Technológiai folyamatok elemzése és optimalizálása Ráduly Botond Mészáros Sándor (Analiza şi optimizarea proceselor tehnologice) (Process analysis and optimisation)

A tananyag felépítése 1. Rész – elmélet: Az optimalizálás definíciója, célja, alkalmazási területei, alapfogalmak Optimalizálási problémák algoritmusa, optimumkritériumok, döntési változók, célfüggvények Folyamatok matematikai modellezése, analitikus és empirikus modellek Optimalizálási módszerek. Grafikus, analitikus és numerikus megoldások Klasszikus optimalizálás, globális extremitások, egy- és többdimenziós optimalizálás. Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Egy- és többváltozós függvények optimalizálása. Numerikus optimalizálási módszerek Programozási módszrek, lineáris, nemlineáris és dinamikus programozás. Az utazó ügynök feladat. Hálózati modellek, gráfelmélet. A legrövidebb út problémája. Critical path scheduling

2. Rész – gyakorlat: MATLAB ® használata az optimalizálásban. Optimalizáló MATLAB függvények. Az Optimization Toolbox. Eliminálási algoritmust használó optimalizálási alkalmazás (Matlab): az optimális reakcióhőmérséklet Programozási módszert használó optimalizálási alkalmazás (Matlab): az optimális termelési terv Nagyméretű komplex rendszerek optimalizálása (a probléma bemutatása egy víztisztító telep modelljén). Párhuzamos megoldások. A gazdasági ktirérium és a politikai döntés. MS Excel használata az optimalizálásban 3. Rész- automatizálás

Az optimalizálás fogalma, célja és alkalmazási területei A technológiai folyamatok elemzése Az optimalizálás definíciója (mi az?) Az optimalizálás célja (miért?) Az optimalizálás alkalmazási területei (mire jó?) Optimalizálási alapfogalmak (hol is kezdjük?)

Az optimalizálás nem más mint a legjobb döntés (megoldás) azonosítása az összes lehetséges döntés (megoldások) közül egy döntési helyzetben (probléma). Mi az optimalizálás? Az optimalizálási problémák matematikai meghatározása: egy- vagy többváltozós függvény legkisebb vagy legnagyobb értékének az azonosítása. Egy technológiai folyamat optimizálása alatt olyan tervezési, megvalósítási vagy működési megoldások azonosítását értjük, amelyek biztosítják a lehető legjobb hatásfok elérését. „Az optimalizálás, maximalizálás és minimalizálás mind semleges matematikai fogalmak, matematikai kényelem és ízlés szerint helyettesíthetők egymással”.

Hol használható az optimalizálás? nagyon sok területen: termelés - fogyasztás, ipar - kereskedelem, közgazdaság - management, vállalatvezetés - termelésütemezés, stb. legtöbbször gazdasági okok a mozgatórugói Technológiai folyamatok esetén optimalizálásal azonosíthatjuk: a legrövidebb szállítási útvonalat egy berendezés tervezési megoldását hogy egy bizonyos terméket minél jobb hatásfokkal (és minél olcsóbban) termeljen egy berendezés müködésének módját, amely a legnagyobb hatásfokot vagy a legolcsóbb működtetést biztosítja azt az empirikus modellt, amely a folyamatunkat legjobban leírja az ideális karbantartási tervet, amely a javítások költségét minimalizálja a leghatékonyabb folyamatvezérlési módszereket a nyersanyag optimális elosztását több termelési egység között a termelőegységek ideális elhelyezését a piacon, a kereslet és a szállítási költségek figyelembevételével stb.

Az optimalizálás szintjei Kiterjedés szerint: egyetlen berendezési szintjén – pl. egy reaktor működésének optimalizálása egy teljes gyártósor szintjén – több berendezés közös optimalizálását jelenti egy teljes platform szintjén – több termelőegységet, gyártósort foglalhat magába Megvalósítás szerint: tervezési szinten – a legjobb tervezési megoldás kiválasztása egy berendezés gyártásához kihasználási szinten – az optimális működési paraméterek kiválasztása vezérlési szinten – az optimális vezérlési elemek kiválasztása és a vezérlés megvalósítása

Az optimalizálás nem mindig kivitelezhető! Néha az optimalizálandó rendszer komplexitása túl nagy (a változók és a feltételek száma túl nagy, az összefüggések nemlineárisak) ami nagyon megnehezíti az optimális megoldás azonosítását. A rendszer komplexitásának növekedésével a szükséges információmennyiség jelentősen megnő. Egyes esetekben az azonosított optimális megoldás a gyakorlatban nem alkalmazható (pl. túl magas hőmérséklet vagy nyomás, amelyet a reaktor nem bír meg). Ha nem is alkalmazható, az optimum hasznos információ lehet a rendszer maximális potenciálját illetően.

Optimalizálási alapfogalmak Az optimalizáláshoz szükséges több lehetséges megoldás létezése, hiszen ezek közül kell majd kiválasztani a számunkra legmegfelelőbbet. A matematika nyelvén fogalmazva: az optimalizálandó rendszerben olyan változók kell létezzenek, amelyek több lehetséges értéket vehetnek fel, ezáltal befolyásolva az optimumkritérium értékét. Ezek a változók az ún. döntési változók, számuk pedig az optimalizálási probléma dimenzióját adja meg. Az optimumkritérium - az a szempont, amely szerint a rendszer optimalizálását végezzük, az a kritérium, amely szerint a legjobbnak ítélünk egy lehetséges megoldást. Az optimumkritérium számszerű, mérhető érték kell legyen, amely a különböző lehetséges megoldások jóságát jellemzi. Matematikailag az optimumkritérium a döntési változók függvényében fejezhető ki, ez az ún. célfüggvény.

Az optimalizálási problémákban a cél minden esetben a döntési változók azon értékeinek meghatározása, amelyre a célfüggvény a legnagyobb (vagy legkisebb) értéket veszi fel. Minden optimizálási feladat tahát egy szélsőérték-azonosító feladat (extremum feladat). Az optimális megoldás a döntési változók azon értékeinek összessége, amelyekre az optimumkritérium az optimális (legnagyobb vagy legkisebb) értéket veszi fel. Minden optimalizálási feladat tahát egy szélsőérték- azonosító feladat, más néven extremum feladat. A megoldás lehet egy függvény is, amely a döntési változók értékének optimális időbeni vagy térbeli változását írja le. Az optimalizálás egy rendszer jobbátételének egy sajátos esete, éspedig a lehetséges maximális jobbátételt jelenti. Minden más esetben (azaz ha nem értük el a lehetséges legjobb megoldást) nem beszélhetünk optimalizálásról. Ha a rendszeren belül elértük az optimumot, de egy felsőbb szinten más megoldás adja az optimumot, akkor szuboptimumról beszélünk.

Optimumkritérium kiválasztása Feltételek meghatározása Döntési változók kiválasztása A folyamat matematikai modellezése A célfüggvény felírása Az optimalizálási módszer kiválasztása Az optimális megoldás megtalálása Az optimális megoldás alkalmazása

Az optimalizálás lényege egy rendszer legjobb állapotának kiválasztása az összes lehetséges állapot közül, egy előre meghatározott kritérium szempontjából. Ez a kritérium az optimumkritérium. Az optimumkritérium kiválasztása Az optimalizálás megoldása teljes mértékben optimumkritérium-függő. Ha egy más kritériumot választunk az optimális megoldás is más lesz. Az optimumkritériumokat két csoportra lehet osztani: a)Gazdasági jellegű kritériumok. A legfontosabbak: -A gazdasági haszon (az évi ráfordítások és bevételek különbsége) – általában már létező rendszerek esetén alkalmazzák, amelyeknél a befektetés már ismert és a haszon maximalizálása a cél. Ha a termelés értéke fix, akkor az optimalizálás a termelési költségek minimalizálására redukálódik

-A befektetési költségek megtérülési ideje (a befektetés értéke és az évi haszon hányadosa) – tervezési fázisban alkalmazott kritérium, amikor a befektetés értéke még csak egy változó. Az optimalizálás az idő minimalizálását jelenti. A probléma fordítottja (haszon/befektetés) esetén maximalizálni kell. -A teljes befektetés értéke – azon ráfordítások összege amelyek a meglévő termelőkapacitás növelését vagy modernizálását célozzák. A teljes befektetést vagy ennek összetevőit (pl. berendezések költsége vagy üzembeállítási költségek) lehet optimumkritériumként használni. -Bizonyos helyzetekben optimumkritériumként lehet használni a befektetést (minimalizálni), a működtetési költségeket (minimalizálni), nyersanyagköltségeket stb. a) Gazdasági jellegű kritériumok

b) Technikai jellegű kritériumok Igen változatosak lehetnek. Ilyenek pl.: -A reaktorok térfogata – minimalizálandó -A termék koncentrációja – maximalizálandó -A reakció hatásfoka – maximalizálandó -A feldolgozási veszteségek – minimalizálandó -A katalizátor tömege – minimalizálandó -stb. A gazdasági kritériumoknak általában prioritásuk van a technikai kritériumokkal szemben, kivétel ha ez utóbbiak biztonságtechnikai okokból kifolyólag fontosabbak A gyakorlatban a legtöbb technikai kritérium tulajdonképpen valamilyen gazdasági célt szolgál (és léteznek ezeknek megfelelő gazdasági kritériumok)

A döntési változók kiválasztása Minden optimalizálási problémában létezik egy vagy több független változó amelyeket változtatni lehet, ezeket döntési változóknak nevezünk. Egy optimalizálási feladat egyik alapvető lépése azonosítani a döntési változókat és meghatározni a számukat. Döntési változók száma = a feladat szabadságfokainak száma. n sz.f. = n v -n e Szabadságfokok száma Független egyenletek száma Független változók száma

Ha n sz.f. < 0 (vagyis n v < n e ) - nem lehet meghatározni az n v változót, a feladat rosszul van megfogalmazva Ha n sz.f. = 0 (vagyis n v = n e ) - a rendszernek egyetlen megoldása van, nem lehet tehát optimalizálásról beszélni Ha n sz.f. > 0 (vagyis n v > n e ) – több lehetséges megoldás létezik, megfogalmazható tehát az optimalizálási feladat Ha a döntési változók száma egyenlő lenne az egyenletek számával, az összes változó értéke kiszámolható lenne. A rendszer változóinak egy része rögzített értékű (előre meghatározott, konstans értékek) így a szabdságfokot a maradék változók adják majd. Általánosan:. n d.v = sum(n i - n sz.f ) Döntési változók száma A feladat inputjainak száma Inputok száma

A feltételek felírása Minden optimalizálási problémában a változókat érintő feltételek bukkannak fel. Az egyenlőség vagy egyenlőtlenség típusú függvényeket, amelyek megszabják egy adott változó érvényességi tartományát, feltételeknek nevezzük. A feltételek eredhetnek a változók fizikai tulajdonságából, a rendszer belső tulajdonságaiból, szabályozásokból, követelményekből, külső állapotokból amelyeknek a rendszer eleget kell tegyen stb. Tipikus helyzetek: a)Nagyon sokszor a változók nem vehetnek fel negatív értékeket (x i < 0). Ilyen esetek ha a változó pl. hosszúságot, tömeget, hozamot, koncentrációt stb. jelöl b)Sok esetben a változók csak egy intervallumban érvényesek (a< x i < b). Így pl. 0 < hatásfok < 1, T min < T < T max

A problémára felírt feltételrendszer a megoldás keresési tartományát adja meg. Az optimalizálási feladat megoldása mindenképpen eleget kell tegyen az összes felírt feltételnek, azaz a feltételrendszer megoldása kell legyen. c)Komplex feltételek, amelyek a rendszer belső tulajdonságaiból erednek vagy amelyeknek eleget kell tegyen a rendszer: gj(x1,x2,...xn) = 0, vagy gj(x1,x2,...xn) < 0

Az optimalizálandó folyamat matematikai modellezése Matematikai modellezés alatt a rendszer változói közötti összefüggések azonosítását és felírását értjük. Matematikai modell = a rendszer belső változóit meghatározó egyenletrendszer A matematikai modellek lehetnek: a)Lineárisak vagy nemlineárisak, az egyenletek formájától függően b)Stacionáriusak (statikusak) vagy dinamikusak - az egyenletek függenek az időtől vagy sem c)Analitikusak vagy empirikusak – a modell azonosítási módjától függően, illetve hibrid modellek ha kombináljuk a kettőt A matematikai modellek komplexitása igen nagy fontosságú az optimalizálásban, hiszen az optimális megoldás megtalálása érdekében általában iteratív módon igen sokszor meg kell oldani a modellt.

A célfüggvény felírása A célfüggvény az optimumkritérium és a döntési változók közötti összefüggést fejezi ki y = f cél (x 1,x 2,...x n ) A feltételrendszerrel együtt a célfüggvény az optimalizálási feladat analitikus megfogalmazását adja. A célfüggvény néhány tulajdonsága (folytonos vagy nem folytonos, unimodális vagy plurimodális) fontos az optimalizálási módszer kiválasztása számára. Az optimalizálás során a célfüggvényt minimalizáljuk vagy maximalizáljuk a feltételrendszer által behatárolt érvényességi tartományban Egyes esetekben lehetséges a célfüggvény átírása olyan formába, hogy a választott optimalizálási módszernek megfeleljen

Az optimalizálási algoritmus kiválasztása a célfüggvény formáját, a feltételek típusát és alakját valamint a probléma dimenzióját figyelembe véve történik. Különböző feladatokra más-más optimalizálási módszer alkalmazható hatékonyan. Az optimalizálási módszerek csoportosítása: a)Analitikus módszerek – folytonos és deriválható célfüggvényekre alkalmazhatóak. Csak egyszerű és kevés döntési változót tartalmazó feladatokra alkalmazhatóak b)Numerikus módszerek – direkt kereső módszerek, nagyszámú döntési váltózót tartalmazó komplex problémákra alkalmazhatóak. A célfüggvény lépésről-lépésre való javításán alapulnak. A döntési változók számának függvényében a numerikus módszerek lehetnek intevallummódszerek (egyváltozós célfüggvények esetén) vagy gradiens módszerek (két vagy többváltozós célfüggvény esetén) c)Programozási módszerek – a célfüggvény és feltételrendszer speciális formái esetén használatosak. Lineáris-, négyzetes-, dinamikus programozás Az optimalizálási módszer (algoritmus) kiválasztása

Az optimális megoldás megtalálása Az analitikus megoldáson kívül minden más optimalizálási módszer számítógép segítségével történik Már a számítógép hőskorában készültek számítógépre írt optimalizálási algoritmusok Az optimalizálás elérhetővé vált olyanok számára is akik nem értenek a számítógépes programozáshoz Megfelelő számítógépes környezetben az optimális megoldás megtalálásának lépései: -Az adatok előkészítése és bevitele -A megoldó algoritmus meghívása -Az eredmények feldolgozása Az optimalizáló programok megkönnyítik ugyan az optimalizálás folyamatát, de szükséges a szintaxis valamilyen szintű ismerete A Matlab környezet megfelelően rugalmas és felhasználóbarát úgy optimalizálásra mint az eredmények feldolgozására

Az optimális megoldás alkalmazása Ezzel a lépéssel válik teljessé az optimalizálás folyamata A talált optimális megoldás sajnos nem mindig alkalmazható a gyakorlatban (pl. technikai okok miatt). Ez esetben információt kapunk arról, hogy milyen messzire vagyunk az ideális helyzettől

hőmérséklet koncentráció Példa – reaktor hatásfokának optimalizálása Optimumkritérium: a termék koncentrációja Döntési változó: a reaktor hőmérséklete Feltételek: 1) T < T max 2) C > 0 T max Keresési tartomány

Példa – többváltozós optimalizálás Optimumkritérium: az oxigéntermelés hozama Döntési változók: 1) a CO 2 koncentráció 2) a fény intenzitása Feltételek: 1) C CO2 > 0 2) I fény > 0

Példa – tartály méretezése d h A tartály legyen henger formájú, 1000 m 3 térfogatú, ne legyen 5 m-nél magasabb és a felhasznált anyag ára legyen minél kisebb. ár = ár anyag × ρ anyag × δ lemez × (π × d × h + 2 × (π × d 2 ) /4) F cél = d × h + d 2 /2 konstans Feltételek: h ≤ 5 h ×(π × d 2 ) /4 = 1000