Kvantummechanikai alapok Műszaki fizika alapjai Kvantummechanikai alapok Dr. Giczi Ferenc Széchenyi István Egyetem, Fizika Tanszék Győr, Egyetem tér 1.

A hidrogénatom Bohr-féle elmélete Pályasugár E3 Kerületi sebesség E2 E1  

Anyaghullámok L. de Broglie hipotézise (1924): A hullám-részecske kettősség az anyagi világ általános sajátsága. Minden mozgó részecskéhez hullám rendelhető, amelynek hullámhossza és frekvenciája ugyanolyan kapcsolatban van a részecske impulzusával és energiájával, mint a fény hullámhossza és frekvenciája a foton impulzusával és energiájával. Megjegyzés: A hipotézis jól illeszkedett a Bohr-modellhez. Az atommag körül az elektron olyan pályákon kering stabilan, amelyre a pálya hossza éppen az elektron hullámhosszának egész számú többszöröse.

Az anyaghullámok kísérleti bizonyítékai Davisson és Germer interferencia kísérlete (1927) Mérésekkel igazolták. A diffrakciós maximumok távolsága változik, ha változtatjuk a katódsugárcső gyorsítófeszültségét.

Anyaghullámok Megjegyzés: de Broglie a p impulzusú, szabadon mozgó részecskéhez (elektronhoz) meghatározott  hullámhosszúságú (végtelen síkhullámot) rendelt. r …..de mi a de Broglie hullámok fizikai jelentése?

A hullámfüggvény kísérletileg meghatározható jelentése (Fotografikus érzékelés) Siker: A hullámfüggvény segítségével megjósolható az interferenciakép intenzitás eloszlása. De… A fotolemez pontszerűen feketedik meg, ahol az elektron becsapódik. Rövid időtartamú expozíciók esetén a lemezen véletlenszerűen találunk fekete pontokat. Az interferenciakép fokozatosan rajzolódik ki.

A hullámfüggvény kísérletileg meghatározható jelentése (hangjelzést adó elektronikus detektálás) Kicsi intenzitásnál a detektor impulzusszerű hangot ad. Adott helyen elhelyezett detektor véletlenszerűen jelez. Több detektor esetén két detektor egyszerre soha sem jelez.

A kísérleti tapasztalatok összegzése Az elektronok oszthatatlan egészként csapódnak az ernyő egy-egy pontjára. Az elektronok becsapódása véletlenszerű. Az interferencia kép akkor is kirajzolódik, ha egyszerre csak egyetlen elektron tartózkodik a berendezésben. A hulláminterferenciának megfelelő intenzitás eloszlás sok elektron becsapódásának az eredménye.

A fény intenzitás eloszlása (emlékeztető) A fény intenzitás eloszlása nem más, mint a fotonok becsapódásának a gyakorisága.

Davisson-Germer kísérlet interferencia elektronokkal Az interferenciakép intenzitás eloszlása nem más, mint az elektronok becsapódásának a gyakoriság eloszlása.

A hullámfüggvény fizikai értelmezése (Max Born) Az elektronok becsapódási valószínűsége a kiszemelt helyen (az ernyő egy meghatározott helyén) vett hullámfüggvény abszolút értékének négyzetével arányos.

A hullámfüggvény fizikai értelmezése (Max Born) Az anyaghullámokat leíró (r,t) hullámfüggvény ismeretében megmondható, hogy az adott részecske a térnek valamely kis V tartományában milyen valószínűséggel mutatható ki. Az egész térben a vizsgált részecske biztosan megtalálható.

Anyaghullámok Megjegyzés: L. de Broglie a p impulzusú (v sebességű), szabadon mozgó részecskéhez  hullámhosszúságú végtelen síkhullámot rendelt. r Ellentmondások: A mozgó részecske kiterjedése véges kell, hogy legyen. (az elektronok a becsapódásakor mindig pontszerű felvillanásokat eredményez. A mozgó részecske sebességére mindig fénysebességet kapunk. (Ellentmondás, mivel kézenfekvő, hogy a hullám terjedési sebessége a részecske sebességével azonos.)

A hullámcsomag Az ellentmondás feloldható, ha a részecskéhez véges hullámvonulatot (hullámcsomagot) rendelünk. A hullámcsomaggal jellemzett részecske a térnek abban a tartományában található, ahol a hullámfüggvény nem nulla.

A hullámcsomag A hullámcsomagot matematikailag több különböző hullámhosszúságú szinuszhullám szuperpozíciójaként írhatjuk le. λ λ1 Ha 1 és 2 között minden lehetséges hullámhosszú síkhullám részt vesz a hullámcsomag kialakításában, akkor az eredő hullám a tér egy korlátozott tartományára kiterjedő egyetlen hullámcsoport lesz. λ2 λ1 λ2

A hullámcsomag szétfolyása A magára hagyott (erőmentesen mozgó) hullámcsomag mindig szétterül. Új maximum és minimum helyek jelennek meg. A hullámcsomag szétfolyása annál gyorsabb, minél keskenyebb volt az eredeti szélessége.

A Heisenberg-féle határozatlansági reláció A kvantummechanika egyik legfontosabb alapösszefüggése. x A magára hagyott (erőmentesen mozgó) részecskékhez hullámcsomag rendelhető.      ~ p A részecske helye és impulzusa nem határozható meg egyszerre tetszőleges pontosan.

A Heisenberg-féle határozatlansági relációk (1927) Ha egy elektron gerjesztett állapotának energiája E szélességű, akkor az alapállapotba történő visszatérés  időtartam erejéig bizonytalan.

Összegzés Szabadon mozgó részecskéhez hullámcsomag rendelhető. A hullámcsomagot a (x,t) hullámfüggvény jellemzi. A hullámfüggvény jellemzi a részecske helyét (a hullámcsomag szélessége). A hullámfüggvény jellemzi a részecske impulzusát, energiáját. Összefoglalva: a hullámfüggvény jellemzi a részecske állapotát. ÁLLAPOTFÜGGVÉNY

A Schrödinger-egyenlet Alapvető követelmény, hogy megtaláljuk azt a „törvényt”, amelynek segítségével a hullámfüggvény tetszőleges probléma esetén meghatározható. (egy térdimenzióra) A Schrödinger-egyenlet megoldásai a mikrorészecskék leírására szolgáló állapotfüggvények.

A Schrödinger-egyenlet A Schrödinger-egyenlet igazi jelentősége, hogy segítségével kötött részecskék, pl. az atomban, molekulában kötött elektronok hullámfüggvénye is meghatározható.

Kötött részecskék kvantummechanikai leírása A kötött elektronok megtalálási valószínűsége (az atommag körül) nem változik az időben. A Schrödinger-egyenlet időtől független, stacionárius megoldásfüggvényeit keressük. (egy térdimenzióra) A  már csak a helytől függő állapotfüggvény.

Milyen megoldást ad a Schrödinger-egyenlet az elektron állapotára? Feladat A sárgarépa színét a karotin-molekula adja. Ebben van egy 22 szénatomra kiterjedő, mintegy a=3 nm hosszúságú láncszakasz, amelynek mentén az elektron szabadon mozoghat. Milyen megoldást ad a Schrödinger-egyenlet az elektron állapotára?

Dobozba zárt részecske leírása Modell: Az elektront egy „egydimenziós dobozba” van zárva. Szeretnénk meghatározni az elektron állapotát jellemző állapotfüggvényt. x  V(x) Az elektron az x-tengely mentén a 0  x  a tartományon belül szabadon mozoghat, de onnan nem léphet ki. a

Dobozba zárt részecske leírása n=4 n=3 n=2 A lehetséges energiaértékek sorozata adja a részecske energiaspektrumát. Az n=1 kvantumszámú állapotot alapállapot-nak nevezzük. n=2, 3, 4, … gerjesztett állapotok.

Dobozba zárt részecske leírása A dobozba zárt részecske állapotát leíró hullámok állóhullámok. n=4 n=3 Az n kvantumszám szemléletesen azt mutatja meg, hogy az állapotfüggvénynek hány csomópontja (g) van. (n = g+1) n=2

Feladat A sárgarépa színét a karotin-molekula adja. Ebben van egy 22 szénatomra kiterjedő, mintegy 3 nm hosszúságú láncszakasz, amelynek mentén az elektron szabadon mozoghat. Számítsuk ki E1, E2 és E3 energiaértékeket! Milyen hullámhosszúságú fénnyel gerjeszthető az alapállapotú elektron az első és második gerjesztett állapotába?

A membránmodell (síkban elzárt részecske) csomóvonalak Az a, b élhosszúságú, téglalap alakú tartományba kényszerített részecske

Összeeső és közel összeeső energiaszintek A legtöbb atom és kisméretű szervetlen molekula csak ultraibolya fotonokkal (hf > 0,5 aJ) gerjeszthető. A látható napfény (0,25 – 0,5 aJ) felhasználatlanul folyik át rajtuk.

Összeeső és közel összeeső energiaszintek Klorofill-molekula A majdnem tökéletes elforgatási szimmetria miatt E12E21. E=0,3 aJ. A 660 nm vörös fotont elnyeli. Ez okozza a levelek zöld színét.

Téglatest alakú térrészbe zárt részecske Az a, b, c élhosszúságú, téglatest alakú térrészbe zárt részecske energiája az élek mentén három egymásra merőlegesen kialakuló, egymástól független állóhullám energiájának összege.

A lineáris oszcillátor Az x-tengely mentén az F=-Dx erő hatására mozgó részecske harmonikus rezgőmozgást végez. Klasszikus mozgásegyenlet: Klasszikus energia: Kvantummechanikai megközelítés:

A lineáris oszcillátor Zérusponti energia Szomszédos energiaszintek közötti különbség A kvantummechanika természetes magyarázatát adja a Planck-féle hipotézisnek.

Az alagúteffektus A fény új közeg határához érve csak részben verődik vissza, s a hullám bizonyos mértékben mindig behatol az új közegbe (vízbe kb. 300-400 m-ig). Amennyiben a bezárt részecske mozgását csak véges magasságú és szélességű potenciálgát korlátozza, akkor az anyaghullám is a fényhez hasonlóan viselkedik.

Az alagút-effektus jellegzetesen kvantummechanikai természetű. A potenciál falon áthaladó részecske nem a gátat megmászva, hanem egy „alagúton keresztül” kerül át az akadályon. Az alagút-effektus jellegzetesen kvantummechanikai természetű.

Köszönöm a figyelmüket! Köszönöm a figyelmüket! folytatása következik…. 46