Csoport, félcsoport, test STRUKTÚRÁK Csoport, félcsoport, test

RSA Cryptosystem/ Titkosítási rendszer Rivest, Shamir, Adelman (1978) RSA a neten leggyakrabban használt titkosítási protokoll. A böngészők zöme ezt használja, hogy biztonságos kapcsolatot létesítsen egy adott oldallal. Részletek a szaktárgyakban lesznek, itt a matematikai alapokat tárgyaljuk

Algebrai struktúrák: csoport, gyűrű, test PÉLDA

Négyzet forgatása Képzeljük el, hogy a négyzetet bármilyen módon forgathatjuk és utána visszahelyezzük a keretbe.

Hányféleképpen lehet ezt megtenni? R90 R180 R270 R0 F| F— F F

8-féle mozgatás van, ezek a négyzet szimmetria transzformációi 8-féle mozgatás van, ezek a négyzet szimmetria transzformációi. E mozgatások alkotják az alaphalmazt. R90 R180 R270 R0 F| F— F F

YSzN = { R0, R90, R180, R270, F|, F—, F , F }

Művelet: Mozgások kompozíciója “” azt jelenti, hogy választunk a fentiek közül egy transzformációt, és utána egy másikat. Példák: R90  R180 először 90˚ -kal negatív irányba forgatunk, majd 180˚ -kal negatív irányba, vagyis ekkor 270 o fokkal forgattunk, tehát R270 az eredmény. F|  R90 Függőleges tengelyre tükrözünk először, majd 90˚-kal elforgatunk” = F Ha a,b  YSzN, akkor a  b  YSzN? Igen!

R0 R90 R180 R270 F| F— F F R0 R0 R90 R180 R270 F| F— F F R90 R90 R180 R270 R0 F F F| F— R180 R180 R270 R0 R90 F— F| F F R270 R270 R0 R90 R180 F F F— F| F| F| F F— F R0 R180 R90 R270 F— F— F F| F R180 R0 R270 R90 F F F— F F| R270 R90 R0 R180 F F F| F F— R90 R270 R180 R0

Formálisan Ha H halmaz, H  H : H elemeiből alkotott rendezett párok halmaza H  H = { (a,b) | a  H és b  H } Hány eleme van H  H -nak? n2 A  művelet egy függvény:  : YSzN  YSzN → YSzN Prefix jelölés helyett (a,b) inkább a szokásos infix jelölést használjuk: “a  b”

Bináris (kétváltozós) műveletek “” például bináris művelet YSzN -en Definíció: bináris művelet a H halmazon egy függvény:  : H  H → H Példa: f:    →  f(x,y) = xy + y

Műveleti tulajdonságok A x művelet a H halmazon asszociatív, ha : minden a,b,cH, (a x b)xc = ax(bxc) Példák: f:    →  f(x,y) = xy + y asszociatív? (ab + b)c + c = a(bc + c) + (bc + c)? NEM! A négyzet szimmetria transzformációin, az Y SzN halmazon a  művelet asszociatív? IGEN!

Kommutatív A x művelet a H halmazon kommutatív, ha : minden a,bH, a x b = b x a A négyzet szimmetria transzformációin értelmezett  művelet kommutatív? NEM ! R90  F| ≠ F|  R90

Egységelem R0 a helybenhagyás Igaz-e, hogy: a  YSzN, a  R0 = R0  a = a? IGEN! R0 az YSzN halmazon definiált  művelet egységeleme Általában, a H halmazon definiált bármely x bináris művelet esetén az e  H egységeleme H-nak a x műveletre, ha minden a  H-ra igaz: e x a = a x e = a

Inverz elem Definíció: Az a  H elem inverze az b  H amelyre: a x b= b x a=e Példa az YSzN: a  b = b  a = R0 R90 inverze: R270 R180 inverze: R180 F| inverze: F|

Minden elemnek YSzN -ben egyértelmű inverze van

R0 R90 R180 R270 F| F— F F R0 R0 R90 R180 R270 F| F— F F R90 R90 R180 R270 R0 F F F| F— R180 R180 R270 R0 R90 F— F| F F R270 R270 R0 R90 R180 F F F— F| F| F| F F— F R0 R180 R90 R270 F— F— F F| F R180 R0 R270 R90 F F F— F F| R270 R90 R0 R180 F F F| F F— R90 R270 R180 R0

Csoport A G csoport egy rendezett pár (H,x), ahol H halmaz és x bináris művelet H-n a következő tulajdonságokkal: 1. x asszociatív 2. Egység: van egy olyan e  H hogy minden a  H -ra e x a = a x e = a, 3. Inverz: minden a  H-hoz van egy olyan b  H hogy : a x b = b x a = e Ha x kommutatív is, akkor G-t kommutatív csoportnak hívjuk

Példák (,+) NEM Csoport (,+) csoport? Asszociatív-e a + az  halmazon? IGEN! Van-e egység? IGEN: 0 Van-e minden elemnek inverze? (,+) NEM Csoport

Példák (Z,+) CSOPORT (Z,+) csoport? Asszociatív a + a Z halmazon? IGEN! Van egységelem? IGEN: 0 Minden elemnek van inverze? IGEN! (Z,+) CSOPORT

Példák (YSzN, ) CSOPORT Az (YSzN, ) csoport? A  asszociatív az YSzN halmazon? IGEN! Van egység? IGEN: R0 Van-e minden egyes elemnek inverze? IGEN! (YSzN, ) CSOPORT

PÉLDÁK (Zn,+) csoport (maradékosztályok)? (Zn, +) CSOPORT

Az egység egyértelmű Tétel: A G csoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Biz: TFH., e és f két egységelem a G=(H,x)-ban. Ekkor: f = e x f = e

Az inverzelem egyértelmű Tétel: A G csoport minden egyes elemének van inverze. Ez az inverz egyértelmű. Biz.: TFH. b és c mindketten az a inverzei. Ekkor : b = b x e = b x (a x c) = (b x a) x c = e x c

A G=(H,x) csoport véges, ha H véges halmaz Definíció: |G| = |H| a csoport rendje (a csoport elemeinek száma) Melyik a legkisebb elemszámú csoport?? G = ({e},x) ahol e x e = e Hány másodrendű csoport van? e f e f f e

Részcsoport HA a G = (H, x) csoport, H’  H részcsoportja, ha = G’=(H’, x) eleget tesz a csoport tulajdonságoknak: H’ zárt az x csoportműveletre tartalmazza az egységelemet minden H’-beli elemnek az inverze is H’- ben van

Példa: YSzN = { R0, R90, R180, R270, F|, F—, F , F } Yrot = { R0, R90, R180, R270 } részcsoportja YSzN - nek Zárt? Egység? Inverzek? YSzN = { R0, R90, R180, R270, F|, F—, F , F }

Példa Zárt? Egység? Inverzek? Z8,párosak = {0, 2, 4, 6} és + a művelet részcsoportja Z8- nak Z8 = {0,1,2,3,4,5,6,7} Zárt? Egység? Inverzek?

GYŰRŰ Egy halmazon több műveletet is lehet definiálni. Pl.: - vektorok: + és vektoriális szorzat -Zn ben + és * A gyűrű kétműveletes halmaz, egyiket +-nak, másikat * -nak nevezzük.

Definíció: Az R gyűrű olyan halmaz, amin két művelet van értelmezve. A + és *, amelyek a követlező tulajdonságokat teljesítik: 1. (R,+) kommutatív csoport 2. * asszociatív 3. A disztributív szabály igaz : (a + b) * c = (a * c) + (b * c) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

Példa: Az egészek gyűrűt alkotnak-e? (, +) kommutatív csoport * asszociatív *disztributív…

Test Definíció: Az F halmaz test, ha két művelet van rajta Melyek teljesítik a következő tulajodnságokat: 1. (F,+) kommutatív csoport 2. (F-{0},*) kommutatív csoport 3. A disztributív szabály érvényes: (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

Példák: Az egészek testet alkotnak-e? (, +) kommutatív csoport (\{0}, *) nem csoport! ugyanis nincsen mindenkinek (multiplikatív) inverze

Példa: Zp (ha p prím) test, hiszen: (Zp, +) (Zp* = Zp\{0}, *) kommutatív csoport. A disztributív szabály érvényes

Példák A valós számok (R) testet alkotnak (R, +) kommutatív csoport. A disztributív szabály érvényes

Félcsoport Definíció: Egy G nemüres halmazt félcsoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n egy * bináris művelet, amely asszociatív: minden a, b, cG-re (a*b)*c=a*(b*c) Példa: Az n x n-es mátrixok a szorzásra nézve félcsoportot alkotnak.

Miért fontos? A csoport, a gyűrű, a test absztrakt struktúrák. A példákban látott halmazok tulajdonságait néhány tulajdonságban ragadtuk meg. Ha ezek teljesülnek, akkor minden más, amit ezekre igazoltunk, is teljesül. A kryptográfiában és sok más területen is Nagyon fontos ezen struktúrák szerepe.