Adalékok egy véges összegzési feladathoz

Az előadások a következő témára: "Adalékok egy véges összegzési feladathoz"— Előadás másolata:

1 Adalékok egy véges összegzési feladathoz
Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba

2 „ …egy matematikai feladattal éppoly jól el lehet szórakozni, mint egy keresztrejtvénnyel”
Pólya György

3 Kiinduló probléma Feladat:
Létezik-e 2n + 1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n darab szám összegével? Feladat:

4 A feladat megoldása Legyen: Állítás: Innen:
Tehát a keresett 2n+1 darab szám, bármely esetén:

5 Másik feladat Általánosan: Feladat:
Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám összegével? Feladat:

6 Szemléletes bizonyítás
Állítás:

7 Az alapfeladat általánosítása
Adjunk meg végtelen sok olyan n-et, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám összegével! Legyenek , ahol Állítás: Legyen diofantikus egyenlet

8 A diofantikus egyenlet
Az diofantikus egyenlet Az x és az y is páratlan szám, azaz elegendő belátnunk, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív páratlan egész számok halmazán. a, Ha u és v páratlan számok, akkor 3u+4v és 2u+3v is páratlan b, Ha (u;v) számpár megoldás, akkor megoldás a (3u+4v ; 2u+3v) is, mivel

9 Megoldások A (7;5) megoldása az egyenletnek, melyből további megoldások származtathatók: x 7 41 239 1393 ... y 5 29 169 985 k 3 20 119 696 n 2 14 84 492 azaz

10 Feladat négyzetek összegére
Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n darab szám négyzetösszegével? Legyen: Állítás:

11 Megoldás négyzetek összegére
Tehát a keresett 2n+1 szám bármely esetén: Általánosan:

12 Az első néhány megoldás
Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n-1 darab szám négyzetösszegével? Feladat:

13 Feladat általánosítása I.
Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám négyzetének összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám négyzetének összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek: Az ismert összegképletek alapján kapjuk, hogy

14 Feladat általánosítása II.
Átrendezve: Legyen y=2k+1 és x=2n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk.

15 Kapcsolat a háromszögszámokkal
1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 120; 136; 153; 171; 190; 210;…

16 Háromszögszámok összege
A háromszögszámokat tanulmányozva: Jelölje tn az n-edik háromszögszámot: Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám összegével? Feladat:

17 Háromszögszámok összege I.
Legyen a 2n darab egymást követő háromszögszám: Állítás: Mivel

18 Háromszögszámok összege II.
A műveletek elvégzése, átrendezés és az összevonások után: Megfelelő csoportosítás után: Vagyis A keresett háromszögszámok: Általánosan:

19 Általánosítás háromszögszámokra I.
Léteznek-e olyan n-ek, amelyre teljesül, hogy az első n darab háromszögszám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni háromszögszám összegével? Legyenek n, k egész számok úgy, hogy Teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek:

20 Háromszögszámok összege
Állítás: Szemléletes bizonyítás

21 Általánosítás háromszögszámokra II.
Felhasználva, hogy kapjuk Átrendezve: Legyen y=k+1 és x=n+1. Így az diofantikus egyenlethez jutunk.

22 További feladatok Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n (n pozitív egész) darab egymás utáni háromszögszám úgy, hogy az első n+1 darab háromszögszám négyzetének összege egyenlő az utolsó n-1 darab háromszögszám négyzetének összegével?

23 „ A nagy felfedezések nagy feladatokat oldanak meg, de nincs olyan feladat, amelynek megoldásához ne volna szükség valami kis felfedezésre.” Pólya György

24 Köszönöm a figyelmet !