A függvény deriváltja Digitális tananyag.

Az előadások a következő témára: "A függvény deriváltja Digitális tananyag."— Előadás másolata:

1 A függvény deriváltja Digitális tananyag

2 A pillanatnyi sebesség
A függvény deriváltja

3 Az átlagsebesség A test átlagsebessége egyenlő a megtett út és a mozgás közben eltelt idő hányadosával. t1 t2 s1 s2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 A pillanatnyi sebesség
A test pillanatnyi sebessége megmutatja az adott test sebességét a t0 időpontban. t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Δt -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 s 0,05 0,20 0,44 0,78 1,23 1,76 2,40 3,14 3,97 Δs -1,18 -1,03 -0,78 -0,44 0,54 1,18 1,91 2,74 v 2,95 3,43 3,90 4,40 ? 5,40 5,90 6,37 6,85 4,90 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 Fizikai mennyiségek Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény
Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 A derivált definíciója
A függvény deriváltja

7 A függvény növekménye Adott egy f függvény.
Ha az x változó értéke Δx-szel változik, akkor a függvény értéke is változik f(x)-ről f(x+Δx)-re. A függvény értékének változása (a függvény növekménye): Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 A derivált Az f(x) függvény x0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. A differenciahányados Δx→0 feltétellel képzett határértéke, az f(x) függvény x0 pontbeli differenciálhányadosa vagy deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

9 Differenciálható függvények
Ha a függvénynek az x0 pontban van deriváltja akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x0 pontban differenciálható vagy deriválható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 A derivált jelölése Ugyanazt a fogalmat többféleképp is jelölhetjük:
Ha a független változó x helyett t (pl. az idő) akkor a derivált jele lehet: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 Fizikai mennyiségek Sebesség Szögsebesség Gyorsulás Teljesítmény
Pillanatnyi erő Forgatónyomaték Áramerősség Kapacitás Tóth István – Műszaki Iskola Ada

12 Példa Keressük meg az f(x)=x2+2x-1 függvény deriváltját az x0=1 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

13 Feladatok Keressük meg az adott függvények deriváltját az x0 pontban.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

14 A deriváltfüggvény Ha az f függvény deriváltját megkeressük minden olyan pontban ahol az létezik, a függvény deriváltfüggvényét (röviden: deriváltját) kapjuk. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

15 Az állandó deriváltja C - állandó Példák:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

16 A hatványfüggvény deriváltja
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

17 A hatványfüggvény deriváltja
Példák: Példák: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

18 A hatványfüggvény deriváltja
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

19 Az exponenciális függvény deriváltja
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

20 A logaritmusfüggvény deriváltja
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

21 A sinusfüggvény deriváltja
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

22 A deriválás szabályai A függvény deriváltja

23 A deriválás szabályai I.
C - állandó Tóth István – Műszaki Iskola Ada

24 Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

25 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

26 A deriválás szabályai II.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

27 Példák és feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

28 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

29 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

30 A deriválás szabályai III.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

31 Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

32 A deriválás szabályai IV.
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

33 Példák, feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

34 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

35 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

36 Az összetett függvény deriváltja
A függvény deriváltja

37 Az összetett függvény deriváltja
Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

38 Az összetett függvény deriváltja
Összetett függvények: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

39 Az összetett függvény deriváltja
Láncszabály: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

40 Példa Tóth István – Műszaki Iskola Ada

41 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

42 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

43 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

44 Az inverz függvény deriváltja
A bal oldala összetett függvény: Mindkét oldalát deriváljuk: A láncszabály szerint: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

45 Példák Tóth István – Műszaki Iskola Ada

46 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

47 Magasabb rendű deriváltak
A függvény deriváltja

48 A második derivált Az y'=f'(x) derivált függvény is egy valós függvény, amely adott feltételek mellett szintén deriválható. A derivált függvény deriváltját a függvény második deriváltjának nevezzük. Jelölés: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

49 A gyorsulás A pillanatnyi gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja: A pillanatnyi sebesség az út idő szerinti deriváltja: Tehát a pillanatnyi gyorsulás az út idő szerinti második deriváltja: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

50 Feladatok Keressük meg a függvények második deriváltját:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

51 Magasabb rendű deriváltak
Harmadik derivált: a második derivált deriváltja Római számok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

52 Feladatok Keresd meg a függvények összes deriváltját:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada