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE RAKTÁROZÁSI ÉS KISZOLGÁLÁSI PROBLÉMÁK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE Távközlő rendszerek forgalmi elemzése –

3 1.Delay Systems 2.Applied Queuing theory 3.Network of Queues Várakozásos rendszerek TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendszerekben … ez a szokásos üzemmód.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Delay Systems A rendszer n egyforma kiszolgáló szerv n egyforma kiszolgáló szerv teljes elérhetőség teljes elérhetőség ∞ számú várakozási hely ∞ számú várakozási hely Vizsgált esetek 1. Erlang várakozásos rendszer – M/M/n – PCT-I – PCT-I 2. Palm féle gép-javítási modell – PCT-II – PCT-II

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 1. A rendszer állapotát az benne tartózkodó összes igény (kiszolgálás alatt lévő és várakozó együtt) darabszáma mutatja.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 2. Állapotegyenletek A=/μ

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 3. Várakozás valószínűsége igény érkezik, amikor minden vonal foglalt ______________________________________________________ igény érkezik bármikor igény érkezik bármikor Erlang C képlet: Jelölések: Az azonnali kiszolgálás valószínűsége

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 4. Lebonyolított forgalom (= felajánlott !) Van várakozó igény: Sorhosszúság mint v.v. = L Alkalmazott összefüggés: ha i < n ha i ≥ n

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 5. Erlang C kiszámítása ahol korábbi rekurziós képletből

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 6-1.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 6-2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 6-3. The average utilization per channel for a fixed probability of delay E 2,n (A) as a function of the number of channels n.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 7. Átlagossorhosszúságtetszőlegesidőpontban PASTA ! Idő- és hívás átlagok egyformák

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 8-1. Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban miatt a sor abszolút konvergens és így a differenciálás kihozható a sor összegezése elé Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma. PASTA ! Ha akkor:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 8-2. Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban Más levezetés miatt a sor abszolút konvergens és így a levezetés lehetséges

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 8-3. Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban Más levezetés miatt a sor abszolút konvergens és így a levezeté lehetséges Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma. PASTA !

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 9. Átlagos sorhosszúság – ha van sor Feltételes valószínűség. Feltétel: = PASTA !

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 10. Átlagos várakozási idő – minden igénylőre Little tétele miatt ahol: (érkezési gyakoriság) x (átlagos várakozási idő) továbbá, mivel L értelmezhető várakozási forgalomként és miatt

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 11. Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra w n (feltételes valószínűség) = = átlagos várakozási idő – minden igénylőre / várakozás valószínűsége

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 12. Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra: Átlagos várakozási idő – minden igénylőre: Átlagos sorhosszúság – ha van sor : Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban: Van várakozó igény – véletlen időpontban: Lebonyolított forgalom (= felajánlott !) Várakozás valószínűsége: Azonnali kiszolgálás valószínűsége:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 13. Improvement functions – Annak valószínűsége, hogy egy csatorna hozzáadásával 1. Mennyire csökken a várakozást észlelő forgalom: 2. Mennyire rövidül az átlagos sorhosszúság: További részletek a tankönyvben. Little tétel alkalmazása !!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Mi az eloszlása annak, hogy a várakozási idő W kisebb mint t ? Azaz: Erlang – M/M/n 14. Ha a kiszolgálás módja csak a bemeneti folyamattól függ, akkor az átlagos várakozási idő mindenkinek egyforma. A kiszolgálási stratégia csak az egyes igények várakozási idejének eloszlását befolyásolja. Modell: igény érkezik és a rendszer állapota (n + k) Kiszolgálás kezdődhet, ha n igény kiszolgálása véget ért – a távozási folyamat intenzitása: nμ t időnél kevesebbet kell várni, ha nμ intenzitású Poisson folyamat során legalább k+1 igény megszűnik (FIFO esetén). Várakozási idő eloszlása (FIFO)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 15. Annak feltételes valószínűsége, hogy az igény érkezésekor az (n+k) állapont van, azaz n igényt kiszolgál a rendszer és k igény várakozik: igény érkezik az (n+k) állapotban ___________________________________________ igény érkezik bármikor igény érkezik bármikor

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 16. A várakozási idő eloszlása a várakozóigényekre Átalakítások után (lásd a tankönyv): exponenciális eloszlás ! A várakozási idő eloszlása az összes igényre:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 17. Érdekes kettősség: Az (n+k) állapotban érkező igény Megszámolhatja a várakozókat és egy súlyozott Megszámolhatja a várakozókat és egy súlyozott Erlang (k+1) eloszlású várakozási időt tételezhet fel Erlang (k+1) eloszlású várakozási időt tételezhet fel vagy vagy 2. tudomásul veheti, hogy a várakozási idő (nμ-) paraméterű exponenciális eloszlású Pontos megfeleltetés a tankönyvben.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 18. FCFS/FIFO first in first out LCFS/LIFO last in first out SIRO/RANDOM service in random order

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 19. Példa: M/M/1 mivel hiszen: és

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – Erlang – M/M/n 20. Példa: M/M/1 Tartózkodási idő = várakozási idő + kiszolgálási idő (sojourn time, válaszidő) Átlagos tartózkodási idő, W 1 felhasználásával