Bevezetés a játékelméletbe

Kezdetek A játékelmélet alapjait Neumann János rakta le egy 1928-as munkájában, Majd az Oskar Morgenstern neoklasszikus matematikus-közgazdásszal közösen írt „Játékelmélet és gazdasági viselkedés” című (The Theory of Games and Economic Behavior, 1944) művében. A matematika, a közgazdaságtan, a szociológia, a pszichológia, és a számítástechnika a játékelmélet által legérintettebb tudományok. A mesterséges-intelligencia kutatás is felhasználja eredményeit. Később Harsányi János Nobel-díjat kapott játékelméleti kutatásaiért

Neumann János

Játékelmélet fogalma A játékelmélet tárgyát képező játékok kimenetelét szabályokkal behatárolt keretek között befolyásolni tudják a játékosok. Ide sorolható a legtöbb szórakoztató játék: sakk, kártyajátékok, üzleti élet egyes mozzanatai stb. Ezeket a játékokat stratégai játékoknak nevezzük. Definíció: A játékelmélet olyan matematikai elmélet, amely vetélkedési helyzetek általános jellegzetességeivel foglalkozik.

Alapfogalmak A játékosok száma szerint megkülönböztetünk kétszemélyes, vagy n–személyes játékot, ahol a játékosok lehetnek személyek, csapatok, cégek stb. Feltesszük, hogy a játékosok racionálisan gondolkodnak és csak a saját érdekeik szempontjai szerint döntenek a játék során. A játék során a játékosok valamilyen stratégiát választanak anélkül, hogy ismernék az ellenfél stratégiáját.

Stratégia Definíció: A stratégia egy előre kimondott szabály, amely teljesen meghatározza, hogy hogyan akar valaki válaszolni a játék minden egyes szakaszában minden egyes körülményre. A szóba jövő stratégiák összességét nevezzük stratégiahalmaznak. Definíció: Ha a játékosok egymástól függetlenül, csak a saját érdeküket figyelembevételével választanak stratégiát, akkor nemkooperatív, egyébként kooperatív játékról beszélünk.

Kétszemélyes zérusösszegű játékok Mátrixjátékok

A j2 játékos stratégiája A játékosok intelligensen és óvatosan viselkednek a játék során. Ezért a J2 játékos minden oszlopból a legnagyobb értékű számra figyel, számára ez a legnagyobb veszteség, azaz 4-re, 6-ra, 5-re. Most úgy dönt, hogy az 1. stratégiát (oszlopot) választja, mert e választás esetén biztosan nem veszít többet 4-nél, akárhogy választ az ellenfele A j2 választása:

A j1 játékos stratégiája Az J1 játékos mindegyik sorból (stratégiából) a legkisebb értéket választja (ez a játékos legkisebb nyeresége, azaz −2, 2, −4, 0-t. Ebből látja, hogy a 2. sort kell választania, mert e választás esetén biztosan nyer legalább 2 Ft-ot. A j2 játékos ekkor az 1-es stratégiát választja, ezért ennél a döntéspárnál a játék értéke 3 lesz J1 választása:

A mátrixjáték egyensúlyi pontja vagy nyeregpontja

Kevert stratégiájú mátrixjátékok Definíció: Tiszta stratégiának nevezzük a játékos stratégiáját, ha a játékban egy oszlopot vagy egy sort választ a játékos és végig ezzel a stratégiával játszik. Optimális tiszta stratégia, ha van a játéknak nyeregpontja. Ha egyensúlypont nem létezik, akkor a játékosok a stratégiájuk váltogatásával próbálják növelni a nyereségüket. Definíció: Kevert stratégiáról vagy súlyozott stratégiáról beszélünk, ha a játék során változtatják a játékosok a stratégiát.

Neumann János tétele Minden mátrixjátéknak van optimális megoldása, azaz létezik olyan egyensúlyi stratégiapár, amelyre bármely lehetséges x, y stratégia mellett. Az számot a játék értékének nevezzük és v-vel jelöljük

Mátrixjátékok megoldása 1. A kifizetőmátrix minden eleméhez hozzáadjuk az alkalmas c számot, hogy biztosítsuk az A > 0 egyenlőtlenséget. 2. Felírjuk a szimplex táblát és kiszámítjuk az optimális és megoldásokat

3. Meghatározzuk az és optimális stratégiapárt és a értéket. Az eredeti feladatban a játék értéke v − c lesz.

Kétszemélyes nem konstans összegű játékok A valódi gazdasági problémák általában nem konstans összegű játékok. Például a gazdasági összejátszás növelheti a „játékban” részt vevők összes nyereségét. A szakirodalom megkülönböztet kooperatív és nem kooperatív nem konstans összegű játékot.

A kooperatív játékok A kooperatív játékokban a játékosok együttműködnek minden olyan tevékenységben, amely az egyik játékos eredményét növelheti (feltéve, hogy a másikét nem csökkenti). A kooperatív játékok elemzésében a legtöbb új fejlemény az együttes nyeremény szétosztásának elveiben van. (A közös szerzemény szétosztásának problémája okozza a konfliktusokat, leszámolásokat, az együttműködés megszakadását).

Nem kooperatív játékok A nem kooperatív, nem konstans összegű játékban a játékosok nem működnek együtt. Gyakran kifizetődőbb, ha a játékos előre közli a tervét (ellentétben a zérusösszegű játék esetében). A tervek nyilvánosságra hozatala hasznos lehet akár fenyegetésként, akár információ átadásként

Előnytelen játékok A gazdaságban gyakran adódik olyan helyzet, hogy az önérdek mindkét játékost olyan döntésekre készteti, amely mindkét fél számára hátrányosak. Például sok boltos nyitva tartja boltját (pékséget) vasárnap is, – annak ellenére, hogy jobban szeretne pihenni, – mert attól fél, hogyha nem tart nyitva vasárnap, akkor elveszti vevőit, akik a vasárnap is nyitva tartó versenytárshoz pártolnak át. Pedig általában az összhaszon ezzel nem növekszik!

A játékelméletért kapott közgazdasági Nobel-díjasok 1994 Nash, Harsányi János Selten

Harsányi János