Business Mathematics www.opkutcuccok.atw.hu. A legrövidebb út.

Az előadások a következő témára: "Business Mathematics www.opkutcuccok.atw.hu. A legrövidebb út."— Előadás másolata:

1 Business Mathematics www.opkutcuccok.atw.hu

2 A legrövidebb út

3 A legrövidebb út probléma A probléma ◦ Hogyan lehet egy adott csúcsból egy adott csúcsba a lehető legrövidebb úton eljutni? Feltételek ◦ A hálózat minden éle lehet irányított vagy irányítatlan ◦ Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) hossza

4 Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

5 Dijkstra algoritmusa Új ideiglenes címkét számítunk azokra a csúcsokra, amelyekbe az új állandó címkéjű csúcsból megy él. Az új ideiglenes címkét úgy állítjuk elő, hogy az új állandó címkéhez hozzáadjuk az ide vezető utat, és megvizsgáljuk, hogy ez kisebb-e a korábbi ideiglenes címkénél. Ha igen, akkor lecseréljük a korábbi ideiglenes címkét.

6 Dijkstra algoritmusa Miután minden csúcs állandó címkét kapott meghatározzuk a legrövidebb utat. Ezt visszafelé haladva tesszük úgy, hogy minden esetben megvizsgáljuk, hogy az adott él hossza megegyezik-e az állandó címkék különbségével. Ha igen, akkor az az él a legrövidebb út egyik éle.

7 Feladat – korábbi ZH Adja meg az 1-es csúcsból a többi csúcsba vezető legrövidebb utakat! 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8

8 Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

9 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0

10 Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

11 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 ∞ ∞

12 Dijkstra algoritmusa Az első csúcsot ellátjuk az állandó 0 címkével Minden olyan csúcsot amelybe az első csúcsból megy él, ideiglenesen megcímkézzük az (1,i) él hosszával, minden más csúcs a ∞ címkét kapja Kiválasztjuk a legkisebb ideiglenes címkével rendelkező csúcsot (ha több van, akkor az egyiket), és címkéjét állandónak minősítjük

13 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 ∞ ∞

14 Dijkstra algoritmusa Új ideiglenes címkét számítunk azokra a csúcsokra, amelyekbe az új állandó címkéjű csúcsból megy él. Az új ideiglenes címkét úgy állítjuk elő, hogy az új állandó címkéhez hozzáadjuk az ide vezető utat, és megvizsgáljuk, hogy ez kisebb-e a korábbi ideiglenes címkénél. Ha igen, akkor lecseréljük a korábbi ideiglenes címkét.

15 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 18 20

16 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 18 20

17 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 20

18 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 20

19 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19

20 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19

21 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19

22 Dijkstra algoritmusa Miután minden csúcs állandó címkét kapott meghatározzuk a legrövidebb utat. Ezt visszafelé haladva tesszük úgy, hogy minden esetben megvizsgáljuk, hogy az adott él hossza megegyezik-e az állandó címkék különbségével. Ha igen, akkor az az él a legrövidebb út egyik éle.

23 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19 Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út

24 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19 Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út

25 Feladat – korábbi ZH 4 6 3 5 1 2 12 6 14 13 9 11 10 7 8 0 6 11 17 19 Példa: a 6-os csúcsba vezető legrövidebb út

26 Feladat – korábbi ZH CsúcsA legrövidebb útHossza 21-210 31-311 41-3-419 51-56 61-2-617

27 Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 4 6 35 1 2 4 3 3 3 2 2 2

28 Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 4 6 35 1 2 4 3 3 3 2 2 2

29 Feladat – Winston 7.2 Adja meg az 1-es csúcsból a 6-os csúcsba vezető legrövidebb utat! 4 6 35 1 2 4 3 3 3 2 2 2

30 Maximális folyam, minimális vágás

31 Maximális folyam

32 Maximális folyam probléma A probléma ◦ Hogyan lehet egy adott pontból egy adott pontba a lehető legnagyobb mennyiséget eljuttatni? Feltételek ◦ A hálózat minden éle irányított ◦ Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása

33 Maximális folyam probléma Fogalmak ◦ Forrás (Source): a kiindulási pont ◦ Nyelő (Sink): a végpont ◦ Előremenő él ◦ Hátramenő él Folyam-megőrzési megkötés ◦ Egy adott pontba ami befolyik az ki is fog folyni (kivéve a forrást és a nyelőt)

34 Élek tulajdonságai Az (i,j) élen átmenő folyam kisebb az él kapacitásánál. Ebben az esetben az (i,j) élen átmenő folyam növelhető. Jelölje I az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát. Az (i,j) élen átmenő folyam pozitív. Ebben az esetben az (i,j) élen átmenő folyam csökkenthető. Jelölje R az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát.

35 A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

36 A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: ◦ Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

37 A Ford-Fulkerson algoritmus ◦ Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük az előremenő élek bővíthetőségének minimumát és a hátramenő élek csökkenthetőségének minimumát. Válasszuk ezek közül a kisebbet, és bővítsünk ennyivel minden előremenő élt, valamint csökkentsünk ennyivel minden hátramenő élt. Ismételjük az algoritmust. Ha a nyelőt nem tudjuk megcímkézni, akkor a jelenlegi folyam optimális.

38 Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

39 A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

40 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

41 A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x,y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x,y) élt. (Előremenő él) ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y,x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y,x) élt. (Hátramenő él)

42 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

43 A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: ◦ Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

44 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

45 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

46 A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: ◦ Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

47 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (0) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (0) 6 (0) 5 (0) 1

48 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

49 A Ford-Fulkerson algoritmus ◦ Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük az előremenő élek bővíthetőségének minimumát és a hátramenő élek csökkenthetőségének minimumát. Válasszuk ezek közül a kisebbet, és bővítsünk ennyivel minden előremenő élt, valamint csökkentsünk ennyivel minden hátramenő élt. Ismételjük az algoritmust. Ha a nyelőt nem tudjuk megcímkézni, akkor a jelenlegi folyam optimális.

50 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

51 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

52 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

53 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

54 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

55 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

56 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (0) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (0) 1 (0) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

57 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

58 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

59 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

60 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

61 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

62 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

63 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

64 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

65 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

66 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (1) 5 NY F (0) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4(1) 1 (1) 9 (5) 6 (5) 5 (0) 1

67 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

68 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

69 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

70 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

71 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

72 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

73 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (5) 7 (0) 4 (1) 4 (0) 4(1) 1 (1) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

74 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

75 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

76 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

77 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

78 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

79 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

80 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (2) 5 NY F (1) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (3) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

81 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

82 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

83 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

84 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

85 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

86 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

87 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

88 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

89 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (0) 4 (1) 4 (2) 4(1) 1 (5) 9 (6) 6 (5) 5 (0) 1

90 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

91 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

92 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

93 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

94 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

95 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

96 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

97 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (2) 4 (1) 4 (3) 4 (4) 4(1) 1 (7) 9 (6) 6 (3) 5 (0) 1

98 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (3) 4 (1) 4 (4) 4 (1) 1 (8) 9 (6) 6 (3) 5 (1) 1

99 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (3) 4 (1) 4 (4) 4 (1) 1 (8) 9 (6) 6 (3) 5 (1) 1 Adja meg a maximális folyamot! 14

100 Sorolja fel az összes olyan élt, amelyre igaz, hogy az adott él kapacitását növelve, ugyanakkor a többi él kapacitását változatlanul hagyva, a maximális folyam értéke növekszik! Feladat – korábbi ZH

101 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (3) 4 (1) 4 (4) 4 (1) 1 (8) 9 (6) 6 (3) 5 (1) 1 (1,4)

102 Minimális vágás

103 A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a nyelőt, de nem tartalmazza a forrást. Ekkor a hálózat olyan (i,j) éleinek halmaza, amelyek i kezdőpontja nem V’- beli, a j végpontja viszont V’-beli egy vágás a hálózatban. Egy vágás kapacitása alatt a vágást alkotó élek kapacitásainak összegét értjük.

104 Fontos tétel A maximális folyam értéke = A minimális vágás értéke

105 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (3) 4 (1) 4 (4) 4 (1) 1 (8) 9 (6) 6 (3) 5 (1) 1 Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!)

106 A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a nyelőt, de nem tartalmazza a forrást. Ekkor a hálózat olyan (i,j) éleinek halmaza, amelyek i kezdőpontja nem V’- beli, a j végpontja viszont V’-beli egy vágás a hálózatban.

107 Feladat – korábbi ZH 4 35 1 2 (4) 5 NY F (3) 3 (7) 7 (3) 4 (1) 4 (4) 4 (1) 1 (8) 9 (6) 6 (3) 5 (1) 1 Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!)

108 Feladat – Winston 7.3 3 1 2NYF (0) 2 Adja meg a maximális folyamot! Adjon meg egy minimális vágást! (0) 2 (0) 8 (0) 3 (0) 2 (0) 7 (0) 5