Életbiztosítási kalkulus (I.)  Alapfogalmak:  Halálozási valószínűség (q x ): annak valószínűsége, hogy egy x éves ember nem éli meg x+1-ik életévét  Túlélési valószínűség: p x = 1 – q x  → Annak valószínűsége, hogy ha valaki megélte x-ik évét, akkor megéli x+t-iket is: p x,t = p x *p x+1 *…*p x+t-1  Kihalási rend (l x ): halálozási valószínűségekből képzett számsor, az induló l 0 = es populációból mennyien lesznek életben x éves korukban: l x+1 = p x *l x  KSH halandósági táblájában vannak a fenti fogalmakra adatok  x éves korukban elhunytak száma: d x = l x – l x+1 [ q x =d x /l x ]

Életbiztosítási kalkulus (II.)  Nettó díj: a kockázati díjrészt jelenti  Bruttó díj: nettó díj + biztonsági pótlék + vállalkozói díjrész (ktg-ek)  Biztonsági pótlék: a kockázat változékonysága vagy pontosabb statisztikai meghatározásának lehetetlensége miatt alkalmazott díjpótlék  Életbiztosításoknál nincs  DE: halálozási valószínűségek az országos halandósági táblából, pedig főleg jobb anyagi helyzetben lévők kötnek éb-t, az ő halálozási valószínűségeik jobbak az átlagosnál  Technikai kamatláb: a biztosító által a díjtartalék után fizetendő garantált hozam  A 14/2005 PM rendelet szabályozza a maximumát, ami óta 2,9%  Ekvivalencia elv: E(PV(bevételek)) = E(PV(kiadások))

Életbiztosítási kalkulus (III.)  Feltételezzük:  Biztosítási összeg 1 Ft  Biztosítási esemény év végén következik be (évvégi pénzáramok)  1. példa: Mennyi egy 22 éves férfi egyéves kockázati életbiztosításának egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb 0 és a biztosítás összege 1?  Ekvivalencia elv → biztosítás egyszeri díja = várható kiadások jelenértéke  Halálozási valószínűség q 22 → a várható kifizetés 1*q 22  2. példa: ua., mint 1., de kétéves díj: Megoldás: 1*q *p 22 *q 23  3. példa: ua., mint 2., de a technikai kamatláb i  A diszkontfaktor legyen v = 1/(1+i)  Megoldás: 1*q 22 *v + 1*p 22 *q 23 *v 2

Életbiztosítási kalkulus (IV.)  Kommutációs számok:  C x : elhalálozottak diszkontált száma  D x : élők diszkontált száma lxlx d x = l x – l x+1 CxCx DxDx d 0 *v 1 l 0 *v d 1 *v 2 l 1 *v d 2 *v 3 l 2 *v ω0d x *v x+1 l x *v x

Életbiztosítási kalkulus (V.)  Számítás a kommutációs számokkal:  Egyéves díj: C x /D x = (d x v x+1 )/(l x v x ) = (l x – l x+1 )v 1 /l x = q x v 1  Két éves díj: (C x + C x+1 )/D x = (d x v x+1 + d x+1 v x+2 )/(l x v x ) = = q x v 1 + d x+1 v 2 /l x = q x v 1 + (l x+1 /l x )*(d x+1 /l x+1 )v 2  Vegyük észre, hogy l x+1 /l x = p x és d x+1 /l x+1 = q x+1  Vezessük be az M x = C x + C x+1 +…+ C ω kommutációs számot  Egy x éves személy n éves kockázati éb-nak nettó egyszeri díja: (M x – M x+n )/D x  M x – M x+n megmutatja diszkontált formában, hogy várhatóan hányan halnak meg a biztosítási időszak végéig

Életbiztosítási kalkulus (VI.)  4. példa: Mennyi egy 22 éves férfi 1 éves elérési éb- nak egyszeri nettó díja, ha a technikai kamatláb i és a biztosítás összege 1?  Megoldás: 1*p 22 *v, vagy D 23 /D 22  5. példa: ua., mint 4., de kétéves díja  Megoldás: 1*p 22 *p 23 *v 2, vagy D 24 /D 22  A vegyes éb egyszeri díja = az elérési + kockázati éb egyszeri díja  6. példa: 3. és 5. együtt  Megoldás: 1*q 22 *v + 1*p 22 *q 23 *v 2 + 1*p 22 *p 23 *v 2 = 1*q 22 *v + 1*p 22 *v 2 *(q 23 + p 23 ) = 1*q 22 *v + 1*p 22 *v 2

Életbiztosítási kalkulus (VII.)  Járadékbiztosítás ~ elérési bizt.-ok sorozata  Példa: Mennyi egy 60 éves nő 3 éves időleges előleges járadékának nettó egyszeri díja, ha a járadéktag 1 Ft és a technikai kamatláb i?  A biztosítónak akkor keletkezik kifizetése, ha a biztosított év elején életben van  A szerződő az első évben biztosan kap pénzt, mert az mindjárt a szerződéskötéskor esedékes  A többi évben csak akkor, ha megéli  Tehát a megoldás: 1 + 1*p 60 *v + 1*p 60 *p 61 *v 2  (vagy: (D 60 + D 61 + D 62 )/D 60 )

Életbiztosítási kalkulus (VIII.)  Term fix nettó egyszeri díja: 1*v n  Ez nem éb., mert nincs benne halálozási, elérési kockázat  v n az n éves diszkontfaktor: az n év múlva esedékes 1 Ft ma mennyit ér  Az n éves term fix nettó rendszeres díja?  Most pontosan tudjuk, mennyi lesz a biztosító kifizetése (1*v n )  A bevételei pedig ~ egy n éves előleges időleges járadék, DE: most nem a biztosított kapja a járadéktagot, hanem a szerződő fizeti a biztosítónak  n éves előleges időleges járadék nettó egyszeri díja: (x: jelenlegi életkor, n > 1)

Életbiztosítási kalkulus (IX.)  Felírjuk az ekvivalencia egyenletet:  ahol P az n éves term fix nettó rendszeres díja  P-vel való szorzás: a biztosító bevételei nem 1 Ft-os összegű biztosítás, hanem P Ft-os  Kifejezve P-t adódik a megoldás  Megjegyzés: a többi életbiztosítás rendszeres díjánál is ugyanez az eljárás  1) nettó egyszeri díj  2) ekvivalencia egyenlet, kiadások jelenértéke = nettó egyszeri díj  3) kifejezzük P-t

N YUGDÍJBIZTOSÍTÁS

Értelmezés  Biztosítástanban a nyugdíjbiztosítás (nyb) szigorú értelemben nem felel meg a köznyelvben használt nyb-nak  Biztosítástani értelemben az életjáradék a nyb  Életjáradék esetében pontosan tudjuk, hogy mennyi lesz a járadéktag értéke és hogy mennyit kell befizetnünk érte  Köznyelvi értelemben minden olyan biztosítási formát, amely egy bizonyos életkor elérésével kifizetést ígér a biztosítottaknak nyb-nak nevezünk

Nyugdíjtervek (I.)  A nyb mindig valamilyen nyugdíjterven alapszik  Jogilag kötelező szerződésbe foglalni a nyugdíjtervet  A szerződés lehet  kollektív szerződés, ha munkáltatói tervről van szó  törvény, ha állami, kötelező nyugdíjról van szó  alapszabály nyugdíjpénztárak esetén  A nyugdíjtervek tartalmaznak  Egy ellátási célt: milyen színvonalú szolgáltatást céloz a szervező (explicit v. implicit)  A fedezendő kockázatokat: Elsősorban a nyugdíjkorhatár elérése (öregség) De lehetnek egyéb fedezett kockázatok is (pl. halál (özvegység, árvaság), rokkantság, betegség)

Nyugdíjtervek (II.)  Állami nyugdíjterv  Az ellátást fizetheti a helyi vagy központi kormányzat  Általában valamilyen minimális ellátást céloznak (létminimum)  Akkor működik jól, ha a társadalom legnagyobb részére kiterjed  Általában adóból vagy járulékból finanszírozzák felosztó- kirovó alapon (lehet tőkefedezeti is, de nem jellemző)  Nem állami nyugdíjak  Munkáltató vagy önálló jogi személy (pénztár) nyújtja  Általában az állami nyugdíjak helyettesítésére, kiegészítésére

Felosztó-kirovó rendszer  Más néven: pay as you go (PAYGO)  Finanszírozási típust jelent: az aktuálisan befolyó járulékokból folyósítják a nyugdíjakat  Jellemzően állami nyugdíjterveknél használják  Kereső tevékenységet végzők száma * járulékalapot képző átlagjövedelem = nyugdíjasok száma * átlagnyugdíj  Legnagyobb problémája, hogy érzékeny a befizetők számára, az átlagos befizetés nagyságára, a nyugdíjasok számára  Az 1. pillér Magyarországon is felosztó-kirovó finanszírozású  Életkilátások javulása + a születések csökkenése (öregedő társadalom), alacsony aktivitási ráta

Tőkefedezeti  A befizetések tartalékok formájában a tőkepiacon kerülnek befektetésre  A rendszer hatékonyságának alapja a tőkepiaci eredmény  Jellemzően a magán nyugdíjterveknél használják  A legnagyobb kockázat a tőkepiaci teljesítményben van  Magyarországon (a 2. és) a 3. pillér, azaz (a magán nyugdíjpénztárak) és az önkéntes nyugdíjpénztárak tőkefedezeti típusúak

Szolgáltatással meghatározott  Más néven: defined benefit (DB)  A szolgáltató egy bizonyos ellátási szintet garantál  A befektetési és a hosszú élet (longevity) kockázata a szolgáltatóé – nem minden esetben vállalja mindkét kockázatot  De ha igen, akkor  Az ellátási szint előre rögzített  A nyugdíj csak a jövedelemtől és a munkában töltött időtől függ  Állami ny.rsz.: általában szolgáltatással meghatározott, felosztó- kirovó finanszírozással  Magán nyugdíjtervek: munkáltatói terveknél fordul elő szolgáltatással meghatározott rendszer  Magyarországon az 1. pillér szolgáltatással meghatározott

Hozzájárulással meghatározott  Más néven: defined contribution (DC)  Csak azt rögzítik, hogy a tagoknak mekkora hozzájárulást kell teljesíteniük  A befektetési és a longevity kockázat a biztosítotté  Tőkefedezeti nyugdíjrendszerrel szokták kombinálni  Lehetnek hibrid tervek is  Pl. elsősorban hozzájárulással meghatározott nyugdíjak, de biztosítanak egy minimumot (DC, DB keveréke, vagy másképp DC minimum garanciával)

Névleges hozzájárulással meghatározott (I.)  A hagyományos állami nyugdíjrendszerek (PAYGO–DB) fenntarthatósága világszerte probléma  Egy alternatíva: névleges hozzájárulással meghatározott (notional defined contribution, NDC) rendszer  Felosztó-kirovó finanszírozás, de a tagok a járulékokat egy „névleges” egyéni számlára fizetik be  Névleges, mivel a számla csak számviteli célokat szolgál  Valójában a befizetéseket a jelenlegi nyugdíjasoknak kifizetik  A számlához egy virtuális hozam kapcsolódik – általában valamilyen makroökonómiai változó(k)hoz kötik  Leggyakrabban a gazdaság átlagos bérnövekedési üteme  De gyakran infláció és a GDP növekedési üteme is

Névleges hozzájárulással meghatározott (II.)  Nyugdíjkorhatár elérésekor a nyugdíjat egy annuitásként határozzák meg  Az egyéni számla hozamokkal növelt „egyenlege” és a várható hátralévő élettartam alapján  A nyugdíjkalkulációhoz unisex korspecifikus várható élettartamot használnak (néhány évente frissítik)  A rendszer két nagy előnye a PAYGO–DB-vel szemben:  A biztosítottra ösztönzőleg hat: befizetéseit és annak hozamait nyomon tudja követni az „egyéni számláján”  A demográfiai folyamatokra kevésbé érzékeny: figyelembe veszi az aktuális várható élettartamot

Elemzési mutatók  Függőségi ráták  Fiatalkori: 0-14/15-64 évesek  Időskori: 65+/15-64 évesek  Teljes függőségi ráta: az előző kettő összege  Helyettesítési ráta: első nettó nyugdíj/utolsó nettó kereset  Fedezettség: minden pillanatban képes a kötelezettségeinek teljesítésére  A rendszer nemcsak a mostani nyugdíjak fizetésére képes, hanem a jövőbeli kötelezettségek jelenértékére is megfelelő fedezettséget biztosít  DC rendszerek a konstrukciójukból fakadóan mindig fedezettek  DB rendszer lehet fedezett és fedezetlen is Ha fedezetlen, akkor a szolgáltatás előbb-utóbb vagy csökkeni fog a nyugdíjtervhez képest, vagy a szolgáltató befizetésre kényszerül

VilágbankILOOECDEU Direktíva 1. pillérÁllami, felosztó- kirovó, szolgáltatással meghatározott Egy minimum szegénység ellen, általánosan elérhető, indexált adóbevételekből Állami ellátások Állami szolgáltatással meghatározott, általában adóból 2. pillérMagánkezelésű, kötelező, befizetéssel meghatározott Kötelező, állami, felosztó-kirovó, elfogadható helyettesítési arány Kötelező munkahelyi, önkéntes munkahelyi Magánkezelésű munkáltatói szerződésen alapulva 3. pillérÖnkéntes, egyéni számlás, magánkezelésű Fedezett, befizetéssel meghatározott, magánkezelésű, kiegészítő, munkahelyi vagy egyéni Kötelező egyéni, önkéntes egyéni Egyéni megtakarítási és járadékszolgál- tató formák Pillérek értelmezése

Hazai nyugdíjrendszer  1. pillér: állami ellátás (TB)  kötelező  felosztó-kirovó  DB  fedezett szükséglet: alap  (2. pillér: magánnyugdíjpénztár  kötelező (pályakezdő)  tőkefedezeti  DC  fedezett szükséglet: alap)  3. pillér: önkéntes nyugdíjpénztár (+egyéb)  önkéntes  tőkefedezeti  DC  fedezett szükséglet: magasabb igény

Befizetések és kifizetések közti viszony  A biztosításmatematikai korrektség (ekvivalencia elv) és a szolidaritási elv között trade-off van  Szolidaritás elve: redisztribúció – a nyugdíjrendszerekben jellemzően van egy elosztási funkció  Gazdagoktól a szegények felé (általában van egy minimálnyugdíj)  Férfiaktól a nők felé (lásd unisex várható élettartam használata)  Mo-on, állami nyugdíjnál: degresszió: az egyre magasabb jövedelmek egyre kisebb arányát veszik figyelembe a nyugdíjak meghatározásánál  Egyenértékűség elve: várható értéken annyi anyagi javat és szolgáltatást kapjon az intézményrendszertől, amennyit várható értéken oda befizet (a szolidaritási részen felül)  Átláthatóság elve: legyen minél világosabb, hogy mi mennyibe kerül, illetve a pénzével mi történik  Egyéni tudatosság elve: az egyén hozzájárulásait a hosszú távú igényeinek felmérése alapján, tudatosan tegye meg

Esettanulmány (I.)  Mennyit kell félretennünk havonta, ha magunk szeretnénk biztosítani a teljes nyugdíjunkat?  Most csak az alábbi paraméterek:  m: mennyi idő múlva akarunk „nyugdíjba menni”  n: mennyi időre akarjuk biztosítani a nyugdíjunkat  B: mekkora havi nyugdíjat akarunk Havi fix, reálértelemben, azaz mai árszínvonalon  r: mekkora hozam mellett tudjuk megtakarításainkat befektetni Most: kockázatmentes hozam, reálértelemben  → A: mekkora havi összeget kell félretennünk Havi fix, reálértelemben, tehát mindig inflációval növeljük a megtakarításokat (reméljük, bérünk is legalább inflációval emelkedik...)

Esettanulmány (II.)  Nézzük, hogyan alakul megtakarításaink összértéke (M):  Most, azaz a 0. hónap elején helyezzük el az első összeget  0. hónap vége: M 0 = A  1. hónap vége: M 1 = A*(1+r) + A  2. hónap vége: M 2 = A*(1+r) 2 + A*(1+r) + A  m. hónap vége: M m = A*(1+r) m + A*(1+r) m-1 + … + A  Egy mértani sor, tehát:

Esettanulmány (III.)  Az m. hónap végén kapjuk az utolsó fizetést, ebből helyezzük el az utolsó megtakarítást és élünk meg az m+1. hónapban, utána kezdjük el felélni a megtakarításokat  Feltételezzük, hogy mindig hó elején, egyben felvesszük az adott hónapra vonatkozó összeget – tehát az első felvét az m+1. hónap végén, az utolsó felvét pedig az m+n-1. hónap végén van (ez utóbbit költjük el az m+n. hónap során)  A pénzáramprofilunk tehát az alábbi: … … AAAAAA BB BB 012 m-2 m-1m m+1m+2 m+n m+n-2 m+n-1

Esettanulmány (IV.)  Megtakarításink összértéke tehát a továbbiakban a következőképp alakul:  m+1. hónap vége: M m+1 = M m *(1+r) – B  m+2. hónap vége: M m+2 = M m+1 *(1+r) – B = M m *(1+r) 2 – B*(1+r) – B Hiszen az el nem költött megtakarítások tovább kamatoznak…  m+3. hónap vége: M m+3 = M m+2 *(1+r) – B = M m *(1+r) 3 – B*(1+r) 2 – B*(1+r) – B  m+n-1. hónap vége: M m+n-1 = M m *(1+r) n-1 – B*(1+r) n-2 – B*(1+r) n-3 – … – B

Esettanulmány (V.)  A B-s tagok egy mértani sort alkotnak, tehát:  Mivel csak m+n-ig akarjuk biztosítani a megélhetésünket, így az előtte való periódusig kell, hogy kitartsanak a megtakarításaink, tehát az M m+n-1 = 0 egyenletet kell megoldanunk A-ra (átrendezés és egyszerűsítések után):