Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
A határérték Digitális tananyag
2
Határérték A határérték fogalma A határértékek kiszámítása
Határértékek a végtelenben Tóth István – Műszaki Iskola Ada
3
A határérték Az f(x) határértéke, ha x tart az a számhoz egyenlő az L számmal, ha f(x) értéke L-hez közelít, miközben x közelít a-hoz. a L Tóth István – Műszaki Iskola Ada
4
1. példa Készítsünk táblázatot! x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1
3,5 2x 5 5,8 5,98 5,998 6,002 6,02 6,2 7 6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada
5
2. példa A kifejezés nem értelmezett x=4-re! x 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5 f(x) 1 A függvény határértékét vizsgálhatjuk olyan x0 pontban is, ahol a függvény nem értelmezett (de a pont környezetében igen). Tóth István – Műszaki Iskola Ada
6
Feladatok Táblázat segítségével becsüld meg a határértékeket:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
7
A „táblázatos” módszer hiányossága
x f(x) ±1 0,049876 ±0,5 0,049969 ±0,1 0,049999 ±0,01 0,050000 ±0,0005 0,080000 ±0,0001 0,000000 ±0,00001 ±0,000001 Tóth István – Műszaki Iskola Ada
8
Egyszerűbb határértékek
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
9
A határérték szabályai
Ha léteznek a következő határértékek: és Tóth István – Műszaki Iskola Ada
10
A szabályok alkalmazása
1. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
11
A szabályok alkalmazása
2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
12
Behelyettesítés Vegyük észre: sok esetben elegendő, ha a közelítés határát behelyettesítjük a függvény képletébe! 1. 2. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
13
Ellenpélda A hányadosra vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy:
Tehát a számláló és a nevező is 0-val egyenlő. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
14
Az ellenpélda megoldása
Az f függvényt olyan g függvénnyel helyettesítjük, amely a közelítés határát kivéve mindenütt egyenlő az f függvénnyel. az f függvény a helyettesítő g függvény Tóth István – Műszaki Iskola Ada
15
Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
16
Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni
Ismét egy példa Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni Tóth István – Műszaki Iskola Ada
17
Gyakorló feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
18
Nem minden határérték létezik...
x →2 2 ←x x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) -20 -200 -2000 -20000 20000 2000 200 20 f(x) →-∞ ∞ ←f(x) Tóth István – Műszaki Iskola Ada
19
Bal és jobb oldali határérték
A bal oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei bal oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
20
Bal és jobb oldali határérték
A jobb oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei jobb oldalról tartanak a közelítés határához. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
21
Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada
22
Gyakorlás Keresd meg a határértékeket:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
23
A határérték létezése A határérték létezik, ha léteznek a és
határértékek és ezek egyenlő valós számok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada
24
A határérték ε-δ definíciója
értéke az L valós szám, ha minden ε pozitív valós számhoz található olyan δ pozitív valós szám, hogy az egyenlőtlenségből következzék Tóth István – Műszaki Iskola Ada
25
Példa Igazoljuk: Tegyük fel, hogy ε egy adott pozitív szám. Ekkor:
tehát ε értékére 3·δ értéket kell vennünk, azaz Tóth István – Műszaki Iskola Ada
26
Néhány fontosabb határérték
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
27
Példa 1 Tóth István – Műszaki Iskola Ada
28
Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada
29
Néhány fontosabb határérték
Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
30
Néhány fontosabb határérték
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
31
Határértékek a végtelenben
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
32
Határértékek a végtelenben
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
33
Példa Feladatok: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
34
Egyszerűbben Például: Tóth István – Műszaki Iskola Ada
35
További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
36
További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
37
További példák, feladatok
Tóth István – Műszaki Iskola Ada
38
Fontos határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada
39
Alkalmazás A határérték-számítás az elkövetkező anyagrészek alapja.
A továbbiakban az alapfogalmakat a határérték segítségével vezetjük be. Folytonosság Aszimptoták Differenciálszámítás Integrálszámítás Tóth István – Műszaki Iskola Ada
Hasonló előadás
