Számítógépes algebrai problémák a geodéziában

Az előadások a következő témára: "Számítógépes algebrai problémák a geodéziában"— Előadás másolata:

1 Számítógépes algebrai problémák a geodéziában
Készítette: Zaletnyik Piroska

2 Bevezetés Joseph L. Awange, Erik W. Grafarend: Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics, Springer, 2004 Geodéziai, geoinformatikai feladatok → nem lineáris algebrai problémák megoldása Számítógépes algebrai szoftverek ismerete (Mathematica, Maple, Matlab) Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása → többnyire egyenletek linearizálása, nem zárt képletek, nem egzakt megoldás

3 Nemlineáris, többváltozós egyenletrendszerek megoldása
n=m → zárt formulával megoldható Gyakorlatban közelítő numerikus módszerek a megbízható, egzakt eljárások nehézkessége miatt Linearizálás, iterációk, közelítő kezdeti értékek felvétele Bizonyos esetekben a numerikus módszer instabil, vagy a kezdeti értékek rossz becslése miatt nem konvergál

4 Hagyományos megoldás hiányoságai
Részleges megoldásban használt linearizálás során az egyenlet gyökeinek megtalálásában vétett kis hiba, a számítások kiterjesztésekor a teljes megoldásra, nagymértékben növekedhet A nem lineáris hatásokat figyelmen kívül hagyja Többnyire iteráció szükséges Nagyon fontos a helyes kezdeti érték felvétel

5 Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása zárt képletekkel
Számítógépek teljesítményének növekedése, algebrai szoftverek Egzakt eljárások kidolgozása: Gröbner bázisok, Buchberger algoritmus, multipolinomiális rezultáns, Sylvester rezultáns, Macaluay, Strumfels formulák Alapelv: többváltozós nemlin. egy. rsz.-nél a változók számát egyre lecsökkentik, innen egyszerű gyökkeresés (pl. roots parancs)

6 Túlhatározott egyenletrendszerek
Egzakt megoldások keresése n=m esetében Ill. egzakt megoldás, amikor n>m Több mérés, mint ismeretlen (pl. 7 paraméteres koordináta transzformáció) Megoldás: Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus

7 Gröbner bázisok eredete
Zárt képletek nemlineáris többváltozós egyenletrendszerek megoldására W. Gröbner javasolta 1949-ben, tanítványa Buchberger dolgozta ki részletesen 1965-ben (közben tőlük függetlenül 1964-ben Hironaka is alkalmazta ugyanazt) Buchberger nevezte el Gröbner bázisnak az alkalmazott formulát

8 Gröbner bázisok Nemlineáris, többváltozós egyenletrsz-ek „legnagyobb közös osztói” Lineáris egyenletrendszerek Gauss eliminációs megoldásával analóg eljárás

9 Gröbner bázisok f1=0, f2=0

10 Buchberger algoritmus

11 Buchberger algoritmus

12 Buchberger algoritmus

13 Buchberger algoritmus

14 Buchberger algoritmus

15 Sylvester rezultáns Kétváltozós, homogén polinomok esetében

16 Sylvester rezultáns

17 Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus
Általában több a mérés, mint az ismeretlenek száma Lineáris egyenletrendszer esetében alkalmazható a legkisebb négyzeteken alalpuló, lineáris Gauss-Markov modell Nem lineáris esetben linearizálás szükséges, megfelelő kezdeti értékek felvétele és iteráció

18 Gauss-Jacobi kombinatorikus modell
Nem szükséges linearizálni Nincs szükség iterációra Minden paraméter variancia-kovariancia mátrixa számításba vehető Ki lehet szűrni a durva hibás méréseket n>m esetben alkalmazható

19 Gauss-Jacobi kombinatorikus modell
Pl. ívmetszés (síkban) kettőnél több mért távolsággal

20 Gauss-Jacobi kombinatorikus
Pl. 3 mért távolság → 2 szükséges az egyértelmű megoldáshoz Minden 2-es kombináció (jelen esetben 3) kiválasztása, megoldása pl. Gröbner bázisok segítségével Gauss: megoldás súlyozott számtani közép (súlyok távolságok négyzetétől függenek) Tőle függetlenül Jacobi is kitalálta a módszert (súlyok: determináns négyzete) Gauss-Jacobi: megoldandó kérdés maradt a nemlineáris egyenletrendszerek esete

21 Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

22 Gauss-Jacobi kombimatorilus modell
Lineáris esetben a megoldás megegyezik a lineáris Gauss-Markov modellel Ellenkező esetben a variancia-kovariancia mátrix meghatározható nem lineáris hibaterjedési törvények alkalmazásával Végeredmény a speciális lineáris Gauss-Markov modellel számítható (az egyenletek linearizálására csak a variancia-kovariancia mátrix levezetésekor van szükség)

23 Gauss-Jacobi kombinatorikus megoldás

24 Nem lineáris egyenletrendszerek megoldása

25 GPS helymeghatározás

26 GPS helymeghatározás

27 GPS helymeghatározás

28 GPS helymeghatározás

29 GPS helymeghatározás

30 GPS helymeghatározás

31 GPS helymeghatározás

32 GPS helymeghatározás Nemlineáris hibaterjedési törvények → variancia-kovariancia mátrix → súlyok számítása a megoldáshoz A maradék eltérések nagyságrendileg azonosak mind a lineáris Gauss-Markov modell, mind a kombinatorikus Gauss-Jacobi modell esetében Ha a felhasználó a hagyományos lineáris kiegyenlítést választja, a Gauss-Jacobi megoldás akkor is jól használható a kezdeti értékek jó megválasztásához, a gyors konvergáláshoz

33 Egyéb alkalmazások Hátrametszés 2 és 3 dimenzióban is
Előmetszés 3 dimenzióban is GPS meteorológia (pl. refrakciós szögek meghatározása, CHAMP adatok elemzése) 7 paraméteres koordináta transzformáció Durva hiba szűrés

34 Összefoglaló A bemutatott módszerek új eszközei a nemlineáris egyenletrendszerek kezelésének a geodéziában Egzakt megoldást szolgáltatnak a problémákra. Nincs szükség linearizálásra (csak a kovariancia mátrix meghatározásához), se kezdeti érték felvételére, se iterációkra. Alkalmazásuk a mai számítógépes algebrai szoftverek használatával nem jelent nehézséget.

35 Köszönöm a figyelmet!