Összegek, területek, térfogatok

Az előadások a következő témára: "Összegek, területek, térfogatok"— Előadás másolata:

1 Összegek, területek, térfogatok
Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok

2 Területszámítás Görbe vonal által határolt terület kiszámítása.
A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. Görbe vonalú trapéz.

3 Görbe vonalú trapéz A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük. Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét. 3

4 A görbe vonalú trapéz területe
Téglalapokkal közelítjük a keresett területet. Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével. Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk). ΔTk

5 A görbe vonalú trapéz területe
Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.

6 Példa Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon.
Osztópontok: xk Δxk f(xk) f(xk)·Δxk 0,25 0,0625 0,015625 0,5 0,75 0,5625 0,140625 1 -

7 A határozott integrál Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.

8 A határozott integrál jele
Felső határ Integrálási változó Integráljel Alsó határ Integrandus

9 Az integrálási változó
A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk helyett vagy

10 Geometriai értelmezés
Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.

11 Példa Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

12 Példa Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

13 A határozott integrál tulajdonságai
Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:

14 A határozott integrál tulajdonságai
Az összeg, különbség tagonként integrálható: +

15 Példa

16 A határozott integrál tulajdonságai
Az integrálás határait feloszthatjuk:

17 Példa

18 A határozott integrál tulajdonságai
Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:

19 A határozott integrál tulajdonságai
Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.

20 Példa

21 A határozott integrál tulajdonságai
Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalább egy olyan x0 az intervallumban, hogy:

22 A határozott integrál tulajdonságai
Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:

23 Példa Igazoljuk az egyenlőtlenséget: y=cosx A [0,1] intervallumon

24 A Newton-Leibniz tétel
Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:

25 Példa

26 Feladatok

27 Helyettesítés a határozott integrálnál
Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!

28 Parciális integrálás

29 Területszámítás integrállal
Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

30 Területszámítás integrállal
Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.

31 Területszámítás integrállal
Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

32 Területszámítás integrállal
Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát: A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása. Az integrálok kiszámítása.

33 Területszámítás integrállal
A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok: A grafikon felrajzolása

34 Területszámítás integrállal
Az integrálok kiszámítása: Felső határoló görbe Alsó határoló görbe

35 A forgástestek térfogata
Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.

36 A forgástestek térfogata

37 A gömb térfogata

38 A görbe ívhossza A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk. A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük

39 A görbe ívhossza A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):

40 A görbe ívhossza

41 A kör kerülete A félkörív hossza:

42 Vége!!!