Összefoglalás (nem teljes) I.fé – számolástechniaki alapok, „látható” vektorterek II. félév: általános vektorterek+euklideszi terek+komplex test feletti terek

Egymásba alakíthatóság A felhasználó bejelöli az egymásnak megfelelő pontokat Mi az a legoptimálisabb transzformáció, ami az egyszarvút az oroszlánba viszi?

Motivation – Shape Matching Az alakzatot mint pontok halmazát tekintve megpróbálják a pontokat egymáshoz rendelni, majd a legjobb lineáris transzformációt alkalmazni.

Motivation – Shape Matching A legjobb forgatáshoz a SVD segítségével juthatunk

Principal Component Analysis x Adott pontok halmazához keressük meg a legjobban illeszkedő egyenest- legkisebb négyzetek módszere

Principal Component Analysis x’ x Adott pontok halmazához keressük meg a legjobban illeszkedő egyenest- legkisebb négyzetek módszere

Principal Component Analysis x’ x Adott pontok halmazához keressük meg a legjobban illeszkedő egyenest- legkisebb négyzetek módszere: a pontok egyenestől mért távolságának négyzete a legkisebb

Principal Component Analysis Singular Value Decomposition PCA és SVD igen fontos eszközök a számítógéped grafikában, statisztikában, computeres látásban, stb. Ehhez sv., sé, dekomponálás kell. SVD: A = UV T diagonális és A szinguláris értékeit tartalmazza

Vektortér V   v, w  V  v + w  V asszociatív van egység, a 0 van erre nézve inverz v  V,  skalár  v  V Vegyes asszoc., vegyes disztr

Alterek -Példa l 2D origón áthaladó egyenes – R2 altere y O x

Alterek -Példa  origón áthaladó sík z O y x

Lineáris függetlenség, függőség {v1, v2, …, vk} Lfgtlen, ha 1v1 + 2v2 + … + kvk = 0  i = 0  i Egyik vektor sem kapható meg a többi lin. kombinációjával

Lineáris függetlenség, függőség Parallel vekorok mindig függők Ortogonális vektorok mindig fgtlenek: v = 2.4 w  v + (2.4)w = 0 v w

V = {1v1 + 2v2 + … + nvn | i is skalár} Bázis {v1, v2, …, vn} lineárisan fgtlen {v1, v2, …, vn} kifeszíti az egész vektorteret V = {1v1 + 2v2 + … + nvn | i is skalár} Bármely vektor a bázisvektorok egyértelmű lineáris kombinációja. Dimenzió: bázisvektorok száma

Basis - example Sztandard/kanonikus bázis R3 – i, j, k e1, e2, e3) z y

A grayscale kép M pixel x N pixels M×N mátrix-szal reprezentálható A grayscale kép M pixel x N pixels M×N mátrix-szal reprezentálható. Elemei [0,1]-beli számok , a pixel grayscale intenzitását jelentik in [0,1] with 0=black and 1=white. (Matlab)  

Példa bázis használatára Grayscale NM pixeles kép: Minden pixelnek 0 és 1 közti értéke van, (pl a 0 =fehér, az 1= fekete) A képet értelmezhetjük vektorként: vektor  RNM N M

The “standard” basis (44)

Linearis kombináció *1 + *(2/3) + *(1/3) =

Red-Green-Blue

Másfajta bázis http://hkn.colorado.edu/resources/latex/jpeg-paper/appm3310-project-final.pdf (cosine basis: Discrete Cosine Transform DCT)

http://www. inf. u-szeged http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/DigitalisKepfeldolgozasTG/12-ImageCoding.pdf 43:1, 6 KB eredeti, 262 KB 12:1, 22 KB

Mátrix reprezentáció {v1, v2, …, vn} bázis V-ben v = 1v1 + 2v2 + … + nvn

Lineáris leképezések A : V  W : A(0) = 0 Geo transzf. - grafika: A(v + w) = A(v) + A(w) A( v) =  A(v) A(0) = 0 Geo transzf. - grafika: Skálázás – diag. Forgatás, tükrözés Eltolás NEM lineáris – az origó is elmozdul-de mátrix művelettel ez i smegoldható

Lineáris leképezések - példa Forgatás: R(v+w) v+w w w v v

Lineáris leképezés - példa Forgatás lineáris transzformáció: R(v+w) v+w R(w) w w v v

Lineáris leképezés - példa Forgatás lineáris transzformáció R(v+w) v+w R(v) R(w) w w v v

Lineáris leképezés - példa Forgatás lineáris transzformáció R(v+w) R(v)+R(w) v+w R(v) R(w) w w v v R(v+w) = R(v) + R(w)

Leképezés mátrixa A(v1),…, A(vn) -{v1, v2, …, vn} bázis. Más vektorokra: v = 1v1 + 2v2 + … + nvn A(v) = 1A(v1) + 2A(v2) + … + nA(vn) Ha tudjuk A hova képezi le a bázisvektorokat, akkor a leképezés mátrix reprezentációja A:

Matrix representation of linear operators

Matrix operations +, -, skalársoros, egyszerű Fontos: Mátrix * vektor b

Mátrix és vektor szorzata Ab az A oszlopainak lineáris kombinációja!

Matrix operations Transzponált: (AB)T = BTAT

Matrix műveletek skalárszorzat:

Ortogonális mátrix A (nn) A1 = AT AAT = ATA = I Sorok: A ortonormált vektorok! v1 I = ATA = v2 v1 v2 vn = viTvj = ij vn  <vi, vi> = 1  ||vi|| = 1; <vi, vj> = 0

Ortogonális leképezés Megőrzi a skalárszorzatot ||Av|| = ||v|| (Av,Aw) = (v,w)- normatartó, szögtartó, távolságtartó

Ortogonális transzformáció R3 Forgatás: R3 : Akármilyen 3 x 3-as: detA = +1 csak forgatás detA = 1 és tükrözés

SV, SÉ v sajátvektora A nak: - sajátérték Av = v ( is a skalár) v  0 - sajátérték Av = v  A(v) = ( v)   v Av = v, Aw = w  A(v+w) = (v+w) sajátaltér Magtér, képtér

SV, SÉ Térbeli forgatás – sv –tengely invariáns O

SÉ, SV számítások Ax = x  Ax – x = 0  Ax – Ix = 0  (AI) x = 0 s  det(A – I) = 0 (Kar. egy) Vagyis min 2 komplex gyök, ha n ptlan , akkor valós gyök.

C felett:

Spektrum és diagonalizáció Spektrum sé-k A diagonalizálható, ha n fgtlen sé-je van. (pl. ha minden sé különböző) AV = VD A 1 2 v1 v2 = vn v1 v2 vn n

Spektrum és diagonalizáció 1 1 2 = v1 v2 vn v1 v2 vn n A = VDV1

V A D Forg.,tükr Másik ortnorm bázis ortonormált bázis

Spektrum és diagonalizáció

Spektrum és diagonalizáció

Spektrum és diagonalizáció

Spektrum és diagonalizáció eigenbasis

Spektrum és diagonalizáció A normal ha AAT = ATA. szimmetrikus A = AT. normal nn matrixnak n kböző sajátvektora van! Szimmetrikus: sé valós ->ortogonálisak-> van sv bázis! Áttérés SV bázisra: D=T-1AS, S-1AS=D Mátrix magasabb hatványai, kvadratokus alakok főtengelytranszformáció

Why SVD… Diagonalizálható mátrix: skálázás Legtöbb nem diag. – nemcsak kicsinyítenek/nagyítanak/nyírnak, hanem pl. forgatnak is. Sé, sv nem elegendő SVD elárulja, hogyan viselkednek az ált. lin. transzformációk