Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Ábele-Nagy Kristóf

Páros összehasonlítás mátrixok Motiváció Hány százalékban befolyásolják döntésünket az egyes szempontok? – Nehezen megválaszolható Helyette páros összehasonlítás: hányszor fontosabb az i szempont a j szempontnál? Ezeket az arányokat mátrixba rendezve ún. páros összehasonlítás mátrixot kapunk

Páros összehasonlítás mátrixok Definíció

Páros összehasonlítás mátrixok Tulajdonságok a ij =1/a ji (w i /w j =1/(w j /w i )) a ii =1 (w i /w i =1) a ij >0 Konzisztens, ha: a ij a jk =a ik  i,j,k (w i /w j * w j /w k = w i /w k ) Konzisztencia nem várható el tapasztalati mátrixoktól

Páros összehasonlítás mátrixok Súlyvektor számolása Sajátvektor módszer: Aw = nw, ha konzisztens, ebből Aw = max w, max  n LLSM: Belátható: w i az i. sor elemeinek mértani közepe,  w i =1 normalizálással

Páros összehasonlítás mátrixok Inkonzisztencia mérőszámok Sajátvektor módszer: max, CR = (( max -n)/(n-1)) / ACI Konzisztencia: max =n, CR=0 CR=0.1 önkényes küszöbérték LLSM: a célfüggvény értéke Konzisztencia: célfüggvényérték = 0 Nincs küszöbérték

Páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Elemenként Kváziaritmetikai közép f(x,…,x)=x f(1/x 1,…1/x t )=1/f(x 1,…,x t ) f(sx 1,…,sx t )=sf(x 1,…,x t ) Aczél-Saaty-tétel: Ezeknek a kritériumoknak egyedül a mértani közép felel meg

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok

Súlyvektor Sajátvektor módszer: Minimális inkonzisztenciájú kitöltés Ez nem csak a súlyvektort adja meg, hanem a kitöltést is LLSM: Csak a kitöltött tagokra szummázunk Közvetlenül a súlyvektort adja meg, nem tartozik hozzá kitöltés

Gráf reprezentáció A szempontoknak felelnek meg a pontok, két pont közt pontosan akkor megy él, ha a hozzájuk tartozó szempontok össze vannak hasonlítva, azaz ha a nekik megfelelő pozíción ki van töltve a mátrix Bozóki-Fülöp-Rónyai-tétel: A sajátvektor és az LLSM feladatnak is pontosan akkor létezik egyértelmű megoldása, ha a nem teljesen kitöltött mátrixhoz tartozó gráf összefüggő

Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok aggregálása Ugyanúgy, mint a kitöltött esetben, de ha egy egyéni mátrixban egy elem nincs kitöltve, azt nem vesszük figyelembe Így az aggregátum elemei különböző számú elem aggregátumaként adódnak Az aggregátum pontosan ott lesz kitöltve, ahol legalább egy egyéni mátrix ki volt töltve

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Motiváció: pótoljuk-e a hiányzó információt (egyfajta közelítéssel) aggregálás előtt? Csak a sajátvektor módszer jöhet szóba, mert kitöltésre is szükség van Véletlenszerűen, adott hiányzó elem számmal (az egyéni mátrixban) törlünk elemeket, így állítunk elő nem teljesen kitöltött egyéni mátrixokat

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Ezeket a mátrixokat aggregáljuk kétféleképpen: először kitöltjük őket optimálisan, vagy rögtön aggregálunk és csak utána töltjük ki az aggregátumot (ha szükséges) Az eljárások jóságát az eredeti kitöltött mátrixokból számolt aggregátum súlyvektorától vett távolsággal mérjük

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? 134db 4x4-es, 154db 6x6-os, 160db 8x8-as Minden kísérletet (8x8-as mátrixok esetén 10-10) alkalommal futtatunk, az átlagos és a maximális eltérést, valamint legnagyobb sajátértéket nézzük Kétféle norma (1-es és 2-es)

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Legnagyobb sajátértékek Az inkonzisztencia az aggregált mátrixban minden esetben 1% alatt volt. Ha először aggregálunk, akkor a kitöltetlen elemek számának függvényében emelkedő tendenciájú a legnagyobb sajátérték. Valószínű ok: egyre több információt vesztünk el a döntéshozók eredeti (remélhetőleg nem túl inkonzisztens) preferenciáiról Ha először kitöltünk, akkor csökkenő tendencia van, ez azért van mert a kitöltés inkonzisztenciára optimalizál

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Súlyvektorok 6x68x8

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Súlyvektorok Ha először kitöltjük, az jobb eredményt produkál átlagosan és maximálisan is. Értelmezés: Ha egy elem egy mátrixban nincs kitöltve, ott az adott döntéshozó véleményét nem vesszük figyelembe közvetlenül. Az eredmények alapján jobb, ha közelítjük a véleményét az adott kérdésben és azt használjuk fel, mint ha a többiek véleményével pótoljuk csak. Azaz jobb, ha közelítve is, de mindenkinek mindenbe van beleszólása.

Előbb aggregálás, vagy előbb kitöltés? Hány elemet töltsünk ki? Nincs objektív válasz, túl sok minden befolyásolja Önkényes küszöbérték: 0.02 (a maximális távolság 1%-a) Lehetséges befolyásoló tényezők: – Rangsorfordulás érdekes-e? – Döntéshozók száma – Kérdés természete (objektív vs. szubjektív) Javaslat: általában elég a kérdések felét feltenni (objektív és szubjektív mátrixok voltak vegyesen)

Még kevesebb elem kitöltése Aggregálás esetén lehetséges, hogy az egyéni mátrixok gráfjai nem összefüggőek, ha az aggregátumé az Ekkor nem tölthetjük ki előre az egyéni mátrixokat Bár elméletileg lehetséges, nem javasolt, a túl nagy hiba miatt

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek Kitöltés nélkül aggregálunk (Előfordul, hogy nincs lehetőség kitölteni) Kérdés: jobb-e azokat az elemeket törölni az aggregátumból és optimálisan kitöltve helyettesíteni, amiket csak kevés döntéshozó töltött ki? Ha igen, mi az a küszöbérték, aminél kevesebb döntéshozó általi kitöltésnél törlünk? Motiváció: Ha sokan egyetértenek, de pont egy olyan tölti ki az adott elemet aki nem ért velük egyet, az torzíthatja a csoport véleményét

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek Mátrixok előkészítése a kísérlethez (csak 8x8): – Bizonyos (paraméter) számú mátrixot véletlenül kiválasztunk az adatbázisból (döntéshozók száma) – Ezeket két csoportra bontjuk aszerint, hogy a véletlenszerűen kiválasztott kritikus pozíciókon ki lesznek-e töltve, vagy sem Kritikus pozíció: az a pozíció, amin az algoritmus szerinti kettébontásban a mátrixok nagyobbik csoportja biztosan nem lesz kitöltve, a kisebbik (éppen küszöbérték elemszámú csoportban) biztosan ki lesz töltve A kitöltetlen elemek száma egy egyéni mátrixban adott, ha a nagyobbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon nem lesz kitöltve, a többi hiányzó elem pozíciója véletlen, ha a kisebbik csoportba tartozik, akkor a kritikus pozíciókon biztos ki lesz töltve, de a hiányzó elemek bárhol máshol lehetnek

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek Paraméterek: – Összes aggregálandó mátrixok száma (döntéshozók száma) – Küszöbérték (= kisebbik csoport elemszáma) – Kitöltetlen elemek száma – Kritikus pozíciók száma Eredmények mindkét módszerrel számolva (sajátvektor és LLSM) mindkét normában alkalommal futtatunk minden kísérletet

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek Súlyvektorok (mindegyik sv.-al és LLSM-el is): – A teljesen kitöltött mátrixokból származó – A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólagos törlés nélkül – A nem teljesen kitöltöttek aggregátumából utólag törölve a legfeljebb küszöbértéknyi döntéshozó által kitöltött elemeket Megj.: Ez azt jelenti, hogy a kritikus pozíciókon biztosan törlünk, de előfordulhat, hogy a véletlen folytán más pozíciókon is Összehasonlítás: melyik súlyvektor lesz közelebb a teljesen kitöltött mátrixokból számolthoz?

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 4 paraméter, mindegyik mentén egyesével léptetve rengeteg adat Ezért az összes mátrixok száma a kísérletben 7,15,50, az összes hiányzó elemek száma 6,8,12 A kritikus pozíciók száma és a küszöbérték (amit meg akarunk határozni) egyesével Az eredmények teljesen egybehangzóak, ezért itt csak egy példán szemléltetünk

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 15 mátrix aggregálásából sv. módszerrel számolt súlyvektorok távolsága a kitöltöttekből számolttól, 12 kitöltetlen elem és 3 kritikus pozíció esetén a küszöbérték függvényében

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 1-es küszöbértéknél hatalmas kiugrás a távolságban, ez minden paraméterérték mellett igaz marad. Így a következő megállapítást tesszük: Ha egy elemet csak egyetlen döntéshozó töltött ki, az mindenképpen érdemes törölni

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek A küszöbértékek megállapítása (ezen megközelítésben) önkényesen történik: ahol az átlagos távolság törlés esetén még „jóval kisebb” a törlés nélkülihez képest Küszöbértékek: 7 döntéshozó esetén 1, 15 esetén 3, 50 esetén 5 Ezek önkényes megállapítások! További kutatási lehetőség konkrét szisztéma szerint megállapítani a küszöbértéket (és más adatbázisokon is)

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek 50 döntéshozó, 12 kitöltetlen pozíció, 2 kritikus hely Pontosan hol legyen a küszöbérték? 14-ig még mindig kisebb az átlag

Kevés döntéshozó által kitöltött elemek Összefoglalás Az 1 döntéshozó által kitöltött elemeket mindenképp érdemes törölni A küszöbérték gyakorlatilag független – Az összes kitöltetlen elemek számától – A kritikus pozíciók számától – A használt módszertől (sajátvektor vagy LLSM) A küszöbérték és a mátrixok száma közt pozitív kapcsolat mutatkozik

Köszönöm a figyelmet!