Készítette: Horváth Zoltán Koordinátageometria Készítette: Horváth Zoltán

Tartalom Pontok Vektorok Egyenesek Körök

Pontok, ponthalmazok, szakaszok

Jelöld be az A(3; 5) pont helyét a koordinátarendszeren! A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

Jelöld be a B(-3; 5) pont helyét a koordinátarendszeren! A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

Jelöld be a C(5;-5) pont helyét a koordinátarendszeren! A pont első jelző száma az x tengelyen értelmezendő. 5 -5 x y 9 -9 A pont második jelző száma az y tengelyen értelmezendő.

Milyen távol van az A(3; 4) pont a az origótól? Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,O pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AO szakaszt, és a szakasz alatti területet!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(-5; -3); B(7; 2); Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,B pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AB szakaszt, és a szakasz alatti derékszögű háromszöget!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(5; -5); B(-3; 10); Ábrázoljuk koordinátarendszerben az A,B pontokat! 5 -5 x y 9 -9 Rajzoljuk be az AB szakaszt, és a szakasz alatti derékszögű háromszöget!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(-6; -15); B(6; 20); Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(-19; -42); B(-6; 42); Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(-60; -42); B(5; 30); Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

Milyen hosszú az AB szakasz? A(-5; 6); B(7; -8); Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

Mekkora a P1 P2 szakasz? P1(2; -4); P2(-6; 8); Írjuk fel a két pont távolságára vonatkozó összefüggést!

Vektorok

Legyen v1(vx ; vy) és w2(wx ; wy) Egy adott eltoláshoz tartozó irányított szakaszok halmazát vektoroknak nevezzük. Legyen v1(vx ; vy) és w2(wx ; wy) Ekkor: Két vektor összege illetve különbsége: Egy vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor közbezárt Szögének koszinusza:

Legyen V( 3 ;4 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát! 5 -5 x y 9 -9

Legyen V( -5 ;12 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát! x y 9 -9

Legyen V( -4 ;-7 ) helyvektor! Határozd meg a hosszát! 5 -5 x y 9 -9

Legyen v (3 ; 4) és w (2 ; 8)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Legyen v (-2 ; 3) és w (5 ; 1)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Legyen v (-4 ; 1) és w (1 ; 3)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Legyen v (-4 ; 5) és w (5 ; 3)! Határozd meg a két vektor összegét, és annak hosszát! A két vektor összege: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Legyen v (-2 ; 5) és w (1 ; 1)! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t Határozd meg a két vektor különbségét, és annak hosszát! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t A két vektor különbsége: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Legyen v (-2 ; 3) és w (4 ; 5)! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t Határozd meg a két vektor különbségét, és annak hosszát! Rajzoljuk meg a w ellentétét: -w -t A két vektor különbsége: 5 -5 x y 9 -9 A vektor hossza: Megjegyzés:

Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Legyen v (3 ; 4) és w (5 ; -5)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Legyen v (-1 ; 3) és w (2 ; -2)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Legyen v (5 ; 8) és w (2 ; 7)! Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor!

Legyen v (4 ; 2) és w (-2 ; 4)! A két vektor skaláris szorzata: Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

Legyen v (4 ; 2) és w (-1 ; 2)! A két vektor skaláris szorzata: Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

Legyen v (3 ; 4) és w (-4 ; 3)! A két vektor skaláris szorzata: Határozd meg a két vektor skaláris szorzatát! A két vektor skaláris szorzata: Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzata egy szám, és nem vektor! Két egymásra merőleges vektor skaláris szorzata: 0.

Legyen v (-2 ; 3) és w (4 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Legyen v ( -4 ; 3) és w (3 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Legyen v ( -5 ; 2) és w (2 ; 5)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Legyen v ( -4 ; 2) és w (2 ; 4)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Legyen v ( -4 ; 2) és w (3 ; 6)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Legyen v ( -6 ; 2) és w (1 ; 3)! Határozd meg a két vektor hajlásszögét! A két vektor hajlásszögének koszinusza: 5 -5 x y 9 -9 A vektorok hosszai:

Osztópontok, súlypontok

és Felezőpontja:

Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! Legyen adott két pont: A( 3 ; 5 ) és B( 7; 5 )! 5 -5 x y 9 -9

Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! Legyen adott két pont: A( -3 ; 5 ) és B( 7; 5 )! 5 -5 x y 9 -9

Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! Legyen adott két pont: A( -3 ; 5 ) és B( 7; -5 )! 5 -5 x y 9 -9

Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! Legyen adott két pont: A( 0 ; 0 ) és B( 8; 6 )! 5 -5 x y 9 -9

Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! Legyen adott két pont: A( -5 ; 5 ) és B( 5; -5 )! 5 -5 x y 9 -9

és Adott arányban osztó pont koordinátái:

Oszd fel az AB szakaszt 1:2 arányban! 5 -5 x y 9 -9

Oszd fel az AB szakaszt 2:1 arányban! 5 -5 x y 9 -9

Oszd fel az AB szakaszt 1:2 arányban! 5 -5 x y 9 -9

Oszd fel az AB szakaszt 2:1 arányban! 5 -5 x y 9 -9

Oszd fel az AB szakaszt 2:3 arányban! 5 -5 x y 9 -9

Oszd fel az AB szakaszt 3:5 arányban! -5 x y 9 -9

Egyenesek

Az egyenes irányvektoros egyenlete Ahol: a v irányvektor első jelzőszáma, a v irányvektor második jelzőszáma; valamint az egyenesre illeszkedő P pont első jelzőszáma, az egyenesre illeszkedő P pont második jelzőszáma.

Az egyenes meredeksége 3/2 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 2 ; 3), és a P (2;-2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 3/2 , azaz a P ponttól 2 egységet lépjünk jobbra 3 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba!

Az egyenes meredeksége -1/2 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 2 ; -1), és a P (-4; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -1/2 , azaz a P ponttól 2 egységet lépjünk jobbra, 1 egységet le! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége 5/3 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 3 ; 5 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 5/3 , azaz a P ponttól 3 egységet lépjünk jobbra, 5 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége 1/2 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 4 ; 2 ), és a P ( 6 ; 4 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 1/2 , azaz a P ponttól 4 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége 0 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 1 ; 0 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége 0 , azaz a P ponttól 1 egységet lépjünk jobbra, 0 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

0 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel! Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik irányvektora v( 0 ; 2 ), és a P ( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! 0 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet fel! Írjuk fel az egyenes irányvektoros egyenletét! Rendezzük x-re az egyenletet! Az egyenes meredeksége ∞ , azaz a P ponttól 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után toljuk el az irányvektort a P pontba! Az irányvektor illeszkedik a P pontból indítva az egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes normálvektoros egyenlete Ahol: a n normálvektor első jelzőszáma, a n normálvektor második jelzőszáma; valamint az egyenesre illeszkedő P pont első jelzőszáma, az egyenesre illeszkedő P pont második jelzőszáma.

Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 2 ; 1 ), és a P( 3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! Az egyenes meredeksége -2 , azaz a P ponttól 1 egységet lépjünk jobbra, 2 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 3 ; 5 ), és a P( -3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! Az egyenes meredeksége -3/5 , azaz a P ponttól 5 egységet lépjünk jobbra, 3 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 4 ; 3 ), és a P( -3 ; 2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 3 egységet lépjünk jobbra, 4 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 4 ; 3 ), és a P( -3 ; -2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -4/3 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 3 egységet lépjünk jobbra, 4 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Az egyenes meredeksége -1 , azaz a P ponttól Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik normálvektora n( 1 ;1 ), és a P( -3 ; -2 ) pontra illeszkedik! Az egyenes meredeksége -1 , azaz a P ponttól Írjuk fel az egyenes normálvektoros egyenletét! Rendezzük y-ra az egyenletet! 1 egységet lépjünk jobbra, 1 egységet le! 5 -5 x y 9 -9 Az egyenes megrajzolása után hosszabbítsuk meg a normálvektort! Az normálvektor merőleges a megadott egyenesre, ez a keresett egyenes egyenlete!

Egyenesek irányvektora, normálvektora

A 2x +3y = 11 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát! A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

A 5x +y = 111 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát! A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

A +y = 7 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát! A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

A +5y = -3 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát! A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

A 2x = 3 egyenletű egyenesnek határozd meg a normálvektorát, és az irányvektorát! A normálvektorból pedig a jelzőszámok cseréjével, és az egyik ellentétessé tételével az irányvektor felírható: Az egyenes normálvektoros egyenlete alapján a normálvektor jelzőszámai rendre::

A háromszög nevezetes vonalai

Súlyvonal Egy háromszög súlyvonala az a szakasz, amelyik végpontjai a háromszög egyik csúcsa, és az ezzel a csúccsal szemben lévő oldalfelező pont. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást: a S súlypontban.

Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(0;0); B(6;2); C(3;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Számoljuk ki az a oldal felezőpontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát Számoljuk ki az a oldal felezőpontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget 5 -5 x y 9 -9

Számoljuk ki a háromszög Súlypontjának koordinátáit! Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög sa súlyvonalának egyenletét! Számoljuk ki a háromszög Súlypontjának koordinátáit! Rajzoljuk meg a háromszöget Írjuk fel az sa súlyvonal irányvektorát 5 -5 x y 9 -9

Magasságvonal Egy háromszög magasságvonala az az egyenes, amelyik egyik pontja a háromszög egyik csúcsára illeszkedik, és az ezzel szemben lévő oldalra merőleges. A háromszög Magasságvonalai egy pontban metszik egymást: az M magasságpontban.

Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-4;-6); B(6;2); C(0;4). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-7;-6); B(5;-5); C(0;4). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-5;-5); B(5;-5); C(0;5). Írd fel a háromszög ma magasságvonalának egyenletét! Rajzold meg a háromszöget Írjd fel az ma magasságvonal normálvektorát! 5 -5 x y 9 -9 Az a oldal irányvektora megegyezik az ma normálvektorával.

Körök

A C(0;0) középpontú, r sugarú kör egyenlete: A C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara 5 hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara 7 hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 0 ;0 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel az origo középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 2 ;0 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( 3 ;4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;-4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik középpontja C( -3 ;-4 ), és a sugara hosszúságú! Írjuk fel a C (u;v) középpontú kör általános egyenletét! Helyettesítsünk be a megadott, kezdő értékekkel! 5 -5 x y 9 -9

Két pontra, mint átmérő végpontjaira illeszkedő kör egyenlete

Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( -3 ;-4 ), B( 7;20 )! Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(2;8) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( 0 ;0 ), B( 6;8 )! Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(3;4) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

Írd fel annak az körnek az egyenletét, amelyik átmérőjének végpontjai A( 3 ;2 ), B( 1;0 )! Az átmérő felezőpontja a kör középpontja. A kör középpontja C(3;4) A kör sugara az A és C pont távolsága. Ekkor a C(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete!

Pont és egyenes távolsága

Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

Ezt visszahelyettesítve az f egyenes egyenletébe: Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az f egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! Az x-y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és egyenes távolsága:

Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! Az x+y=2 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;5)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és az egyenes távolsága:

Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)? Írjuk fel a P pontra illeszkedő, e egyenesre merőleges f egyenes egyenletét! Ábrázoljuk koordinátarendszerbe a pontot és az egyenest! 5 -5 x y 9 -9 Az e és az f egyenes metszéspontja az E pont, amely a P ponttól van legközelebb az e egyenestől. Az e egyenes normálvektora megegyezik az f egyenes irányvektorával.

Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)? Határozzuk meg az E pont koordinátáit! 5 -5 x y 9 -9 Ezt visszahelyettesítve az e egyenes egyenletébe: Az E pont koordinátái:

Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! Az 2x-y=1 egyenletű egyenestől milyen távol van P(2;3)? Határozzuk meg az E és a P pont távolságát! 5 -5 x y 9 -9 A megadott pont és az egyenes távolsága:

Pont és görbe illeszkedése

Illeszkedik-e a P(3;4) pont az e: 2x-3y=6 egyenletű egyenesre? Helyettesítsük be a pont jelzőszámait az egyenes egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak az egyenes egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott egyenesre. és

Illeszkedik-e a P(-3;-4) pont az e: 2x-3y=6 egyenletű egyenesre? Helyettesítsük be a pont jelzőszámait az egyenes egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak az egyenes egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség teljesül. Ebből az következik, hogy a pont illeszkedik a megadott egyenesre. és

Illeszkedik-e a P(5;-3) pont az f: (x-7)2+1=y egyenletű görbére? Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott görbére. és

Illeszkedik-e a Q(-5;5) pont az f: (x+7)2+1=y egyenletű görbére? Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség teljesül. Ebből az következik, hogy a pont illeszkedik a megadott görbére. és

Illeszkedik-e az R(2;0) pont az g: (x-3)2+1=y egyenletű görbére? Helyettesítsük be a pont jelzőszámait a görbe egyenletébe, és vizsgáljuk meg az egyenlőség logikai értékét! A pont jelzőszámainak a görbe egyenletébe való behelyettesítése során az egyenlőség nem teljesül. Ebből az következik, hogy a pont nem illeszkedik a megadott görbére. és

Az y mely paraméterére illeszkedik a P(2; y) pont az e: 2x+5y=7 egyenletű egyenesre? Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A P ( 2 ; 0,6 ) pont illeszkedik a 2x + 5y =7 egyenletű egyenesre.

Az y mely paraméterére illeszkedik a Q(5; y) pont az f: x2-2x+6=y egyenletű görbére? Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A Q ( 5 ; 21 ) pont illeszkedik az y=x2-2x+6 egyenletű görbére.

Az y mely paraméterére illeszkedik a R(3; y) pont az g: x2-5x+6=y egyenletű görbére? Innen következik: Oldjuk meg behelyettesítéses módszerrel az egyenletrendszert! A Q ( 3 ; 0 ) pont illeszkedik az y=x2-5x+6 egyenletű görbére.

A háromszögek területe

Ekkor a keresett háromszög területe: Határozd meg annak a háromszögnek a területét, amelyik csúcspontjai A(-6;-1) B(8; 4) C(10;7) A megoldáshoz vegyünk fel két segédpontot a felső pontok alá az alsóval egy szintbe! Ekkor a keresett háromszög területe: 5 -5 x y 9 -9

Ekkor a keresett háromszög területe: Határozd meg annak a háromszögnek a területét, amelyik csúcspontjai A(-6;-1) B(8; 4) C(10;7) A megoldáshoz vegyünk fel két segédpontot a felső pontok alá az alsóval egy szintbe! Ekkor a keresett háromszög területe: 5 -5 x y 9 -9