Deduktív érvek

Negáció Konjunkció ellentét Salamon egy szamár. Minden politikus igazat mond. Salamon bölcs. Minden politikus hazudik. Salamon nem bölcs. Nem minden politikus hazudik. negáció = tagadás p nem p igaz hamis hamis igaz nem nem p  p Konjunkció p q p és q igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz hamis hamis hamis hamis és, de, míg, noha, bár, habár, nemcsak … hanem is, jóllehet, pedig, ugyanakkor, mégis, stb. p és q  p, q p, q  p és q A konjunkció tagadása: Nem igaz, hogy esik az eső és a sáros az utca. nem Nem esik az eső és nem sáros az utca. hanem Nem esik az eső vagy nem sáros az utca.

Variációk a „vagy”-ra 1. Este olvasok vagy tévézek. Fej vagy írás. Iszol vagy vezetsz. Megengedő vagy (alternáció): legalább az egyik igaz. Kizáró vagy (diszjunkció): pontosan az egyik igaz. Összeférhetetlenség: legfeljebb az egyik igaz. p q megengedő kizáró összeférhetetlenségi igaz igaz igaz hamis hamis igaz hamis igaz igaz igaz hamis igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis hamis igaz Melyik „vagy”-gyal érvényes? p  p vagy q p vagy q, nem p  q p vagy q, p  nem q Csak a megengedővel. A megengedővel és a kizáróval. A kizáróval és az összeférhetetlenségivel. Melyik „vagy”-gyal fejezhető ki a konjunkció tagadása? A megengedővel vagy a kizáróval. Milyen „vagy” szerepel az előző megoldásban? Megengedő.

Variációk a „vagy”-ra 2.: Mi a baj? A híd túlterheltség vagy szerkezeti hiba miatt szakadt le. A túlterheltség ténye megállapítást nyert. Ezért érthetetlen, miért vizsgálja a szakhatóság az építők felelősségét. A kormány azt ígérte, hogy idén növeli a felsőoktatás támogatását és emeli a nyugdíjakat is. A pénzügyi szakértők szerint a kettő együtt nem megy. A névtelenségükhöz ragaszkodó bennfentesek szerint a kormány letett a nyugdíjak emeléséről. Eszerint a felsőoktatás magasabb támogatásra számíthat. Hamis dilemma Kedves asszonyom, önnek választania kell. Vagy megvásárolja cégünk vadonatúj termékét, a hupikék erőt rejtő mosóport, mely tisztít és növeli az önbizalmat, vagy kénytelen lesz továbbra is nélkülözni a tiszta ruhákat.

Ha …, akkor … 1. Mikor igaz? Ha esik az eső, Schumacher nyer. p q ha p, akkor q igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz igaz hamis hamis igaz Esett az eső, és Sch. nyert. Esett az eső, de nem Sch. nyert. Nem esett az eső, de Sch. nyert. Nem esett az eső, és nem Sch nyert. igaz hamis Közös premissza: Ha esik az eső, Schumacher nyer. Esett. Sch. nyert. Nem esett. Nem Sch. nyert. Sch. nyert. Esett. Nem Sch nyert. Nem esett. érvényes ha p, akkor q. p q modus ponens érvénytelen ha p, akkor q. q p következmény állítása érvénytelen ha p, akkor q. nem p nem q előzmény tagadása érvényes ha p, akkor q. nem q nem p modus tollens

Ha …, akkor … 2. Melyik mondat igaz pontosan azokban az esetekben, mint az alábbi? Ha esik az eső, Schumacher nyer. Ha Schumacher nyer, akkor esik az eső. Ha Schumacher nem nyer, akkor nem esik az eső. p q ha p, akkor q igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz igaz hamis hamis igaz Ha p, akkor q.  Ha nem q, akkor nem p. kontrapozíció Ha p, akkor q. Ha q, akkor p. a feltételes állítás megfordítása Két mondat logikailag ekvivalens: kölcsönösen következnek egymásból. Ha szeretem Lulut, Lulu is szeret engem. Ha Lulu szeret engem, Dr. Schön féltékeny rám. Ha szeretem Lulut, Dr. Schön féltékeny rám. Ha p, akkor q. hipotetikus szillogizmus Ha q, akkor r. (láncszabály) Ha p, akkor r.

Ha …, akkor … 3. Melyik érvényes? Ha nyer a csapat, három pontot kap. A csapat három pontot kapott. A csapat nyert. Ha …, akkor … 3. Melyik érvényes? Csak akkor kaphatsz jelest, ha szorgalmasan készülsz. Nem készülsz szorgalmasan. Nem fogsz jelest kapni. Csak akkor p, ha q  ha p, akkor q, Nem: ha q, akkor p!!! Ha Bush nyer, Kerry visszavonul a politikától. Ha Kerry meghal, Bush nyer. Ha Kerry meghal, akkor visszavonul a politikától. Időben ott leszek, kivéve ha valami közbejön. Elkéstem. Valami közbejött. p, kivéve ha q  ha nem p, akkor q Fejezze ki „ha, akkor” formában! A szükséges feltétele B-nek. A elégséges feltétele B-nek.

Négy kártya Tudjuk, hogy minden kártya egyik oldalán betű, a másikon szám található. Döntse el a lehető legkevesebb kártya megfordításával, hogy igaz-e az alábbi állítás: Ha egy kártya egyik oldalán magánhangzó van, a másikon páros szám áll. E K 4 7 Tudjuk, hogy minden csekk egyik oldalán az értéke szerepel, a másik oldal pedig az aláírás helye. Tudjuk azt is, hogy 100Ft értékhatár alatt minden csekk érvényes, 100 Ft fölött viszont csak az, amelyiknek a hátoldala alá van írva. Melyik csekkeket kell megfordítania, hogy eldöntse, érvényes-e? 500Ft 50Ft Fg p q ha p, akkor q igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz igaz hamis hamis igaz p = magánhangzó q = páros szám p= 100 Ft-nál több q = alá van írva

Akkor és csak akkor Ha Ödönke szájal, kap egy nagy pofont. Ödönke kapott egy nagy pofont. Nyilván szájalt. Ödönke akkor és csak akkor kap egy nagy pofont, ha szájal. Ödönke kapott egy nagy pofont. Nyilván szájalt. p q p, akkor és csak akkor ha q igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz hamis hamis hamis igaz p akkor és csak akkor ha q, p  q q  p nem p  nem q nem q  nem p Krokodil: Akkor és csak akkor adom vissza, ha kitalálod, mit fogok vele csinálni. Anya: Nem fogod visszaadni. V acsah K, K acsah nem V Anya: Fel fogod falni. V acsah K, ha F, akkor nem V

Az igazságtáblázatok módszere 1. Ha a komornyik igazat mondott, a lord a gyilkos. A komornyik igazat mondott. A lord a gyilkos Ha k, akkor l. k l Ha a komornyik igazat mondott, a lord a gyilkos. A lord a gyilkos. A komornyik igazat mondott. Ha k, akkor l. l k 1. Azonosítsd a logikai formát. 2. Vedd fel az elemezhetetlen kijelentések lehetséges igazságértékeit. 3. Számítsd ki az összetett kijelentések igazságértékeit az összes esetre. 4. Húzd ki azokat a sorokat, amelyekben valamelyik premissza hamis. 5. A következtetés akkor érvényes, ha a konklúzió minden megmaradó sorban igaz. P K P k l ha k, akkor l i i i i h h h i i h h i k l i i i h h i h h K P P

Az igazságtáblázatok módszere 2. Ha okos vagyok, akkor, ha szép vagyok, akkor okos vagyok Ha o, akkor, ha s, akkor o Vagy ha szép vagyok, akkor okos is vagyok, vagy ha nem vagyok okos, akkor szép sem vagyok. Vagy ha s, akkor o, vagy ha nem o, akkor nem s o s ha s, akkor o ha o, akkor, ha s akkor o i i i i i h i i h i h i h h i i o s i i i h h i h h o s ha s, akkor o i i i i h i h i h h h i logikai igazság = minden sorban igaz = mindenből következik o s ha s, nem o nem s ha nem o, akkor o akkor nem s i i i h h i i h i h i i h i h i h h h h i i i i o s ha s, nem o nem s ha nem o, vagy…, akkor o akkor nem s vagy i i i h h i h i h i h i i h h i h i h h h h h i i i i h o s i i i h h i h h ellentmondás = minden sorban hamis = minden következik belőle

Univerzális és egzisztenciális állítások Minden ember halandó. Szókratész ember. Szókratész halandó. Minden E H. s E. s H. Individuumnevek: Szókratész, Platón mestere, a miniszterelnök, kedvenc zeném, az ország leg- nagyobb bankja E H Predikátumok: filozófus, miniszterelnök, fut, szép, szereti, magasabb mint, között van s Némely ember hülye. Szókratész ember. Szókratész hülye. Némely E H. s E. s H. E H A következtetés érvényes: ha a konklúzió Venn-diagramja látható a premisszákén. Ha nem látható, akkor érvénytelen.

A kategorikus állítások fajtái két predikátumot tartalmazó univerzális vagy egzisztenciális állítás Minden F (tulajdonságú dolog) G (tulajdonságú dolog). Minden beteg ember jogosult a gyógykezelésre. Az összes kutya tud ugatni. Aki kíváncsi, hamar megöregszik. Ami repül, az le is esik. A Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely G (tulajdonságú dolog). Némely hazugság nagyon hihető. Néhány gyógyszer kiütést okoz. Vannak repülő halak. Legalább egy beteg már felépült. I Egyetlen F (tulajdonságú dolog) sem G (tulajdonságú dolog). Egyetlen politikus sem éretlen gyermek. Nincs bicikliző hal. Senki nem értheti ezt, aki nem élte át. E Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely nem G (tulajdonságú dolog). Van olyan, politikus, aki nem hazafi. Néhány kutya nem harap. Pár feladat nem nehéz. O

Ekvivalenciák Minden F G.  Egyetlen F sem nem-G. Minden új TV színes.  Egyetlen új TV sem fekete-fehér. A szélhámosok becstelenek.  Nincs olyan szélhámos, aki becsületes. Nem minden F G.  Van olyan F, amelyik nem G. Nem minden madár énekel.  Van olyan madár, amelyik nem énekel. Nem az összes elítélt bűnös.  Néhány elítélt ártatlan. ellentét vs. tagadás! Egyetlen hal sem hazudik. nem ekvivalens azzal, hogy Minden hal igazat mond. Minden F G.  Minden G F. Némely F G.  Némely G F. Egyetlen F sem G.  Egyetlen G sem F. Némely F nem G.  Némely G nem F. Melyik igaz?

A kategorikus állítások ábrázolása Venn-diagramokkal 1. 2. 3. 1. Azok a dolgok, amelyek F-ek, de nem G-k. 2. Azok a dolgok, amelyek F-ek és G-k is. 3. Azok a dolgok, amelyek G-k, de nem F-ek. F G F G A Minden F (tulajdonságú dolog) G (tulajdonságú dolog). F G I Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely G (tulajdonságú dolog). F G E Egyetlen F (tulajdonságú dolog) sem G (tulajdonságú dolog). F G O Van olyan F (tulajdonságú dolog), amely nem G (tulajdonságú dolog).

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramokkal 1. 1. Átlátható formára hozzuk a következtetést. 2. Felrajzoljuk a premisszák Venn-diagramját. 3. Ha a konklúzió Venn-diagramja látható a premisszákén, a következetés érvényes. Ha nem látható, akkor érvénytelen. Vagy: megpróbáljuk rávinni a konklúzió tagadását a premisszák Venn- diagramjára: ha ez lehetséges, a következtetés érvénytelen. Minden beteg ember jogosult a gyógykezelésre. Minden gyógykezelésre jogosult megfelelő ellátásban részesül. Minden beteg ember megfelelő ellátásban részesül. Minden A B. Minden B C. Minden A C. C A C A C A B

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramokkal 2. Vannak tisztességes emberek. Egyes emberek nők. Vannak tisztességes nők. Vannak erős birkózók. A birkózók mind sportolók. Vannak erős sportolók. A C B C A B A létezésvonal átmegy az érintett tartomány minden részén. A létezésvonal jelentése: valahol a vonal mentén van legalább egy individuum. Az egy résztartományba húzott vonal jelentése: pontosan abban a résztartományban van valami. Ahol satírozás van, ott nem lehet vonal. Ezért előbb satírozzunk, azután vonalazzunk.

Az egzisztenciális súly problémája Minden hétfejű sárkány prímszámú fejű. Igaz vagy hamis? 1. lehetőség: igaz, mert nincs rá ellenpélda. 2. lehetőség: hamis, mert nincs rá példa. 3. lehetőség: letiltjuk az üres predikátumokat, és nem válaszoljuk meg a kérdést. Modern predikátumlogika arisztotelészi szillogisztika most ezt használjuk Az arisztotelészi szillogisztikában az üres körök úgy értendők, hogy van bennük egy vonal. környezetszennyező Minden NDK kocsi kétütemű. Minden kétütemű kocsi környezetszennyező. Némely NDK kocsi környezetszennyező. NDK kocsi kétütemű