Kvantifikáló kifejezések a természetes nyelvben: ̒minden’, ̒némely’, ̒̒három’, stb. Ezek determinánsok, predikátumból (VP-ből) NP-t képeznek. Az elsőrendű nyelvben: ̒x’, ̒x’. Ezek mondatra alkalmazhatók, és mondatot képeznek. Kvantorból és kvantorváltozóból állnak. A mondat, amire alkalmazzuk őket, a kvantifikáló kifejezés (a kvantifikáció) hatóköre. A kvantifikáció megszünteti a kvantorváltozó szabad értékelhetőségét a hatókörön belül; leköti a változót. xA: az x változó minden értékére igaz, hogy… a: értelmetlen. (Megállapodás volt: ̒a’, ̒b’, … individuumnevek.) Annak sincs értelme, hogy „Minden Lánchídra igaz, hogy …”

Mi van, ha A-ban nem fordul elő x (a kvantorváltozó) szabadon? Igazságfeltétel volt: x összes megengedett értékére (az univerzum összes elemére) igaz az A mondat. Ha A-ban nem fordul elő az x szabadon, akkor A értéke nem függ x-től. Tehát “xA” ugyanakkor igaz, amikor A. “xA” ugyanígy. Ilyen esetben a kvantifikáció hatástalan. Zárójelek: A szintaxis szerint tagoló zárójelek csak többargumentumú konnektívumok alkalmazásakor kerülnek be egy FOL-mondatba. Tehát pl. így: (AB) Konvenció: bizonyos fölösleges zárójeleket el lehet hagyni. Pl. kész FOL-mondatban a legkülsőket. Tehát negáció argumentuma, kvantifikáció hatóköre nem kerül automatikusan zárójelbe, csak ha kijelentéslogikailag összetett.

A két kvantor összefüggése “xA(x)” jelentése : nem igaz, hogy az A(x) mondat x minden értékére (a tárgyalási univerzum minden elemére) igaz. Azaz van olyan eleme, amelyre nem igaz. Azaz van olyan eleme, amelyre “A(x)” igaz. Azaz a “xA(x)” mondat igaz. Tehát ennek a két (zárt) FOL-mondatnak a jelentése megegyezik (mégpedig csakis a logikai alkotórészek jelentésének következtében). Azaz logikailag ekvivalensek. (1) xA(x)  xA(x) Akkor a negációjuk is ekvivalens (a kettős negációt törölhetjük, a továbbiakban is): (2) xA(x)  xA(x) Ha pedig az (1) ekvivalenciában A(x) helyére “A(x)”-et helyettesítünk: (3) xA(x)  xA(x) Ebben mindkét oldalt negálva: (4) xA(x)  xA(x) A (2) és (3) ekvivalencia szerint a két kvantor kölcsönösen kifejezhető egymással (a negáció segítségével). Az (1) és (4) ekvivalenciát szokták kvantifikációs De Morgan-szabályoknak nevezni.

A logikai négyzet Arisztotelészi kategorikus kijelentések kontrárius Egyetemes állító Minden, ami A, az B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) Egyetemes tagadó Egy A sem B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) kontra-diktórius szubaltern szubaltern o i Részleges tagadó Van olyan A, ami nem B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) Részleges állító Van olyan A, ami B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) szubkontrárius

modern logikai megjegyzésekkel A hagyományos logika tanítása a kategorikus kijelentésekről Kontradiktórius párok: az egyik igaz, a másik hamis. Kontrárius párok: lehetnek egyszerre hamisak, de nem lehetnek egyszerre igazak. Szubkontrárius párok: lehetnek egyszerre igazak, de nem lehetnek egyszerre hamisak. Szubaltern kijelentés következik a fölötte levőből. Az i és e típusú kijelentések megfordíthatók, azaz ekvivalensek az A és B felcserélésével keletkező kijelentéssel. Az a típusú kijelentés gyengén megfordítható, azaz következik belőle megcserélt alannyal és állítmánnyal az i típusú kijelentés. Kivéve, ha … Kivéve, ha … Kivéve, ha … Kivéve, ha …

Arisztotelész és követői szerint az a típusú kijelentések egzisztenciális súllyal (avagy nyomatékkal; existential import) rendelkeznek, azaz maguk után vonják, hogy az alanyterminus (A) terjedelme nem üres. Ez vagy azt jelenti, hogy “Minden, ami A, az B”-t így kell értenünk: x(A(x)  B(x))  xA(x), vagy azt, hogy a kategorikus kijelentésekben nem is szabad üres terjedelmű terminusokat használni. Az első esetben baj lesz a kontradiktórius viszonyokkal. A másodikban az elmélet érvényességi köre nagyon leszűkül, s főképp sok esetben nem tudjuk előre, teljesül-e a feltétel. HF: 9.10 Cél: egy szövegfájl (9.10_vezeteknev.doc, .docx vagy .rtf) tizenkét mondattal (angol vagy magyar, tetszés szerint). Mindegyik mondat zárt mondat. Következésképp a fordításban nem szerepelhet változó. A megoldásokat a mate.andras53@gmail.com címre küldjék, kedd estig.

Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). A játék tárgya egy zárt mondat: P. Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. Az ellenfél automatikusan a másikat választja. A kezdésnél P az aktuális mondat, az én választásom szabja meg az elkötelezettséget. A további lépésekben mindig változik az aktuális mondat is, az elkötelezettség is. Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig az aktuális mondat alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. Amit választott, az lesz az aktuális mondat, és én amellett leszek elkötelezve, hogy ez a mondat igaz. Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis).

Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség. Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “xP(x)” igazságát állítom, akkor a Természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa (órai gyakorlásra) : 9.5 feladat Ajánlott otthoni munka: továbbjátszani 9.5 mondataival.