1 Statisztikai folyamatszabályozás D R. TÓTH ZSUZSANNA ESZTER M ENEDZSMENT ÉS VÁLLALATGAZDASÁGTAN TANSZÉK ÜZLETI TUDOMÁNYOK INTÉZET GAZDASÁG - ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM F ORRÁS : E RDEI J., M INŐSÉGMENEDZSMENT MÓDSZEREK (SPC)

2 Mai menetrend Minősítéses R&R vizsgálat Ellenőrzőkártyás szabályozás alapjai

3 Minősítéses R&R vizsgálat Mérőszemélyek hatékonyságának értékelése (a jó választás aránya) Elsőfajú hiba nagyságának meghatározása Másodfajú hiba nagyságának meghatározása Tévesztési faktor: az előző kettőből számolt mutató szám Célja a mérési (minősítési) rendszer fejlesztése:

4 Lépései A személyek, termékek kiválasztása és az ismétlések számának meghatározása Termékek összegyűjtése: ~1/3 jó, ~1/3 rossz és ~1/3 „határeset” (egy szakértő besorolja kategóriákba) A vizsgálat elvégzése Táblázat kitöltése, számolások elvégzése, értékelés Személyek Alk. Száma Ism. Száma v. több123 3 v. több123 Személyek Alk. Száma Ism. Száma v. több123 3 v. több123

5 Számolandók a jót jónak minősítő döntések száma a rosszat rossznak min. döntések száma az összes jó döntés száma a jót rossznak min. döntések száma a rosszat jónak min. döntések száma az összes döntés száma (személyenként)

6 Például

7 Példa folyt.

8

9 Értékelés Hatékonyság: I. fajú hiba: II. fajú hiba:

E LLENŐRZŐKÁRTYÁK

11 Szabályozottság vs. szabályozatlanság Szabályozatlan Szabályozott rendszer

12 Példa Tegyük fel, hogy egy gyártási folyamatban (pörkölt kávé csomagba adagolása) a termék valamely normális eloszlás szerint ingadozó mérhető jellemzőjének (legyen „x”) (az egy csomagba töltött kávé tömegének) várható értéke 250g, szórása 1g. Méréseket végzünk annak megállapítására, hogy a folyamat statisztikai tulajdonságai nem változtak-e meg a vizsgált időszakban, vagyis még mindig igaz-e, hogy a töltött tömeg normális eloszlású, várható értéke 250g, szórása 1g.

13 Példa Igaz-e hogy normális eloszlású? Normalitás ellenőrzése –Illeszkedésvizsgálat vagy gauss papíros ábrázolás Igaz-e, hogy várható értéke 250g? μ=250g? –Egymintás u-próba vagy egymintás t-próba Igaz-e, hogy a szórása 1g? σ=1g? –Egymintás szóráspróba

14 Példa Vizsgáljuk meg a várható értéket! H 0 : μ=250g H 1 : μ≠250g Ha az „x” várható értéke megváltozott (pl. a gép elállítódott), be kell avatkoznunk. Vegyünk egy n=5 elemű mintát! Egymintás u-próba: Elfogadási tartomány:

15 Példa Személetesebb, ha nem a próbastatisztikára, hanem az átlagra adjuk meg az elfogadási tartományt: Ha az átlagérték az elfogadási tartományon kívülre esik, elutasítjuk a nullhipotézist! Alsó beavatkozási határ (LCL) Felső beavatkozási határ (UCL)

16 Példa Pörköltkávé-adagoló automata töltötte csomagok tömegének feltételezett várható értéke 250g, az adagolás szórása 1g. A folyamatból vett 5 elemű minta átlaga 249,6g. Megfelel-e az adagolt tömeg várható értéke a feltételezésnek, ha az elsőfajú hiba megengedett valószínűsége 5%? H 0 : μ=250g H 1 : μ≠250g A nullhipotézist elfogadjuk.

17 Példa

18 Első- és másodfajú hiba Példánkban az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége: bár a nullhipotézis igaz, de a próbastatisztika (vagy az átlag) az elfogadási tartományon (beavatkozási határon) kívüli értéket vesz fel. Pl. α=0,002? (u α/2 =3,09)

19 Példa folytatása Az előbbi adagoló automata elállítódott, a csomagok tömege 250g helyett 248g körül ingadozik. Mi a valószínűsége annak, hogy a folyamatból vett 5 elemű minta alapján elfogadjuk a nullhipotézist, vagyis azt higgyük, hogy a várható érték 250g, ha az elfogadási tartományt 5%-os elsőfajú hiba mellett jelöljük ki?

20 Ha a valóságban μ 1 =248g, annak a valószínűsége, hogy egy 5 elemű minta átlaga a nullhipotézis elfogadási tartományába essék, vagyis 249,123 és 250,877 g között legyen: Példa folytatása

21 Folyamatok szabályozása Információ a teljesítményről Beavatkozás a kimenetbe Folyamat Emberek Eszközök Anyagok Módszerek Beavatkozás a folyamatba Folyamat kimenet

22 Ellenőrzőkártyás szabályozás Szabályozott jellemző képzése A szabályozott jellemző és a beavatkozási határok egybevetése Döntés a beavatkozásról Beavatkozás a technológiai folyamat belső törvénysze- rűségeinek ismeretében Technológiai-és termékjellemzők mérése

23 Kártyák használatának előnyei Növeli a termelékenységet Segít a folyamatot szabályozott állapotban tartani Megakadályozza a felesleges folyamat (gép) állítgatásokat Információt ad a folyamat (gép) állapotáról Információt ad a folyamatképesség- elemzésekhez

24 Kártyák működésének elvi alapjai FTH ATH FBH ABH

25 Beavatkozási határok tervezése FTH ATH FBH ABH

26 Ellenőrzőkártyák fajtái Minősítéses kártyák –np-kártya (selejtszám) –c-kártya (hibaszám) –p-kártya (selejtarány) –u-kártya (fajlagos hibaszám) Méréses kártyák –egyedi érték kártya –átlag, medián kártya –szórás, terjedelem kártya Egyéb speciális kártyák

27 Beavatkozási határok számolása A számítás elvi menete Szükséges alapadatok: - a célállapot statisztikai jellemzői F 0 (x), M 0 (  ), D 0 (  ) …. - a döntési hibák ,  - a ß-hoz kapcsolódó alternatív (zavar) állapot statisztikai jellemzői F 1 (x), M 1 (  ), D 1 (  ) …. Számolandó: - n, mintaszám - ABH, FBH beavatkozási határok

28 Beavatkozási határok számolása A számítás gyakorlati menete Szükséges alapadatok: - a célállapot statisztikai jellemzői F 0 (x), M 0 (  ), D 0 (  ) …. - elsőfajú hiba,  - a ß-hoz kapcsolódó alternatív (zavar) állapot statisztikai jellemzői F 1 (x), M 1 (  ), D 1 (  ) …. - mintaszám, n Számolandó: - ABH, FBH beavatkozási határok - ß, másodfajú hiba 3σ-ás modell ABH = középérték - 3·szórás FBH = középérték + 3·szórás „Kényelmes”, de vigyázzunk a  -ra!!!

29 Példa Műanyag padló 1 m 2 -re eső felületi hibáinak átlagos száma 2 db. A folyamatot szabályozni szeretnénk  =10%-os elsőfajú hiba mellett. 1. Tervezze meg a beavatkozási határt! 2. Mekkora a másodfajú hiba mértéke, ha a hibaszám 4-re nő? 3. Tervezze meg a beavatkozási határt 3  -ás modellel! A fenti zavarhatás fellépésekor, mekkora a másodfajú hiba?

30 10, , , , , ,0120 pkpk 0, k 0,1 Példa – 1. rész Poisson-eloszlás 0 =2 kpkkpk 00,1353 0,8571 0,9473 FBH = 5 

31 10, , , , , , ,0595 Példa – 2. rész pkpk 0, k 0,1 0 =2 1 =4 kpkkpk 00,0183  = 0, 6289 

32 Példa – 3. rész 3  -ás modell ABH = 0 FBH = 7  = ? = 0,8894

33 Példa - 2 Egy szabályozott gyártási folyamatban a kritikus minőségi jellemző μ 0 = 3,1 cm 3,  0 =0,08 cm 3 normális eloszlást követ. a.) Számolja ki a μ 0 ±2σ 0 beavatkozási határok esetén n=1 elemű mintavétel mellett az elsőfajú hiba valószínűségét! b.) Mekkora a másodfajú hiba valószínűsége, ha a várható érték μ 1 = 3,3 cm 3 -re változott?

34 ABH=2,94 cm 3 FBH=3,26 cm 3  /2  Példa - 2 (Normális eloszlás) P(  0 <ABH) = n = 1  0 =3,1   1 =3,3 = 30,85% 2,28% =  (-2) = 2,28%  4,56%  = 2·2,28 = 4,56%  =P(ABH<  1 <FBH)

35 Példa - 2 c.) Mekkora az első és másodfajú hiba valószínűsége, μ 0 ±3σ 0 beavatkozási határok valamint n=1 és n=4 elemű mintavétel mellett?

36 Példa - 2 ABH=2,86 cm 3 FBH=3,34 cm 3 n = 1  /2  (-3) = 0,135%  = 0,27%  0 =3,1   1 =3,3 = 69,15% n = 4 ABH=2,98 cm 3 FBH=3,22 cm 32,28%

37 OC görbe

K ÖSZÖNÖM A FIGYELMET ! TÓTH ZSUZSANNA ESZTER M ENEDZSMENT ÉS VÁLLALATGAZDASÁGTAN TANSZÉK ÜZLETI TUDOMÁNYOK INTÉZET GAZDASÁG - ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM