A polinomalgebra elemei Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged

Az egyhatározatlanú polinom A továbbiakban az R jelentse a , míg K a halmazok valamelyikét. Definíció: Az R fölötti egyhatározatlanú polinomok az alakú formális kifejezések, azzal a megállapodással, hogy esetén akkor és csak akkor, ha Ha p(x)-ben , akkor az n számot a p fokszámának nevezzük. Az -et a p főegyütthatójának. Ha =1, akkor p főpolinom.

Az R fölötti polinomok halmazát a továbbiakban R[x]-szel jelöljük. Az R[x] halmazon definiálható az összeadás és a szorzás az ismert módon. Nyilván R[x] additív egységeleme a 0 konstans polinom, a additív inverze a polinom. A polinomra legyen Definíció: A p R[x]-beli polinom osztója a q R[x]-beli polinomnak, ha létezik r R[x]-beli polinom, hogy q=rp. Jel.: p|q

Az R[x]-beli polinomokra fennállnak az egész számok köréből jól ismert oszthatósági tulajdonságok. Az R[x]-ben az egységelem osztóit egységeknek nevezzük, melyek K[x]-ben a 0 polinomtól különböző konstanspolinomok, -ben az 1, -1 konstanspolinomok. Ha a p és q polinom elem R[x]-nek, valamint teljesül rájuk, hogy p|q és q|p, akkor p és q polinomok asszociáltak. Jel.: p q. A q polinomot, mely elem R[x]-nek irreducibilis polinomnak nevezzük, ha nem a 0 polinom és nem egység, valamint q-nak a saját asszociáltjain ill. az egységeken kívül nincs más osztója. Maradékos osztás tétele: Ha f és g polinom eleme K[x]-nek és g nem a 0 polinom, akkor egyértelműen létezik olyan q és r K[x]-beli polinom, hogy f=gq+r, ahol r*<g*.

Polinom helyettesítési értéke, gyöke Definíció: Legyen polinom eleme az R[x]-nek és c eleme R-nek. Ekkor a p polinom c helyen vett helyettesítési értéke az R-beli elem. Ha p(c)=0, akkor c a polinom gyöke. A közismert felhasználásával könnyen bizonyítható az alábbi tétel: 1. Tétel: Tetszőleges R[x]-beli p polinom és R-beli c szám esetén létezik olyan R[x]-beli q polinom, hogy p(x)=(x-c)q(x)+p(c). Következmény: Ha a és b két egész szám és p egész együtthatós polinom, akkor a-b|p(a)-p(b).

Bézout-tétel és következményei Bezout-tétel: Legyen a p polinom eleme R[x]-nek. Az R-beli c elem akkor és csak akkor gyöke p-nek, ha x-c|p(x). Következmények: 1. Legyen a p polinom eleme R[x]-nek és a elemek páronként különbözők. A akkor és csak akkor gyöke a p polinomnak, ha osztója p-nek. 2. Ha p eleme R[x]-nek, nem a nullapolinom és fokszáma n, akkor p-nek legfeljebb n db gyöke van R-ben. 3. Ha az R[x]-beli p és q legfeljebb n-edfokú polinom helyettesítési értéke legalább n+1 R-beli helyen megegyezik, akkor a két polinom egyenlő.

A klasszikus algebra alaptétele és következményei Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke. Következmények: 1. A -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú. 2. Bármely legalább első fokú -beli p polinom felírható a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen (1) alakban, ahol a a polinom főegyütthatója, a gyökei. (Az (1) a p polinom gyöktényezős alakja.) 3. Az -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy olyan másodfokú, melynek nincs valós gyöke.

Viѐte képletei Legyen valós együtthatós n-edfokú (n>0) polinom, gyöktényezős alakja . Ekkor

Szimmetrikus polinomok A többhatározatlanú polinomok közül kitűnnek azok, melyek a határozatlanok semmiféle permutációjával sem változnak. Az ilyen polinomokban valamennyi határozatlan szimmetrikusan szerepel, ezért ezeket szimmetrikus polinomoknak nevezzük. Pl: Könnyen látható, hogy két szimmetrikus polinom összege, különbsége, szorzata is szimmetrikus polinom. Az n-határozatlanú szimmetrikus polinomok tartalmazzák mind az n határozatlant.

A határozatlanok elemi szimmetrikus polinomjai

A szimmetrikus polinomok alaptétele Bármely szimmetrikus polinom kifejezhető elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. Unicitástétel: Minden szimmetrikus polinom csak egyféleképpen fejezhető ki elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként.

A hatványösszegek felírása elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként, Newton képletei Az előző egyenlőségek alternáló összege adja az alábbi összefüggést: