Integritási tartományok Gyűrűk Kommutatív gyűrűk Integritási tartományok Egységelemes integritási tartományok Gauss-gyűrűk (UFD) Főideál gyűrűk Euklidészi gyűrűk Testek Polinom1

Polinomok Például

Definíció. Legyen R egységelemes integritási tartomány. R-beli együtthatós, vagy R feletti egy határozatlanú polinomoknak nevezzük az (a0, a1, …, an, …) végtelen sorozatokat, amelyekben aiR (i=0, 1, …), és csak véges sok ai különbözik 0-tól. Az ai elemek a polinom együtthatói.

Legyenek f=(a0, a1, …, an, …) és g=(b0, b1, …, bn, …) R feletti polinomok. f = g   i : ai = bi . Műveletek: 1. u = f+g = (c0, …, cn, …), ci = ai+bi (iN0). 2. v = fg = (d0, …, dn, …), ahol 3. aR esetén af = (aa0, …, aan).

Belátható Az R feletti polinomok az 1., 2. műveletekkel kommutatív egységelemes gyűrűt alkotnak. Egységelem az (e, 0, …, 0, …) polinom, ahol e az R gyűrű egységeleme. Az a  fa = (a, 0, …, 0, …) megfeleltetés injektív és művelettartó. Ekkor  f R feletti polinomra af = faf .  R elemei is R feletti polinomoknak tekinthetők (konstans polinomok).

Legyen x = (0, e, 0, …, 0, …) xn = (0, …, e, 0, …), nN. n+1 –edik pozíció Legyen x0 =( e, 0, …, 0, …). f = (a0, a1, …, an, …) = = (a0, 0, …, 0, …) + ... + (0, 0, …, an, …) = = a0 + a1x +…+ anxn +… , ahol az ai  R az = (ai, 0, …, 0, …) polinomnak felel meg.

Jelölés. az R feletti polinomgyűrűt x = (0, e, 0, …, 0, …) figyelembevételével R[x]-szel jelöljük. Definíció. Legyen f = a0 + a1x +…+ anxn  R[x], ekkor ai az i-edfokú tag együtthatója. A 0-adfokú tag együtthatója a polinom konstanstagja. Ha an0, akkor an a polinom főegyütthatója, és n a polinom foka. deg f Ha a polinomnak nincs 0-tól különböző együtthatója, akkor a polinom fokát nem definiáljuk.

R[x] nulleleme: az a polinom, amelyiknek minden együtthatója nulla (nullpolinom), egységeleme az f(x)=e polinom. A nullpolinom kivételével minden polinomnak van foka. Időnként a nullpolinom fokát –-ként definiálják. f konstans polinom: f(x)=a0, ahol a00, deg(f)=0. f elsőfokú vagy lineáris polinom: deg(f)=1

Tétel. R[x] nullosztómentes. Bizonyítás. fg polinom főegyütthatója f és g főegyütthatójának szorzata : anbk  0 mert R nullosztómentes.  f(x)g(x) sem lehet a nullpolinom.

 Egységelemes integritási tartomány feletti polinomgyűrű egységelemes integritási tartományt alkot. Ha f, gR[x]* és f + g0, akkor deg(f +g)  max(deg(f ), deg (g)), deg(fg) = deg( f ) + deg( g)  max(deg( f ), deg( g)).

Polinomfüggvény : f : R  R, f(c) = a0 + a1c +…+ ancn  R, c R. Két polinomfüggvény (f és g) egyenlő, ha f(c) = g(c) minden cR esetén teljesül. Polinom és polinomfüggvény nem feltétlenül esnek egybe. Végtelen integritási tartományban a polinomok és polinomfüggvények között bijekció létesíthető, és a polinomok, illetve a polinomfüggvények egyenlősége ugyanazt jelenti, véges esetben azonban ez nincs így.

Példa. Két különböző polinom polinomfüggvénye mege-gyezhet. Legyen például R = Z3 A két polinomfüggvény megegyezik, a két polinom különböző.

Tétel (polinomok maradékos osztása) Legyen R egységelemes integritási tartomány, f, g R[x] és g főegyütthatója, bk legyen R-ben egység. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q, r  R[x] polinomok, melyekkel f (x) = g(x)q(x) + r(x), ahol r(x)0, vagy és deg(r) < deg(g). Bizonyítás. A. Létezés I. Ha f = 0, vagy n < k  q(x)  0, r(x) = f(x) .

q(x) = anbk-1·xn–k, r(x) = 0. f (x) = g(x)q(x) + r(x) II. Legyen n  k. n szerinti teljes indukció: 1. Ha n = k = 0  akkor legyen bk egység R-ben, így létezik inverze 2. Legyen n > 0 és tfh az n-nél kisebb fokszámok esetén igaz az állítás. f1(x) = f(x) – g(x)anbk-1xn–k. (*) f és a belőle levonásra kerülő polinom főegyütthatója megegyezik, f1=0, vagy deg f1<deg f. Ha f1 = 0  q(x) = anbk-1·xn–k, r(x) = 0.

f1(x) = f(x) – g(x)anbk-1xn–k. f (x) = g(x)q(x) + r(x) f1(x) = f(x) – g(x)anbk-1xn–k. Ha deg ( f1) < deg ( f ), ind. feltétel   q1(x), r1(x)  R[x] : f1(x) = g(x)q1(x) + r1(x), ahol r1(x)0 vagy deg( r1)<deg( g). (*)  f(x) = g(x)an bk-1· xn–k + g(x)q1(x) + r1(x), f(x) = g(x)(an bk-1· xn–k + q1(x)) + r1(x) . q(x) r(x)

deg(r2 – r1) = deg( g(q1– q2) )  deg( g ) . 2. Egyértelműség Tfh f = gq1 + r1 = gq2 + r2  g(q1– q2) = r2 – r1. Tegyük fel indirekte, hogy q1– q2  0  deg(r2 – r1) = deg( g(q1– q2) )  deg( g ) .  q1– q2 = 0  r2 – r1 = 0. f és g fenti két előállítása megegyezik  egyértelmű az előállítás.

Következmény: Tétel (test feletti polinomgyűrű) Legyen R test, és fR[x]* esetén : R[x]*  N0, (f) = deg( f). Ekkor R[x]  -vel euklidészi gyűrűt alkot. Bizonyítás. Előző tétel  ha g főegyütthatója egység, akkor elvégezhető g-vel a maradékos osztás. Test esetén minden nem nulla elem egység, Az előző tétel a következőképpen módosul: R test, f, gR[x], g0 esetén egyértelműen léteznek olyan q, rR[x] polinomok, melyekkel f(x)= g(x)q(x)+r(x), ahol a. r(x)0, vagy b. deg r<deg g.

ha f, gR[x]*, akkor (fg)=deg(fg)=deg f + deg g  max(deg f, deg g)=max (( f ), (g))  az euklidészi gyűrűk második tulajdonsága is teljesül.

Egységelemes integritási tartomány Gyűrű Kommutatív gyűrű R[x] is az! Egységelemes integritási tartomány Gauss-gyűrű (UFD) Euklidészi gyűrű R[x] csak UFD Test R[x] csak Eukl. gy.