Kvantitatív módszerek Becsléselmélet 2016. október 6., 10.

A matematikai statisztika tárgya F(x), M(), D() …. Fn(x), x, s, s* Következtetés Statisztikai minta valamely változóra vonatkozó véges számú független megfigyelés eredménye. Sokaság A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak nevezzük. Minta Mintavétel  Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek A becslés elmélete (Majdnem) minden elméleti eloszlásnak van(nak) paramétere(i) Becslési eljárások: Pontbecslés: a becsülni kívánt elméleti paramétert egy értékkel becsüli Intervallumbecslés: előre meghatározott megbízhatósággal egy intervallumot ad a keresett sokasági paraméterre A becsülni kívánt sokasági paraméter jelölése: Θ Ezek a sokaság ismeretlen konstans értékei, azaz értékük nem függ a véletlentől A becslés a sokaságból kivett véletlen minta alapján valósul meg: a mintaelemek függvénye, becslőfüggvény Véletlen minta esetén az aktuális minta függ a véletlentől, ezért minden mintaelem, és a függvényükben számított becslés is valószínűségi változó. A mintából számított pontbecslés: Kvantitatív módszerek

Mintavétel – A becslés elmélete mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető  Kvantitatív módszerek

A mintajellemzők fontosabb tulajdonságai Minden mintaelem és az azokból számított jellemző mintavételi ingadozásnak van kitéve: valószínűségi változók. A mintajellemzők eloszlása a mintavételi eloszlás. Véges N elemszámú sokaságot egyetlen Y ismérv szerint vizsgáljuk. A sokaság elemeit a megfelelő ismérvértékekkel együtt felsoroljuk: A mintát mindig elemeinek felsorolásával adjuk meg: Az egyes yi mintaelemek valószínűségi változók: várható értékével és varianciájával jellemezzük. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Becslés elmélete Mikor tekinthető a mintából számított mutató az ismeretlen elméleti paraméter jó becslésének? Mikor jobb egy becslés, mint a másik? Becslési kritériumok (Fisher kritériumok) Torzítatlanság Hatásosság Konzisztencia Elégségesség Kvantitatív módszerek

Becslési kritériumok - torzítatlanság Torzítatlan a becslőfüggvény, ha annak várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági paraméterrel: Nincs szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között Két torzított becslőfüggvény közül azt tekintjük jobbnak, amelyiknél kisebb a torzítás abszolút értéke. torzítatlan torzított f(x) f(x) Kvantitatív módszerek

Példa - Torzítatlan becslés  F(x), f(x), M(), D() …. , S1* , S1 , S2* , S2 , S3* , S3  Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

Becslési kritériumok - konzisztencia Konzisztens a becslőfüggvény, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken. A becslőfüggvény értékei nagy minta esetén jól közelítsék a megfelelő sokasági jellemzőt. f(x) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

Becslési kritériumok - Hatásosság A torzítatlanság nem mond semmit az ingadozás mértékéről. A becslések ingadozását a becslések szórásával mérjük. Két becslés közül a kevésbé ingadozót tekintjük hatásosabbnak. f(x) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Hatásos becslés  (Normális el.) F(x), f(x), M()=, D()= Me1 Me torzítatlan konzisztens Me2 elégséges Me3 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

Becslési kritériumok - elégségesség A becslés elégséges, ha minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Nincs más olyan becslés, amely a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégséges becslés. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Pontbecslés Analógia elve: a mintából a becsülni kívánt jellemzővel megegyező tartalmú mutatót számítunk Mi történik, ha az analógia nem működik? Becslőfüggvények alkalmazása: a becslőfüggvénybe helyettesítjük a minta konkrét értékeit  pontbecslés Pontbecslés módszerei: Maximum-likelihood módszer Legkisebb négyzetek módszere Momentumok módszere Kvantilisek módszere Grafikus paraméterbecslés Kvantitatív módszerek

Legkisebb négyzetek módszere Nem feltételezi a sokaság eloszlásának ismeretét De van formalizált összefüggés a jelenség leírására  modell Modellparaméterek meghatározása a tényleges és becsült paraméterrel illesztett modellek eltéréseinek négyzetösszege minimális legyen. A LN módszer a tényleges megfigyelések és a minta alapján becsült modell négyzetes távolságát minimalizálja. Eszköze a szélsőérték-számítás. Kvantitatív módszerek

Maximum likelihood módszer (ML) Ismert sokasági eloszlást tételez fel, e sokasági eloszlás ismeretlen paraméterét becsüli. Az LF mutatja meg, hogy adott eloszlás és különböző paraméterértékek esetében mennyire valószínű, hogy éppen a szóban forgó minta adódik a mintavétel eredményeképpen. Ez a valószerűség az ismeretlen paraméter(ek) függvénye: likelihood függvény (LF). LF ismeretében a feladat, olyan ismeretlen paraméter(eke)t keresni, amely(ek) mellett ez a függvény a maximumát veszi fel, azaz annak hihetősége, hogy az adott konkrét minta éppen abból az eloszlásból származik, a lehető legnagyobb. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Momentumok módszere Eloszlások paramétereinek becslésére szolgál. Feltétel: ismert a sokasági eloszlás A sokasági eloszlás paraméterei és momentumai kapcsolatba hozhatók egymással: a tapasztalati momentumokat a mintából kiszámítjuk, egyenlővé tesszük a paraméterekkel kifejezett sokasági momentumokkal, és következtetünk a sokasági paraméterekre. Másképpen: olyan sokasági momentumokat keres, amely mellett a sokaság és a minta megfelelő momentumai megegyeznek. Konzisztens becslőfüggvényeket eredményez. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Intervallumbecslés Emlékeztető Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Intervallumbecslés Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek. Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Intervallumbecslés A pontbecslés csak véletlenül egyezik meg a sokasági paraméterrel, általában annak környezetében helyezkedik el. Hogy milyen sugarú környezetében? A mintavételi hibától függ. A pontbecslés intervallumbecsléssel egészíthető ki. A mintavételi hibát is figyelembe véve adott (nagy) megbízhatóságú intervallumbecslést adunk a becsülni kívánt sokasági paraméterre. Milyen széles legyen, hogy lefedje a becsülni kívánt sokasági paramétert? A mintastatisztika szóródásának mértéke függ a minta elemszámától. A mintavételi eloszlás ismeretében meg tudunk adni egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy valószínűséggel tartalmazza. Hogyan viselkedik a sokasági paramétert becslő függvényünk? (mintavételi eloszlás) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Intervallumbecslés Az intervallumbecslés lényege, hogy ismerjük pontbecslésünk valószínűségi tulajdonságait, és ezek segítségével egy adott megbízhatósági intervallumot adunk meg a sokasági paraméterre. A konfidencia-intervallum is valószínűségi változó, vagyis a konfidencia-intervallumok is mintáról mintára változnak. A mintavétel végrehajtása után a konfidencia-intervallum vagy tartalmazza a becsülni kívánt sokasági paramétert vagy nem. Amennyiben a mintavételt újra és újra megismételnénk, és elkészítenénk a konfidencia-intervallumokat, az esetek (1-α) %-ában a sokasági jellemző a konfidencia-intervallumon belül lenne. Kvantitatív módszerek

Intervallum szélessége Sokasági szórás intervallum szélessége Megbízhatósági szint Mintaszám  Kvantitatív módszerek

Alapképzés során tanult becslések Paraméter Feltételek Becslés standard hibája Becslés eloszlása Átlag eredeti eloszlás normális, a sokasági szórás ismert normális eloszlású   eredeti eloszlás normális, a sokasági szórás nem ismert Student-féle t-eloszlású Arány nagy minta Szórás eredeti eloszlás normális - χ2-eloszlású Kvantitatív módszerek

Intervallum becslés – várható érték  Normális el. M()=, D()=0 ismert n elemű FAE mintából számított számtani átlaggal becsüljük Normális eloszlás (Mintavételi eloszlás)  Kvantitatív módszerek

Várható érték becslése – ismert alapsokasági szórás A  valószínűségi változó N(,0) eloszlású, ahol 0 szórás ismert A  sokasági paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Az átlag eloszlása normális: A konfidencia- intervallum sugarát adott megbízhatósági szinthez tartozó maximális hibának nevezzük. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Egy gép 1000 grammos kávékivonatot tölt. A töltősúly ellenőrzésére 9 elemű véletlen mintát vettek a termelésből, és az alábbi nettó töltési tömegeket mérték grammban: 990, 1004, 996, 1000, 999, 1005, 997, 1001, 1000 A gép által töltött tömeg normális eloszlású valószínűségi változó 4,5g szórással. Határozzuk meg 95%-os megbízhatósággal a termékek várható értékének konfidencia intervallumát! Megoldás: n=9 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa =0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025  z/2=1,96 Ez azt jelenti, hogy 95%-os megbízhatósági szinten a gép által töltött tömeg várható értéke 996,1711 gramm és 1002,051 gramm között van. Kvantitatív módszerek

Várható érték becslése – ismeretlen alapsokasági szórás Feltétel: a sokaság normális eloszlású, de nem ismerjük sem a várható értéket (μ-t), sem a sokasági szórást (σ0-t). Az átlag továbbra is normális eloszlású Az ismeretlen alapsokasági szórás (σ) becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk fel (torzítatlan becslés.) helyett Student eloszlású valószínűségi változó ν=n-1 szabadsági fokkal. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Tegyük fel, hogy az előző töltőgépes példánál nem ismerjük az elméleti szórást, de továbbra is tudjuk, hogy a töltési tömeg normális eloszlással írható le. A grammokban mért töltési tömegek: 990, 1004, 996, 1000, 999, 1005, 997, 1001, 1000 Adjunk becslést 95%-os megbízhatósági szinten a töltőtömeg várható értékére! Megoldás: n=9 A σ0 nem ismert, becsülnünk kell a minta korrigált tapasztalati szórásával: Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa ε= 0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025 t/2=2,306 (DF=9-1=8) σ0 nem ismert, becsültük Szélesebb intervallum! σ0 ismert Kvantitatív módszerek

Sokasági arány becslése A sokaságon belül egyetlen (mennyiségi vagy minőségi) ismérv szerint 2 csoportba soroljuk a sokasági elemeket. A sokasági arány: P Torzítatlan becslőfüggvénye: p = k/n p = k/n Binomiális eloszlás M(p) = P D2(p) = P(1-P)/n Közelítjük normális eloszlással Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa A Felvillanyozzuk Kft. napi termeléséből vett n = 200 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. 95%-os és 99%-os megbízhatósági szint mellett adjunk intervallumbecslést a sokasági arányra! Megoldás: n = 200 p = 24/200 = 0,12  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  z/2 = 1,96 95%-os megbízhatósági szinten a sokasági arány, vagyis a hibás égők aránya 7,5% és 16,5% között van. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa  = 0,99   = 0,01  kétoldali becslés: /2 = 0,005  z/2 = 2,58 99%-os megbízhatósági szinten a sokasági arány, vagyis a hibás égők aránya 6,066% és 17,934% között van. α =1% Szélesebb intervallum! α =5% Kvantitatív módszerek

Sokasági variancia becslése σ2 torzítatlan becslése: korrigált tapasztalati szórás Ekkor: változó n-1 szabadsági fokú χ2 eloszlású követ. A χ2 eloszlás: független standard normális eloszlású változók négyzetei összegének eloszlása. Egy paramétere van: ν=n-1, ahol n az összegezendő egymástól független valószínűségi változók számát jelenti. Csak pozitív értékeken értelmezzük, balra aszimmetrikus, a szabadságfok növelésével közelít a normális eloszláshoz. Következmény: a konfidencia intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre! Kvantitatív módszerek

Sokasági variancia becslése  Normális el. !! M()=, D2()=2 - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !! mintából becsüljük, s2 vagy s*2 2-eloszlású (Mintavételi eloszlás)  Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! Megoldás: n = 16 s* = 10 óra DF = n – 1 = 16 – 1 = 15  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  1 – /2 = 0,975 95%-os megbízhatósági szinten a sokasági szórás 7,38 és 15,5 óra között van. 54,5 < 2 < 239,6 7,38 < < 15,5 Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – független minták Két minta alapján két sokasági várható érték különbségére következtetünk. Feltétel: a két sokaság független.  független minták Mintanagyságok: n1 és n2 A két várható érték: μ1 és μ2 Feladat: a két várható érték különbségének becslése. Két eset: Ismertek a sokasági varianciák (σ12 és σ22) A sokasági varianciákat a mintákból kell becsülni. Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – független minták Ismertek a sokasági varianciák (σ12 és σ22) Feltétel: az alapsokaságok normális eloszlásúak, így a várható értékek különbsége is normális eloszlású. Feladat: becslése Ennek torzítatlan becslése: Szórásnégyzete: normális eloszlású Kvantitatív módszerek

Példa – független minták, ismert sokasági szórás (lásd: példatár) Az „A” márkájú villanykörtékből 150 elemű mintát véve az átlagos élettartam 1400 órának, a „B” márkájúból 200 elemű mintát véve az élettartama 1200 órának adódott. Tudjuk, hogy az „A” márkájú égő élettartamának szórása 120 óra, a „B” márkájúnak pedig 80 óra. Határozza meg az „A” és a „B” márkájú villanykörték átlagos élettartama közötti különbség 95%-os és 99%-os konfidencia-intervallumát! (Az élettartam normális eloszlású.) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása 95%-os megbízhatóságú intervallum: 95%-os megbízhatósággal az „A” márkájú égők várhatóan 177,825 - 222,175 órával többet működnek, mint a „B” márkájú égők. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa folytatása 99%-os megbízhatóságú intervallum: Szélesebb intervallum! 99%-os megbízhatósággal az „A” márkájú égők várhatóan 170,811 - 229,189 órával többet működnek, mint a „B” márkájú égők. Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – független minták Ismeretlen sokasági varianciák (σ12 és σ22) Az alapsokaságok normális eloszlásúak, és a két szórásnégyzet megegyezik (lásd F-próba!). Így kombinált becslést készítünk a közös szórásnégyzetre: A mintaátlagok különbségének szórásnégyzete: Így a becsült standard hiba: Az ismeretlen sokasági szórásnégyzet torzítatlan becslőfüggvénye Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – független minták változó t-eloszlást követ DF= Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Adjunk 95%-os becslést a töltési tömegek várható értéke közötti különbségre! (Omniás példa) – 1. és 2. nap 1. nap 2. nap n = 50 n = 50 s* = 0,7183 g s* = 0,841g A szórások egyezőségének vizsgálata F-próbával: < A nullhipotézist elfogadjuk, a sokasági szórások egyeznek. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Adjunk 95%-os becslést a töltési tömegek várható értéke közötti különbségre! (Omniás példa) – 1. és 2. nap 1. nap 2. nap n = 50 n = 50 s* = 0,7183 g s* = 0,841g A két nap töltési tömegének várható értéke közötti különbség 95%-os megbízhatósággal 0,86g és 1,48g között van. (A második napon a töltési tömeg várható értéke 0,86-1,48 grammal több, mint az első napon) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Adjunk 95%-os becslést az MBA-re járó női és férfi középvezetők átlagéletkorának különbségére! Alapadatok: Nők: Férfiak: n = 10 n = 22 s* = 5,9 év s* = 6,7 év A közös szórásnégyzet kombinált becslése: tα/2=2,04 (DF=30) A nullhipotézis elfogadható, a szórások egyeznek 95%-os megbízhatósággal a két nem középvezetői várható életkorának különbsége -2,44 év és 7,64 év között van. Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – páros minták A két vizsgált ismérv normális eloszlású és sztochasztikus kapcsolatban áll egymással. Ismeretlen sokasági szórás, és nem is feltétlen egyeznek. A sokasági varianciák közötti összefüggés: becslőfüggvénye továbbra is d̅. n1=n2=n, így d̅ varianciája: Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbségének becslése – páros minták Intervallumbecslést kívánunk adni a Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Egy speciális diéta hatásosságát vizsgálják. Ehhez minden vizsgálati személy testsúlyát megmérték a diéta előtt és után. A hipotetikus kísérlet eredménye 9 kísérleti személyen a következő táblázatban látható. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy mekkora a különbség a testsúlyok várható értéke között a diéta előtt és után! A vizsgált személy sorszáma Testsúly a diéta előtt Testsúly a diéta után 1 95 90 2 75 72 3 110 100 4 81 5 92 88 6 83 7 94 93 8 82 9 105 99 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa A vizsgált személy sorszáma Testsúly a diéta előtt Testsúly a diéta után di 1 95 90 5 2 75 72 3 110 100 10 4 81 6 92 88 83 7 94 93 8 82 9 105 99 99%-os megbízhatósággal a diéta előtti testsúly várható értéke 1,194 – 7,926kg-mal több, mint a diéta után Kvantitatív módszerek

Két sokasági arány különbségének becslése Két sokaságban egy adott tulajdonsággal rendelkező egyedek arányát kívánjuk összehasonlítani. Elég nagy minták esetén a mintabeli arányok különbsége (p1-p2) normális eloszlású: A minta akkor elég nagy, ha a intervallumok nem tartalmazzák sem a 0-t sem az 1-et Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Adjunk 95%-os becslést a 101 g feletti töltési tömegek arányának különbségre! (Omniás példa) – 1. és 2. nap 1. nap 2. nap n2 = 50 n1 = 50 95%-os megbízhatósággal a két napon töltött, 101g feletti töltési tömegek arányainak különbsége 42,4 és 73,5% között van. k1 = 35 k2 = 6 p1 = 35/50=0,7 p2 = 6/50=0,12 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Adjunk 95%-os becslést az MBA-re járó női és férfi középvezetők arányának a különbségére! A minta nagyságának meghatározása: nők férfiak n2 = 41 n1 = 59 k2 = 10 k1 = 22 p2 = 10/41=0,244 95%-os megbízhatósággal a férfi és női középvezetők arányának különbsége -5% és 30,9% között van. p1 = 22/59=0,373 Kvantitatív módszerek

Mintaszám meghatározása Eddig adott volt a minta elemszáma: kiszámoltuk az elméleti paramétert adott valószínűséggel tartalmazó intervallum határait. Fordítva: mekkora mintára van szükség, hogy egy adott pontosságot (Δ-t) elérjünk? Adott Δ mellett megadható az n érték: Δ Kvantitatív módszerek

Mintaszám meghatározása Sokasági arány becslésénél: Két várható érték különbsége: Két sokasági arány különbsége: Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Mekkora mintát kell vennünk, hogy az MBA hallgatók között 2 év eltéréssel tudjuk kimutatni a középvezető nők és férfiak átlagéletkorának különbségét (α=5%)? Alapadatok: Nők: Férfiak: n = 10 n = 22 s* = 5,9 év s* = 6,7 év Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Mekkora mintát kell vennünk, hogy az MBA hallgatók között 10% eltéréssel tudjuk kimutatni a középvezető nők és férfiak arányának különbségét? (α=5%) nők férfiak n2 = 41 n1 = 59 k2 = 10 k1 = 22 p2 = 10/41=0,244 p1 = 22/59=0,373 Mintanagyság: Kvantitatív módszerek