Nemparaméteres próbák Konzultáció 2015. október 21. Nemparaméteres próbák

A zh-n számonkérésre kerülő nemparaméteres próbák Illeszkedésvizsgálat Kolmogorov-próbával Sorozatpróba Rangösszegpróba

Példa Egy vasúti átjáróban 48 órán át vizsgálták az egy óra alatt áthaladó járművek számát, egységjárműben kifejezve (egy egységjármű=egy személyautó. Az ennél nagyobb járművek nagyobb, a kisebbek kisebb, törtszámú egységjárműnek számítanak, szükségképp a megfigyelés eredménye lehet nem egész szám). Leírható-e az egy óra alatt áthaladó járművek száma normális eloszlással, 10% szignifikancia szinten? A megfigyelések eredményeit az alábbi tábla közli: Megoldás: illeszkedésvizsgálat

Példa Nullhipotézisek felállítása: H0: A megfigyelt vasúti átjáróban áthaladó egységjárművek száma N(80, 37,131) eloszlást követ. H1: A megfigyelt vasúti átjáróban áthaladó egységjárművek száma nem N(80, 37,131) eloszlást követ.

Eloszlásfüggvények értékei a felső határra:

Kumulált relatív gyakorisági értékek:

Elméleti eloszlás-függvény (Fi) Tapasztalati eloszlás-függvény (Fn) Di 10%-os szignifikancia szinten nincs okunk a nullhipotézist elutasítani, azaz a megfigyelt vasúti átjáróban az egy óra alatt áthaladt egységjárművek száma valóban leírható N(80, 37,131) eloszlással Egység-jármű Osztály-közép Gyako-riság Elméleti eloszlás-függvény (Fi) Tapasztalati eloszlás-függvény (Fn) Di 10 5 0,052616 0,104 30 3 0,140071 0,167 50 6 0,294599 0,2917 70 0,5 0,4167 90 12 0,705401 0,667 110 9 0,859929 0,854167 130 7 0,947384 1 0,051384 0,026929 0,0026899 0,0833 0,038401 0,005762 0,0052616

Példa A hétalvó Dórinak két macskája van, Kókusz és Mancsi. Mivel Dóri minden reggel elalszik, az egyik macska az ágyra felugorva hangos dorombolással ébreszti fel Őt. Dóri szeptemberben minden nap feljegyezte, hogy melyik macskája ébresztette fel őt. 5%-os szignifikancia szinten véletlenszerűnek tekinthető-e, hogy szeptemberben melyik macska ébresztette fel Dórit? Dóri feljegyzése arról, hogy melyik macska ébresztette őt: K M M M K K M K K M M M M K K M K M M K K K M K K M M K K K Megoldás: sorozatpróba

Példa Ho: A sorozat véletlenszerű H1: A sorozat nem véletlenszerű A megfigyelések száma (a hónap napjainak száma): n=30. Azon napok száma, amikor Kókusz ébresztette fel Dórit: n1=16 Azon napok száma, amikor Mancsi ébresztette fel Dórit: n2=14 A sorozatok száma: 15 K | M M M | K K | M | K K |M M M M | K K | M | K | M M | K K K | M | K K | M M | K K K n1>10, n2>10  „r” aszimptotikusan normális eloszlást követ

Példa Az elfogadási tartomány meghatározása: 5% szignifikancia szinten elfogadjuk a nullhipotézist, vagyis véletlenszerűnek tekinthető annak sorrendje, hogy melyik nap melyik macska ébresztette Dórit.

Példa Tekinthető-e véletlenszerűnek az alábbi minta? (A medián alatti és feletti értékek véletlenszerűen váltakoznak.) Legyen a szignifikancia szint 5%! Megoldás: sorozatpróba A medián értéke: 7,2 A medián alá eső értékek száma: 15 A medián felé eső értékek száma: 15 14,2 9,6 4,7 9,1 11,3 2,6 16 10,5 12,4 7,9 3,6 2,4 8,4 2,5 3,5 25,6 1,5 5,5 4,5 22,1 23,2 2,8 24,8 4,8 10,3 4,1 9,4 4,2 4,6 6,5   1,5 4,6 10,3 2,4 4,7 10,5 2,5 4,8 11,3 2,6 5,5 12,4 2,8 6,5 14,2 3,5 7,9 16 3,6 8,4 22,1 4,1 9,1 23,2 4,2 9,4 24,8 4,5 9,6 25,6

Példa A mintavétel sorrendjében a medián alatti(A) és feletti(F) értékek sorozata: F,F,A,F,F,A,F,F,F,F,A,A,F,A,A,F,A,A,A,F,F,A,F,A,F,A,F,A,A,A H0: a sorozat véletlenszerű H1: a sorozat nem véletlenszerű A sorozatok száma: r = 18 nA = 15, nF = 15 Normális eloszlással közelítünk A nullhipotézist 95%-os megbízhatósági szint mellett elfogadjuk, a sorozat véletlenszerű. z/2 = ±1,96 14,2 9,6 4,7 9,1 11,3 2,6 16 10,5 12,4 7,9 3,6 2,4 8,4 2,5 3,5 25,6 1,5 5,5 4,5 22,1 23,2 2,8 24,8 4,8 10,3 4,1 9,4 4,2 4,6 6,5  

Példa Egy nagyváros közlekedésbiztonsági osztálya szeretné megvizsgálni, hogy változott-e egy bizonyos balesettípusban okozott kár nagysága az új közlekedési szabályok bevezetése után. Egy forgalmas kereszteződés baleseti statisztikái közül véletlenszerűen kiválasztottak 10-et az új szabály bevezetése előtti, és 10-et az utána következő időszakból. Az egy balesetben okozott kár nagyságát az alábbi táblázat mutatja. Vizsgáljuk meg, hogy van-e változás a balesetben okozott kár nagyságát tekintve a szabály bevezetését követően! Megoldás: Mann-Whitney-féle U próba (rangösszegpróba) Miért nem kétmintás várható értékekre irányuló próba? Mert nem ismert, hogy az alapsokaságok szórása normális-e!!!! H0: a két sokaság eloszlása azonos (a várható értékek egyenlőek) H1: a bevezetést követően eltolódott az eloszlás az eredetitől valamelyik irányba (a várható értékek nem egyenlők) vagy a kár várható értéke kisebb a szabály után Kár a szabály bevezetése előtt, [eFt] Kár a szabály bevezetése után, [eFt] 150 145 500 390 250 680 301 560 242 899 435 1250 100 290 402 963 716 180 200 550

Példa A számított érték az elfogadási tartományba esik, 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk a nullhipotézist, nincs változás az egy balesetben okozott kár nagyságának eloszlásában az új szabály bevezetésével A rendezett minta rangszámai (csoport: E=a bevezetés előtti kár, U=bevezetés utáni kár) Érték 100 145 150 180 200 242 250 290 301 390 Csop. E U Rangsz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 402 435 500 550 560 680 716 899 963 1250 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 RE = 84 RU = 126 z/2 = 1,96, az elfogadási tartomány: (-1,96 – 1,96)

Példa Egy csavargyárban minden elkészült 10.000 darabos tétel után egy maroknyi mintát vesznek. A vállalat azt kívánja megvizsgálni, hogy a két gépkezelő, Xavér és Yvonne által kivett minta nagysága -10%-os szignifikancia szinten- azonosnak tekinthető-e. A vizsgált időszakban Xavér 100.000 darab csavart gyártott, így 10-szer vett egy maroknyi mintát, Yvonne pedig 130.000 darab csavart készített, így 13-szor vett mintát. A kivett minta nagysága az alábbi táblázatban szerepel. Megoldás: rangösszegpróba, mert az alapsokaságok eloszlásának normalitása nem ismert Xavér 50 64 81 36 48 54 45 88 59 56   Yvonne 40 47 84 44 41 38 58 66 42 51 67 46 69

Példa H0: F(x)=G(y), a két eloszlás azonos H1: F(x)≠G(y), a két eloszlás helyzete nem azonos Egyesítjük a mintát, nagyság szerint növekvő sorrendbe rendezzük, majd hozzárendeljük a rangszámokat (Rsz=rangszám, db. a kivett minta darabszáma, Gk a gépkezelő). RX=1+7+10+11+13+14+16+17+21+23=133 RY=2+3+4+5+6+8+9+12+15+18+19+20+22=143 Rsz. db Gk. 1 36 X 7 45 13 54 19 67 Y 2 38 8 46 14 56 20 69 3 40 9 47 15 58 21 81 4 41 10 48 16 59 22 84 5 42 11 50 17 64 23 88 6 44 12 51 18 66  

Példa 10%-os szignifikancia szinten: Mivel a számított érték eleme e tartománynak, 10%-os szignifikancia szinten a nullhipotézist elfogadjuk, a Xavér és az Yvonne által kivett maroknyi minta azonos darabszámúnak tekinthető