1.3 Relációk Def. (rendezett pár) (a1 , a2) := {{a1} , {a1 , a2 }} . Javítva!!!!!!! Def. (rendezett n-es) (a1 , ..., an ) := ((a1 , ..., an-1 ), an ) . Def. (Descartes (direkt) szorzat ) A1 A2  ...  An := {(a1 , ..., an ) | ai  Ai } , ahol A1, A2 , ... , An tetszőleges halmazok . Def. (n-ér reláció (n-változós)) R  A1 A2  ...  An . jelölés binér relációknál: ( a, b ) R , vagy a R b .

Def. (Homogén reláció) i, j  { 1, 2, ...,n } : Ai = Aj . Def. (R  XY reláció értelmezési tartománya ) dmn(R) := { a  X |  b  Y : (a, b)  R } . Def. (R  XY reláció értékkészlete ) rng(R) := { b  Y |  a  X : (a, b)  R } .

Def. Ha S  R , akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése. 3 Def. Ha S  R , akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése. Def. Az R reláció X halmazra való leszűkítése R|X := { (a, b)  R | a  X } . Def. Az R  XY reláció inverze: R-1 = {(b, a)  Y  X | (a, b) R } . Észrevételek:

Észrevétel: R(A) =   A  dmn(R) =  . 4 Def. Az A halmaz képe inverz (ős)képe Észrevétel: R(A) =   A  dmn(R) =  . Def. Az S és R binér relációk kompozíciója Észrevétel: rng(S)  dmn(R) =   R o S =  .

5 dmn(R) rng(S) z S R x y B A C Tehát R o S  A  C

S  A  B, ahol (a, b)  S, ha b = 2a , Legyen A = { 1, 2 , 3, 4, 5}, 6 B = { 6, 8 , 10, 12, 14}, C = { 30, 36 , 42, 48, 54} , D = { 2, 3 }, S  A  B, ahol (a, b)  S, ha b = 2a , R  B  C, ahol (a, b)  R, ha b = 3a . Ekkor S(D) = { 6 }, S-1(S(D)) = { 3 }, S = { (3, 6) , (4, 8) , (5, 10) }, R = { (10, 30) , (12, 36) , (14, 42) }, dmn(S) = {3, 4, 5}, rng(S) = {6, 8, 10}, dmn(R) = {10, 12, 14}, rng(R) = {30, 36, 42}, R o S = { (5, 30) }.

1.3.27. 7 1.3.28. rng(S) z dmn(R) S R rng(R) x y B A C

Homogén binér relációk tulajdonságai 8 Homogén binér relációk tulajdonságai Legyen R  A A alakú, ekkor R 1. reflexív : a  A (a R a) 2. irreflexív : a  A ¬(a R a) 3. szimmetrikus :  a, b  A (a R b  b R a) 4. antiszimmetrikus :  a, b  A (a R b  b R a  b = a)

5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus): 9 5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus):  a, b  A (a R b  ¬(b R a)) 6. tranzitív :  a, b, c  A (a R b  b R c  a R c) 7. intranzitív :  a, b, c  A (a R b  b R c  ¬(a R c)) 8. trichotom :  a, b  A ( 1! áll fenn a R b, b R a, a=b közül ) 9. dichotom :  a, b  A (a R b  b R a)

Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus. 10 Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus. Def. ( halmaz osztályfelbontása ) A tetszőleges X halmazt osztályozzuk (osztályokra bontjuk), ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak úniójaként állítjuk elő. Az x  X elem ekvivalencia osztálya:

1.3.38. . Biz. 1. , azaz tfh ~ ekvivalenciareláció X –n. ~ reflexivitás  x  x  osztályok nem üresek Mi újság két osztály metszetével ? ~ ~ tfh van nem üres: z  x  y tranz.+szimm.  x ~ y , továbbá ~ ~ ~ ~ tranz.+szimm.  w  x  w  y és w  y  w  x . ~ ~ ~ ~ Kaptuk: x  y    x = y 11

ρ := { (a, b)  X X | a, b  Xi valamely 1 i n –re } . Tehát a következő halmaz X –nek egy osztáyfelbontását adja: 12 2. , tfh  X –nek osztályfelbontása: X1 X2  ...  Xn = X Legyen a relációnk: ρ := { (a, b)  X X | a, b  Xi valamely 1 i n –re } .    reflexív ? tranzitív ? szimmetrikus ?

13 Def. Az R  X X reláció részbenrendezés (  ), ha - reflexív, - tranzitív, - antiszimmetrikus, szigorú részbenrendezés ( < ), ha - irreflexív, - tranzitív. Def. Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációban van, rendezésről (teljes rendezés) beszélünk . (X,  ) részbenrendezett vagy rendezett struktúra, ha  részbenrendezés vagy rendezés.

 rendezés  < trichotóm Tetszőleges X, a  relációval részbenrendezett halmaz bármely Y részhalmaza részbenrendezett a  YY relációval. Ha (Y,  YY ) struktúra rendezés, akkor lánc. Tfh R X –beli reláció. Ha S X –beli reláció olyan, hogy xSy akkor áll fenn, ha xRy és x  y, akkor S az R –nek megfelelő szigorú reláció. Tfh R X –beli reláció. Ha T X –beli reláció olyan, hogy xTy akkor áll fenn, ha xRy vagy x = y, akkor T az R –nek megfelelő gyenge reláció. < szigorú részbenrendzés irreflexív, tranzitív, szigorúan antiszimmetrikus .  rendezés  < trichotóm 14

(x, y) = { z X | x < z < y } . Zárt intervallum: [x, y] = { z X | x  z  y } . Nyílt intervallum: (x, y) = { z X | x < z < y } . Jel: ] , x [ 15

Legyen (X,  ) részbenrendezett struktúra, ekkor 16 m  X az X minimális eleme, ha nem létezik olyan (m  ) x  X, amelyre m ≥ x , legkisebb eleme, ha maximális és legnagyobb elem hasonlóan minden x  X – re m  x . Észrevételek: legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van minimális és maximális elem több is lehet rendezett halmazban legkisebb és minimális egybeesik

a  A a B alsó korlátja, ha minden x  B – re a  x , Legyen B  A (A részbenrendezett), ekkor a  A a B alsó korlátja, ha minden x  B – re a  x , felső korlátja, ha minden x  B – re x  a . Észrevételek: lehet 0, vagy több korlát a korlát nem biztos, hogy B eleme ha egy korlát B –ben van, akkor 1! (legkisebb, vagy legnagyobb elem) 17

pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ B infinuma (inf B), ha létezik, B legnagyobb alsó korlátja, pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ B supremuma (sup B), ha létezik, B legkisebbb felső korlátja. Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. Észrevétel: jólrendezett  rendezett 18

1.4 Függvények 19 Def. Az f reláció függvény, ha (x, y)  f  (x, y’)  f  y = y’ Kapcsolódó jelölések, fogalmak: Az összes olyan függvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X – nek, értékkészlete pedig Y – nak része. rng(f)  Y dmn(f) = X dmn(f)  X parciális függvény

f = g  ( dmn(f) = dmn(g) )  ( x dmn(f)  f(x) = g(x)). Mikor egyenlő két függvény? f = g  ( dmn(f) = dmn(g) )  ( x dmn(f)  f(x) = g(x)). Def. Az f : A  B függvény szürjektív, ha B = rng(f) , injektív, ha  a, b dmn(f) : (a  b)  f(a)  f(b), bijektív, ha injektív és szürjektív is. ráképezés kölcsönösen egyértelmű 20

1.4.11. Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény. 21 Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény. 1.4.11. Ha adott egy X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az X elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképezést (függvényt) kanonikus leképezésnek (függvénynek) nevezzük. Fordítva: ha f : X  Y függvény, akkor ~  X  X ekvivalenciareláció, ahol (x, y)  ~ , ha f(x) = f(y)

 x, y  dmn(f) : x 1 y  f(x) 2 f(y) , 22 Legyen (A, 1 ) , (B, 2 ) részbenrendezett struktúra. Ekkor az f : A  B függvény monoton növő, ha  x, y  dmn(f) : x 1 y  f(x) 2 f(y) , szigorúan monoton növő, ha  x, y  dmn(f) : x <1 y  f(x) <2 f(y) . Csökkenő hasonlóan! Észrevételek: ha A és B rendezettek, akkor f szigorúan monoton  f injektív f injektív  monoton  szigorúan monoton és f inverze is monoton .

I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család. Családok Legyen x függvény, dmn(x) = I és x(i) = y helyett írjunk x(i) = xi –t. Ekkor I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család. Ha rng(x) elemei halmazok, akkor halmazcsaládról beszélünk és egy Xi , i  I halmazcsalád unióját így definiáljuk: I   esetén halmazcsalád metszetét így definiáljuk: 23

1.4.22. 1.4.24. 24

alakú függvényeket, ahol iI -re xi  Xi . Descartes – szorzat 25 Def. Az Xi , i I halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az alakú függvényeket, ahol iI -re xi  Xi . Def. Az Xi , i I halmazcsalád Descartes – szorzata a hozzá tartozó összes kiválasztási függvény halmaza. Jel: vagy Észrevételek: ha  i  I : Xi =   I =   Def.

Példa (relációs adatbázis) 26 I = {személyi_szám, név, lakcím, végzettség} attribútumok (mezőnevek) Xszemélyi_szám ={11 jegyű decimális számok} olyan függvény, ahol iI -re xi  Xi . Xi indexelt családhoz tartozó rekord xi a rekord i nevű mezője. Adattábla : Xi indexelt családhoz tartozó rekordok egy halmaza. Általánosítva: rekord: egy Xi indexelt családhoz tartozó kiválasztási függvény. Xi indexelt családhoz tartozó reláció: kiválasztási függvények egy halmaza.

f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet. 27 f : An A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet. Jel: f (a1, a2, ..., an) Műveleti tábla operandusok jobboldali eredmény baloldali  a1 ... ai an a1 a1 a1 ai a1 an aj aj a1 aj ai aj an an a1 an ai an an binér művelet

Függvénytér (műveletek függvényekkel) 28 Függvénytér (műveletek függvényekkel) Ha X, Y tetszőleges halmaz és  binér művelet Y-on, akkor legyen tehát  binér művelet az X-et az Y-ba képező függvények halmazán, azaz  : (X  Y)  (X  Y)  (X  Y) Hasonlóan definiálható nullér és unér művelet is! Művelettató leképezés (homomorfizmus) Legyen  · az A,  a B halmazon értelmezett binér művelet. A  : A  B függvényt homomorfizmusnak nevezzük, ha művelettartó, vagyis minden a1, a2  A esetén (a1a2) = (a1)  (a2). injektív és művelettartó

művelet ekvivalencia osztályokon Def. Legyen  egy X halmazon értelmezett binér művelet és ~ egy ekvivalencia-reláció X-en. A  művelet kompatibilis a ~ relációval illetve a megfelelő osztályozással, ha tetszőleges x, x’, y, y’  X-re x ~ x’  y ~ y’  x  y ~ x’  y’ . művelet ekvivalencia osztályokon művelettartó! kanonikus leképezés 29 29

~ tulajdonságai miatt elég megkövetelni a kompatibilitáshoz, hogy: Észrevétel ~ tulajdonságai miatt elég megkövetelni a kompatibilitáshoz, hogy: x  y ~ x´  y és x  y ~ x  y´ legyen, mivel ekkor x´  y´ ~ x  y´ és x´  y´ ~ x´  y tranzitivitás+szimmetria  x  y ~ x´  y´ reláció kompatibilitása osztályozással, hasonlóan 30