A BOLYGÓMOZGÁS LEÍRÁSA KINEMATIKAI LEÍRÁS: KEPLER TÖRVÉNYEK Csillagászati megfigyelések ( Kopernikusz, Tycho-Brahe) Kepler I. Minden bolygó olyan ellipszispályán mozog a Nap körül, amelynek egyik fókuszában a Nap van. x y b a r1 r2r2 e Fókuszpontok e: lineáris excentricitás a, b, féltengelyek numerikus excentricitás kör Kis numerikus excentricitás esetén az ellipszis hasonlóvá válik a körhöz. esetén

Kepler II. A Napot és a bolygót összekötő vezérsugár egyenlő időközönként egyenlő területeket súrol. r A bolygók területi sebessége állandó területi sebesség: A bolygók nem állandó sebességgel mozognak az ellipszispályán, a Nap közelében begyorsulnak. r a vezérsugár: követi a bolygó mozgását nagysága a mozgás során változik. Kepler II. törvénye a területi sebességgel kifejezve:

Kepler III. Naprendszerben két bolygóra megállapított összefüggés a bolygók keringési ideje és az ellipszispálya fél nagytengelye között. : az 1-es bolygó keringési ideje a Nap körül : a 2-es bolygó keringési ideje a Nap körül Ez az összefüggés a naprendszer bármely két bolygójára igaz. A keringési idő négyzeteinek és a fél nagytengelyek köbeinek hányadosa állandó.

DINAMIKAI LEÍRÁS: NEWTON, PRINCIPIA (100 év múlva) Nagy kérdés volt sokáig mi tartja a bolygókat a Nap körüli pályájukon? Nem érintkező testek közötti kölcsönhatás dinamóméterrel nem mérhető. (Távolhatás??) Ez a kérdés a későbbiekben is előkerült:előkerült: (elektrosztatika, mágnesség) Newton: az égi és a földi mechanika összekapcsolása Ha kölcsönhatás van köztük, az hogyan írható le? Hogyan adjuk meg az erőtörvényt ? Közvetlenül kísérleti úton nem lehet. A csillagászati mérésekre alapuló kinematikai leírás (Kepler törvények) és Newton dinamikai törvényeinek együttes alkalmazása: 3 alapelv segítségével: Fő probléma :

az ismert gyorsulásból következtethetünk a két test között ható erőre: F=ma Körmozgás kinematikájának ismerete is szükséges. A Holdat ugyanaz az erő tartja körpályán, amely felelős az alma leeséséért. Ha az almát elvinnénk a Hold távolságára, akkor az almának akkora lenne a gyorsulása a Föld felé, mint a Holdnak a centripetális gyorsulása. A kölcsönhatás törvényének értelmében: amekkora erővel hat a Nap a bolygóra, ugyanakkora erővel hat a bolygó is a napra. A Földön eső alma gyorsulása és a Hold körpályán való mozgásához szükséges centripetális gyorsulása ugyanattól az erőtől származik : ez a gravitációs erő. Newton felismerése Newton II. törvénye Newton III. törvénye

1.Mekkora a Hold centripetális gyorsulása? A Hold pályáját a kis excentricitás miatt tekintsük körnek: a Hold egyenletes körmozgást végez a Föld körül. A Hold keringési sebességének irányát a Föld felé mutató centripetális gyorsulás változtatja meg: v v Centripetális gyorsulás: Hold Föld Számítsuk ki az ismert adatok segítségével, hogy mekkora A Hold centripetális gyorsulása a Föld körül: Az alma gyorsulása a Földön: Körmozgás esetén a kerületi sebesség érintő irányú.

7 Föld F Newton féle gravitációs erőtörvény: (levezetés nélkül): 2. Centripetális erő Ismerjük a gyorsulást, keressük hozzá az erőt! : Gravitációs állandó Az erővektor iránya a gyorsulásvektor irányával egyezik meg. Az erő a Hold irányából a Föld felé mutat: vonzóerő. N.II. törvény: A Hold centripetális gyorsulása: Az alábbi erőtörvénynek megfelelő erő tudja az ilyen gyorsulást létrehozni: Ha csak a Föld vonzóereje hat a Holdra, akkor ennek az erőnek kell megegyeznie a centripetális erővel: Centripetális erőnek kell ezt a gyorsulást biztosítani:

8 Egyetemes törvény, a gravitációs erő bármely két test között hat: 3.A Newton féle gravitációs törvény általánosan r Vonzóerő: az erő iránya a helyvektor irányával ellentétes: Ezt fejezi ki a képletben a negatív előjel. A gravitációs erő munkája általánosan: az erő nagysága az elmozdulás során változik, így a munkát integrálással lehet csak kiszámítani :

9 A Föld felszínén lévő m tömegű testre ható gravitációs erő: Gravitációs együttható meghatározása méréssel: ( Cavendish, torziós ing a) Eötvös Lóránd torziós mérései, Eötvös inga Ismeretében a gravitációs gyorsulás a Föld felszínén: N.II. tv 4. Gravitációs gyorsulás A gravitációs gyorsulás számítása Ha a testre nem hat más erő, akkor:

10 5. A gravitációs erőtörvény igazolása dinamikai úton Gravitációs gyorsulás a Föld felszínén: A Hold távolságában : Ez az érték megegyezik a Hold Föld körüli mozgásához szükséges, kinematikai megfontolásokból meghatározott centripetális gyorsulással. Számítsuk ki a gravitációs erőtörvény ismeretében, hogy az almának a Hold távolságában mekkora lenne a gravitációs gyorsulása! A két gyorsulás hányadosa : Ebből a gravitációs gyorsulás a Holdon Bebizonyítottuk, hogy a Holdat ugyanaz az erő tartja körpályán, amely felelős az alma leeséséért- a gravitációs erő. Hold- Föld távolság:

11 6. Gravitációs erő és körmozgás: példák A körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást gyakran a gravitációs erő biztosítja. Amennyiben csak a gravitációs erő hat a centripetális gyorsulás irányába, akkor : Rendezés után : Látszik, hogy a keringés körfrekvenciája (periódus ideje) és a pálya sugara nem függetlenek egymástól. Ha az egyik adott, akkor a másik könnyen meghatározható. Lássunk erre két példát: Geo- stacionárius pálya: T= 24 óra, R=? GPS: T=12 óra Első kozmikus sebesség: R=Földsugár, v=?

12 Geo-stacionárius műholdak keringési távolsága Geo-stacionárius pálya: a műhold mindig a Föld ugyanazon pontja fölött van, keringési ideje 24 óra. Az egyenlítő síkjában kering, a Föld középpontjától R távolságra. Rm A gravitációs erő biztosítja a körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást ugyanúgy, mint a Hold esetében. A körmozgás dinamikai alapegyenlete: A centripetális gyorsulás irányába csak a gravitációs erő mutat.

13 A műsorszóró műholdak a Föld felszíne fölött H=35600km magasan vannak. A keringési sebességük: GPS műholdak 12 óra alatt kerülik meg a Földet, km magasságban A keringési távolság kiszámítása az ismert adatokkal:

14 Arádiójeleka műholdbólnémi késéssel érkeznek a vevőkészülékbe km magasságban a késés0,06 másodperc.A vevőkészülék figyeli, hogy a jelek különböző műholdakról milyen időkéséssel érkeznek egymáshoz képest.A késésből a vevőkészülék kiszámolja a műhold tőle mért távolságát. Kétdimenziós rendszerben (síkonbelüli) helymeghatározáshoz e lege Arádiójeleka műholdbólnémi késéssel érkeznek a vevőkészülékbe km magasságban a késés0,06 másodperc.A vevőkészülék figyeli, hogy a jelek különböző műholdakról milyen időkéséssel érkeznek egymáshoz képest.A késésből a vevőkészülék kiszámolja a műhold tőle mért távolságát. Kétdimenziós rendszerben (síkonbelüli) helymeghatározáshoz e lege Kétdimenziós rendszerben (síkonbelüli) helymeghatározáshoz elegendő 3 db különböző műholdról érkező jelegyidejű vétele, háromdimenzióshelyzetazonosításhoz (ha pl. a tengerszint felettimagasságraisszükségvan),akkor már legalább négy műhold jeleinek avétele szükséges. A műholdak száma, helyzete és a pályasíkok azt a célt szolgálják,hogy a Földfelszín bármely pontján adott időpillanatban a látóhatár síkja fölött 15°-kal legalább négy szatellit látható legyen. A műholdak hat, egymáshoz képest kb. 60 fokos szögben eltérő pályán mozognak. Minden pályán 4 műhold kering.

15 A műholdak szabályos időközönként rádiójeleket bocsátanak ki, amelyben küldött adatok tartalmazzák a műhold aktuális helyzetét, és a rajta mérhető pontos időt. Minden műholdon található egy cézium, vagy rubidium atomóra, amellyel, nagy pontossággal mérhető az idő, ami az egész rendszer működésének az alapja. A rendszer minden műholdja szinkronizáltan működik, azaz az óráik pontosan össze vannak hangolva és jeleiket is egy időben küldik a megfigyelő felé. A felhasználók vevőkészülékei szintén tartalmaznak egy nagy pontosságú kvarcórát. Amikor a műhold kisugározza a pillanatnyi helyzetét és a fedélzeti időt, a rádiójelek némi késéssel érkeznek a vevőkészülékbe (20000 kilométeres magasságban ez a késleltetés 0,06 másodperces). A késésből így a készülék ki tudja számítani az adott műhold tőle mért távolságát. Négy műhold adataiból pedig megkaphatjuk a pontos helyzetünket.

16 Első kozmikus sebesség: körsebesség Mekkora sebességet kell adni a műholdnak a Föld felett h magasságban, hogy körpályára kerüljön? h v A magasságot tudjuk, keressük hozzá a sebességet! esetén: behelyettesítésével: „ Első kozmikus sebesség” R Az első űrhajó 2 órát keringett a Föld Körül óra 48 perc Egyenlítői kerület: ,02 km