Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek Végtelen történet Halmazok, számosságok, véges és végtelen összegek

Mik a számok? A matematika a lehető legjobban el akar szakadni a valóság tárgyaitól Példa: a „négy” szót mikor használjuk? Ezt akarjuk pontosan lefordítani a matematika nyelvére

Halmazok Alapfogalom, felsorolás vagy közös tulajdonság alapján összetartozó dolgok összessége Egy szimbólummal „eleme” kapcsolatban állnak objektumok xA vagy Ax jelölés Házaspárok halmazának példája Az orr példája Részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma

Rendezett pár Jele: (a ; b) Felírható halmazként is: { {a;b} ; {a} } = (a ; b) Példák: (Kovács Béla; Kovács Béláné) ( 1 ; 1) (virsli ; mustár) (kutya ; eb)

Direkt szorzat 1. Az összes rendezett párok halmaza Jelölés: A X B („Á kereszt Bé”) Pl: A = {p ; q ; r} és B= {R ; S ; T ; U} A X B= { (p;R) ; (p;S) ; (p;T) ; (p;U) ; (q;R) ; (q;S) ; (q;T) ; (q;U) ; (r;R) ; (r;S) ; (r;T) ; (r;U) } Példák: Sapkák és kabátok Fiúk és lányok táncolnak Koordináta-rendszer

Direkt szorzat 2. B A leves paprikás sült csirke sertés pulyka bárány (csirke;leves) (csirke;paprikás) (csirke;sült) sertés (sertés;leves) (sertés;paprikás) (sertés;sült) pulyka (pulyka;leves) (pulyka;paprikás) (pulyka;sült) bárány (bárány;leves) (bárány;paprikás) (bárány;sült)

Mi a függvény? szemléletes meghatározás „Egyértelmű hozzárendelés”, pl: A= {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B={1;2;3;4;5;6;7;8;9} f(x)=az x nevében levő karakterek (betűk) száma Rf neve: Értékkészlet x hétfő kedd szerda csütörtök péntek f(x) 5 4 6 9 Az A halmaz minden eleme szerepel – pontosan egy hozzárendelésben

Mi a függvény? matematikai meghatározás A direkt szorzat bizonyos részhalmaza. Pl.: A = {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} f = { (hétfő; 5) ; (kedd; 4) ; (szerda; 6) ; (csütörtök; 9) ; (péntek; 6) } Értékkészlet: {4; 5; 6; 9} Az A halmaz minden eleme szerepel – pontosan egy rendezett párban

Példa függvényre: Minden sorból pontosan egyet tartalmaz! B A leves paprikás sült csirke (csirke;leves) (csirke;paprikás) (csirke;sült) sertés (sertés;leves) (sertés;paprikás) (sertés;sült) pulyka (pulyka;leves) (pulyka;paprikás) (pulyka;sült) bárány (bárány;leves) (bárány;paprikás) (bárány;sült) Minden sorból pontosan egyet tartalmaz!

B halmazon belüli tulajdonságok Függvények típusai Injekció Szürjekció Bijekció (kölcsönösen egyértelmű leképezés) B halmazon belüli tulajdonságok Párokba állítás!

Számolás, üres halmaz Minden természetes szám rengeteg halmazt jelent, melyek elemei párba állíthatók (Pl. „ÖT” jelölés jelöli az össszes ötelemű halmazt, melyek párba állíthatók egymással) A nulla egyértelműen az „üres halmazok”, azaz az üres halmaz megfelelője: Ø Üres halmaz csak egy van! A matematika alapjaként az üres halmazt alapfogalomnak tekintjük (azonosíthatjuk a NULLA számmal)

A természetes számok egy lehetséges modellje NULLA = 0 = Ø EGY = 1 = { 0 } = { Ø } KETTŐ = 2 = { 0 ; 1 } = {Ø ; {Ø} } HÁROM =3= { 0 ; 1 ; 2 }={ Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}}} NÉGY= 4 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 } = ={ Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}} ; {Ø; {Ø} ; {Ø;{Ø}}} } ÖT = 5 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } = stb. n= { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; n-1} Minden számot neki megfelelő elemszámú halmaz jelöl N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … } a természetes számok halmaza

Számosság Két halmaz számossága egyenlő, ha létezik köztük kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés (bijekció). Például: A= {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} B= {1;3;5;7;9} Jelölés: |A| = |B| „Ugyanannyi” elemük van Ha létezik bijekció egy A halmaz és az „öt” halmaz között, akkor azt mondjuk, hogy A számossága öt. Jelölés: |A|=5 Mi az, ami mindig kéznél van? C= {hüvelykujj; mutatóujj; nagyujj; gyűrűsujj; kisujj}: természetesen adódó halmaz a számosság megállapításához

A számosság tulajdonságai Két halmazra: ha |A|=|B|, akkor |B|=|A| Három halmazra: ha |A|=|B| és |B|=|C|, akkor |A|=|C| Véges halmaz: számossága azonos valamely természetes száméval Véges halmaz számossága megváltozik, ha egy elemet hozzáveszünk vagy elhagyunk belőle. Két nem egyenlő számosságú halmaz közül az a nagyobb számosságú, melynek van a másikkal azonos számosságú valódi részhalmaza. Például 5>3, mert Nincs bijekció Egyik valódi részhalmaz esetére van bijekció

Hatványhalmaz Egy halmaz összes részhalmazát tartalmazza. Jelölés: P(A) Példa: A={ x; y; z } P(A)= { Ø; {x} ; {y} ; {z} ; {x;y} ; {x;z} ; {y;z} ; {x;y;z} } |P(A)|= 2|A| Állítás: |P(A)|>|A|

Georg Cantor (1845. március 3. – 1918. január 6.) A halmazelmélet megalkotója. Oroszországban született, de élete nagy részében Németországban élt. 1872-ben kezdődött barátsága Dedekinddel. Ekkoriban kezdett el halmazelmélettel foglalkozni. Cantor előtt a matematika azt az álláspontot követte, hogy a végtelenek között nem lehet értelmesen különbséget tenni. 1874-ben Crelle Journal für die reine und angewandte Mathematik című folyóiratában publikált egy forradalmi cikket, melyet a modern halmazelmélet születésének tekinthetünk. Állítólag a cikkben szereplő állításon 4 évig gondolkodott. 1878-ban ennek a cikknek a folytatását is beadta a folyóirathoz, de az abban lévő gondolatok miatt a szerkesztőbizottságban helyet foglaló Kronecker ellenezte a cikk közlését. A második cikkben vezette be azt, hogy két halmazt azonos számosságúnak nevez, ha van köztük bijekció. Értelmezte, hogy mikor nagyobb, illetve kisebb számosságú egy (akár végtelen) halmaz, mint egy másik. 1895-ben megjelent az első paradoxon a halmazemélettel kapcsolatban. Ezt Cesare Burali-Forti vetette fel, de erre Cantor maga is rájött. 1917-ben utoljára kényszerült szanatóriumba vonulni. A háború miatt az ellátás gyenge volt, Cantor utolsó fényképei sovány, megtört embert mutatnak. 1918. január 6-án szívrohamban hunyt el. Életművét Hilbert az 1900-as nemzetközi matematikus kongresszuson a következő mondattal méltatta: „Senki sem űzhet ki minket abból a paradicsomból, melyet Cantor teremtett nekünk.”

Cantor ötlete Végtelen halmazok között is lehet bijekció, ez azonos számosságot jelent. Pl: A= {1; 2 ; 3; 4; 5; 6; … } és B= {-1; -2; -3; -4; -5; -6; … } Bijekció: f(x)= -x Így |A|=|B| Szokatlan, új gondolatok … x 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . f(x) -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Grand Hotel – paradoxon

Azonos számosságú végtelen halmazok Van-e bijekció N és a következő halmazok között? A= N\{0} = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …} B= {páros természetes számok} = {0; 2; 4; 6; …} C= {a 10 pozitív egész kitevőjű hatványai} = = {10; 100; 1000; 10000; …} N: x 1 2 3 4 5 . . . A: f1(x) 6 B: f2(x) 8 10 C: f3(x) 100 1000 10000 100000 N számosságának jele: (alef-null). Neve: megszámlálhtóan végtelen számosság

-számosság N: Z: |N|=|Z|= |N|=|Q|= |N|<|R|= |P(N)|=|R|= x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . . Z: f(x) -1 -2 -3 -4 -5 -6

A Russel- féle paradoxon H={Minden halmaz} HH A={Azon halmazok, melyek elemei önmaguknak} Például H A B={Azon halmazok, melyek nem elemei önmaguknak} B B ellentmondás és B B is ellentmondás Okozója: önmagának eleme egy halmaz

Zénon paradoxona A nyílvessző soha nem ér célba, mert: A célig hátralevő távolságnak először meg kell tennie a felét Aztán a célig még hátralevő távolságnak is meg kell tennie a felét Aztán újra meg kell tennie a célig még hátralevő távolságnak a felét … Ezt a végtelenségig folytathatjuk, így soha nem ér célba!

A paradoxon feloldása: a végtelen sor Megszámlálhatóan végtelen elem összege lehet egy valós szám! Végtelen tizedestörtek: 0,33333333… Jelölés:

Mértani és harmonikus sor Ha |q|<1, akkor Például: q= 1/3 esetén: Harmonikus sor: Nincs összege, bármilyen nagy lehet

Néhány további nevezetes sor Euler-féle sor: Leibniz-sor: A felsőbb matematikában fontos sorok:

Köszönöm a figyelmet!

Ráadás: paradoxonok Homokkupac Légiriadó Epimenidész-paradoxon A legkisebb egész szám, melyet magyar nyelven 100-nál kevesebb karakterrel nem lehet meghatározni. (Ez 98 karakter) Háromszög-paradoxon