4 ev Mernoki Informatika BBTE Matematika es Informatika

Tudomanyos kutatasban ket terulet letezett kb az 1600as evektol (Galilei kiserletei): ez a ket terulet a kiserlet es az elmelet Az elmelet matematikai leirast ad a jelensegekre – kepleteket ir fel amelyek osszefuggeseket allapitanak meg – ennek prediktiv erteke van

A kiserlet mereseket vegez, ugy, hogy kozben egy vagy tobb parametert ellenorzott modon megvaltoztat – es ugy hogy egy vagy tobb kulso tenyezo hatasat kikuszoboli vagy minimizalja Az elmelet es a kiserlet szoros kapcsolatban allnak egymassal: az elmelet altal elore kiszamolt hatasokat ellenorizni lehet

A kiserlet soran eszlelt uj jelensegekre magyarazatot kell keresni elmeletileg Az elmelet igy egyre jobb matematikai modelleket gyart amelyek egyre jobban leirjak azt ami a “valosagban” azaz a kiserletekben tortennek

Az elso kiserletet Galileo Galilei vegezte a pisai ferde toronybol (1589): kihajitott egy fem es egy fa golyot amelyek azonos meretuek voltak Arisztotelesz szerint a nehezebb targy hamarabb kellene leessen (tehat a vasgolyo hamarabb kellene leessen mint a fagolyo), viszont egyszerre erkeztek meg

Arisztotelesz a surlodas miatt gondolta azt amit gondolt: mindenhol jelen van a surlodas korulottunk. Viszont az egyszeru eset az hogyha nincs surlodas, ebben az esetben egy test mozogni fog amig egy ero nem hat ra hogy megallitsa. Ehhez kell hozzaadni a surlodast hogy leirjuk azt az esetet amikor van surlodas. Kiserlet > atirta az elmeletet

A Galilei kiserletet el lehet vegezni egy vakumcsoben is – ez az amikor kiiktatjuk az egyik tenyezot a kiserletbol (a levegovel valo surlodast). A matematikai leiras a leheto legegyszerubb kell legyen (Occam borotvaja) es csak akkor teszunk hozza ha szukseges hozzatenni ahhoz hogy leirjunk valamit

Szuperpozicio elve: kulon-kulon le lehet irni a hatasokat es ezek egyuttes hatasa a hatasok osszege f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) Vagyis a rendszerunk linearis es felbonthato komponensekre es megertheto a komponensek megertese alapjan

Pl. egy test eseten ahhoz hogy megertsuk a viselkedeset, felbontjuk egyszeru komponensekre, megertjuk ezen egyszeru komponensek viselkedeset es osszegezzuk ezt a viselkedest hogy megertsuk a nagymeretu (makroszkopikus) test viselkedeset Mikroszkopikus leiras > Makroszkopikus viselkedes

Termodinamika: leirunk egy atomot vagy molekulat, ebbol a leirasbol kiszamolhatjuk azt hogy nagyon sok (10^26) atom vagy molekula hogyan viselkedik

Mikor tudjuk ezt megcsinalni matmatikailag? Ha az atomok fuggetlenek egymastol es eleg egyetlen atomra megoldani a problemat (peldaul idealis gaz modellje eseten) Ha fuggetlenek, es nem viselkedik minden atom ugyanugy, de ismerjuk az eloszlast > Statisztikus Fizika

Pelda: idealis gaz modellje Szukseg van arra hogy leirjam egyetlen molekula mozgasat: egy tomeggel rendelkezo kis pontnak veszem aminek a mozgasegyenletet a Newton torvenye adja meg f=ma. Idealis gaz eseten eltekintek a gravitaciotol es a molekulak kozotti kolcsonhatastol: csak az utkozesek szamitanak

Idealis gaz modellje Az utkozesek kozul is csak a falakkal valo utkozeseket tekintem. Ebben az esetben a reszecskek impulzusa megvaltozik p=mv az impulzus Δp=2mv x az impulzusvaltozas a falnal Δt = 2L/v x idonkent erkezik meg ujbol ide

F=Δp/Δt az ero amivel hat a falra F=2mv x 2 /2L = mv x 2 /L p=F/A = F/L 2 a nyomas ezen a falon p = mv x 2 /L 3 Most terek at arra hogy hogyan osszegzem ezt minden molekulara: atlagban mekkora a v x sebesseguk ezt kell figyelembe vegyem

p = N m /L 3 (L 3 =V) Ahol a -el az atlagos sebesseget jelolom Ugyanolyan a sebesseg x,y,z iranyba = 1/3 pV = νN A m 1/3 ahol hasznalom az Avogadro-szamot (molekulak szama/mol)

pV = νN A m 1/3 Ossze kell hozni az atlagsebesseget egy makroszkopikus mennyiseggel – ehhez kellene tudjam hogy oszlik el a molekulak mozgasi energiaja (statisztikus fizika) m /2 = 3/2kT minden szabadsagi fokra ugyanannyi energia jut ami aranyos a homerseklettel pV = νN A k T ami mar csak makroszkopikus

pV = νN A k T ; N A k=R pV = νRT altalanos gaztorveny, nagyon hasznos mindenfele folyamat leirasara (izochor, izobar, izoterm, politrop stb allapotvaltozasokra), le lehet vele irni jol a hoerogepek mukodeset stb. Az eredeti modell egyszerusegebol kovetkezik hogy nem mindent tud leirni pl. amikor cseppfolyositjak a gazakat

Ezt a modellt meg ki lehet boviteni arra hogy leirja a cseppfolyositast, ekkor figyelembe kell venni  Azt hogy a molekulaknak van sajat terfogata  Azt hogy van kozottuk egy vonzoero

Ha az atomok nagyon szorosan fuggnek egymastol (pl egy kristalyracsban vannak) de ez a kolcsonhatas ugyanugy nez ki mindenhol es a szerkezet periodikus (ekkor ugyanis szinten leirhatok egyetlen atomot, illetve az eloszlasokat ismerve ki tudom szamolni a rendszer viselkedeset) Elmeleti leiras kiserleti meresek

Mikor lehet gond az hogy kiszamoljam a makroszkopikus viselkedest a mikroszkopikus leiras alapjan? Ha nem fuggetlenek egymastol az atomok/molekulak: a kolcsonhatas nem elhanyagolhato viszont nem is annyira eros mint egy szilard krisztalyban ahol ismet ugyanolyan (periodikusan)

Folyadekokra nem tudtak egy tesztelheto modellt kesziteni. Az elso konyv amit szamitogepes szimulaciorol irtak, az Allen and Tildesley "Computer Simulation of Liquids” Az egyenleteket nem analitikusan hanem numerikusan oldjuk meg.

Mit jelent az egyenletek numerikus megoldasa? Azt jelenti hogy kiszamoljuk a reszecskek palyajat az ido fuggvenyeben, tehat minden reszecskere megkapjuk az x(t) y(t) es z(t) egyenleteket. Mivel numerikus a megoldas, nem magat a fuggvenyt kapjuk meg hanem a fuggveny ertekeit egy sorozatban x(t 0 ), x(t 0 +dt), x(t 0 +2dt), x(t 0 +3dt), …

Ahhoz hogy ezt a megoldast megkapjuk, szuksegunk van az egyetlen reszecsket leiro mozgasegyenletre (equation of motion). Esetunkben ez a mozgasegyenlet a klasszikus Newton 2. torvenye lesz: f = ma ahol a=d 2 x/dt 2 d 2 x/dt 2 = 1/m f ezt a differencialegyenletet kell megoldani minden reszecskere

d 2 x 1 /dt 2 = 1/m f 1 (x 1,x 2,x 3,…) d 2 x 2 /dt 2 = 1/m f 2 (x 1,x 2,x 3,…) … ez a csatolt differencialegyenlet-rendszerunk van.Ez azert csatolt mert az erok kiszamolasaban nem eleg tudni csak az illeto reszecske poziciojat, hanem tudni kell minden reszecske poziciojat – tehat az egyenleteket egyszerre kell megoldani

1. lepes: megadni minden reszecske poziciojat es sebesseget (hatarfeltetelek a differencialegyenlethez) 2. lepes: kiszamolni minden erot ami a reszecskekre hat: ezt megtehetjuk mert ismerjuk az osszes poziciot es sebesseget 3. egy kis lepest megtenni minden reszecskevel – egy rovid dt ideig ugy tekintjuk hogy az erok allandok

A 3. lepes utan ujbol megvannak a reszecskek pozicioi es sebessegei, igy a 2. lepest ujra megtehetjuk. A 2. es a 3.as lepest egymas utan nagyon sokszor vegrehajtjuk (millioszor is) es igy fokozatosan megkapjuk a reszecskek palyajat, az x,y,z szamsorozatokat Szimulaciokban nem ritka eset az hogy a dt pikoszekundum nagysagrendu mig a teljes ido nano vagy mikroszekundum nagysagrendu

Mi ez a kolcsonhatasi ero amit kiszamolunk a reszecskek kozott? f 1 (x 1,x 2,x 3,…)-el jeloltuk ez a rendszerben a reszecske es minden mas reszecske helyzetetol fugg igy altalanosan felirva. Fel szoktak bontani kulonbozo osszegekre ezt az erot, egy reszecske, ket reszecske, harom reszecske stb. kolcsonhatasra

f 1 (x 1,x 2,x 3,…) = f 1 (x 1 ) + Σ f 1 (x 1, x i ) + Σ f 1 (x 1, x i,x j ) + Σ f 1 (x 1, x i,x j,x k )+ … az a tag ahol csak a reszecske koordinataja szerepel, az a kulso eroket jelenti, ezek fugghetnek attol hogy a reszecske hol van a rendszerben (pl aramlas egy csoben: azt a reszecsket amely kozepen van nagyobb erovel huzza az aramlas mint ami a fal kozeleben van)

Σ f 1 (x 1, x i ) ez a paronkenti kolcsonhatas (pairwise interaction) – ennek van a legnagyobb szerepe a rendszerben es ennek a szamolasa a legtobb munka a molekularis dinamika szimulacio futasa soran Σ f 1 (x 1, x i,x j ) ez a harom-test kolcsonhatas, ezt sokszor elhanyagoljak de vannak esetek amikor fontos (pl elasztikus gombok vagy diszkek eseten ez a tag nagyon fontos)

Σ f 1 (x 1, x i ) hogy hat kolcson ket atom (molekula)? Vegyuk a semleges atomok estetet. Ebben az esetben a kolcsonhatast jol leirja a Van der Waals kolcsonhatas: nagyon tavol egymastol az atomok nem hatnak kolcson, egy adott tavolsagon belul vonzzak egymast, mig hogyha tul kozel kerulnek egymashoz akkor taszitjak egymast

Ahhoz hogy ezt a kolcsonhatast (illetve barmilyen atomok kozotti kolcsonhatast) pontosan kiszamoljuk, meg kellene oldani az atommagokra es az elektronokra is az ilelto mozgasegyenleteket. Ezek a mozgasegyenletek mar nem a klasszikus egyenletek, hanem a Schrödinger- egyenletet kellene megoldani: Hψ=Eψ. Ezekbol az egyenletekbol megkapjuk a ψ hullamfuggvenyt

A szamitasokat eleg elvegezni csak az elektronokra, mivel az atommagok tomege sokkal nagyobb az elektronok tomegenel, ezert mozgasuk is sokkal lassubb es igy kulon lehet valasztani a ket mozgast: az elektronok gyors es az atommagok lassu mozgasat (Born- Oppenheimer kozelites). Igy a megoldasban elsosorban az elektronokra kiszamolt hullamfuggvenyek erdekelnek minket.

A ψ hullamfuggveny magnitudoja (ψψ*) adja meg az elektronok valoszinusegsuruseget a terben. Ezekkel lehet pontosan kiszamolni azt hogy milyen kolcsonhatas van kulonbozo atomok kozott. Ha a szamolasokban ezt mindig elvegezzuk azt az alapoktol indulo rendszernek nevezik vagyis ab initio szamitasnak es ab initio molekularis dinamikanak. Ez nagyon szamitasigenyes, viszont pontos megoldas.

A gyakorlatban sokszor ezeket a szamitasokat elvegzik egyszer es az igy kapott kolcsonhatast hasznaljak fel a tovabbiakban anelkul hogy ujra kiszamolnak az elektronokra a megoldasokat. Ez a kvazi-klasszikus kozelites. Ezek a kolcsonhatasi potencialok ki vannak szamolva nagyon sok esetre elore es csak felhasznaljak oket (AMBER, CHARMM, stb)

Nezzunk meg egy ilyen potencialt az egyik elso potencialt amit hasznaltak: Lennard-Jones vagy 6-12-es potencial Ez ket semleges atom kolcsonhatasat irja le. Ezek kozott Van der Waals erok hatnak. Nagyon tavol levo atomok nem hatnak kolcson.

Noha az atomok semlegesek, az elektronfelho kozpontja es az atommag kozpontja nem mindig esik egybe, ilyenkor letrejon egy elektromos dipolus. Ez a dipolus fluktual es maga korul egy elektromos teret hoz letre. Ha ezek a fluktualo dipolusok eleg kozel vannak egymashoz akkor befolyasoljak egymast ugy, hogy vonzoero jon letre a ket atom (vagy molekula) kozott.

Ha az atomok nagyon kozel kerulnek egymashoz akkor az elektronfelhok atfedodnek es olyankor mar taszitas lep fel. A kolcsonhatasi erot le lehet vezetni a kolcsonhatasi potencialbol f(r)= - dU(r)/dr A LJ potencialt azert nevezik 6-12es potencialnak mert egy 1/r 6 es egy 1/r 12 tag is van benne

Lennard-Jones (LJ) potencial: r6 a vonzo r12 a taszito ero

A LJ potencialt inkabb mar csak bemutato cellal hasznaljak, az anyagok szimulalasara sokkal jobb potencialok leteznek. Pl az embedded atom potencial, kulonbozo elore kiszamolt potencialok, polarizalhato potencialok, stb. Bemutatunk meg egy egyszeru potencialt amit az elso laborfeladatban fogunk hasznalni, ez a toltott reszecskekre vonatkozik.

Coulomb potencial: f = 1/(4πε 0 ) q 1 q 2 /r 2 amennyiben kolloidokrol beszelunk egy polaros folyadekban, a folyadek arnyekolast vezet be es ez az arnyekolas miatt a kolcsonhatas hamarabb esik le (exponencialis tag): f = 1/(4πε 0 ) q 1 q 2 /r 2 e -ar

Egyes potencialokat levaghatunk, ez azt jelenti hogy egy adott r cutoff tavolsagon tul 0-nak tekintjuk az eroket: igy egy csomo szamolast megsporolunk. Nem minden potencial vaghato le: 2 dimenzioban a LJ es a screened Coulomb levaghato, a Coulomb nem vaghato le.

Mekkora rendszert tudunk szimulálni? Egy millió atomot? Száz millió atomot? Ezek mind nagyon kis méretek ahhoz képest hogy mekkora egy makroszkopikus rendszer. A makroszkopikus rendszer ugyanis ~10 26 részecsét tartalmaz egyetlen kmolban Nem vagyunk képesek ennyi részecskét szimulálni: valamit ki kell találjunk

Ha a rendszer belsejében lezajló folyamatokra vagyunk kíváncsiak (in the bulk), akkor úgy tekinthetjük, hogy a rendszer felosztható sok kis részre amelyek nagy többségben majdnem ugyanúgy viselkednek (a felület nem, de nem az érdekel most). Ezt a majdnem ugyanúgy-ot kicseréljük arra hogy pontosan ugyanúgy. Ezzel azt mondjuk hogy elég egy kis darabot szimulálni amit saját maga másolatai vesznek körül. Ez a periodikus határfeltétel (PBC)

PBC: Periodic Boundary Conditions csak egyetlen kis részt szimulálunk –a teljes rendszert leírjuk ezzel

PBC: Periodic Boundary Conditions Két dolgot jelent ez a szimulációnkban:  amikor egy részecske mozgása során kikerül a dobozból, akkor az ellenkező oldalon bejön a dobozba (PBC fold back).  amikor egy részecske szomszédait nézzük, az összes szomszédos dobozzal is számolni kell

Az összes szomszédos dobozzal levő kölcsönhatás számolása:  ha levágható a potenciál, akkor a dobozt olyan nagynak vesszük hogy csak egyetlen tükörképpel hasson kölcsön a részecske  ha nem vágható le a potenciál akkor egy végtelen sorozatot kell kiszámolni - helyes sorrendberakással, csoportosítással ez konvergál (Ewald summation)