I.7: „Világos az is, hogy mindegyik alakzatban, amikor nincs szillogizmus, és mindkettő állító, avagy tagadó, akkor egyáltalán semmi nem lesz szükségszerű.

Az előadások a következő témára: "I.7: „Világos az is, hogy mindegyik alakzatban, amikor nincs szillogizmus, és mindkettő állító, avagy tagadó, akkor egyáltalán semmi nem lesz szükségszerű."— Előadás másolata:

1 I.7: „Világos az is, hogy mindegyik alakzatban, amikor nincs szillogizmus, és mindkettő állító, avagy tagadó, akkor egyáltalán semmi nem lesz szükségszerű. Amikor viszont az egyik állító, a másik tagadó és a tagadó egyetemes, akkor mindig van olyan szillogizmus, hogy a szélsők közül a kisebbik vonatkozik a nagyobbra.” Ez a hely támasztja leginkább alá, hogy: az ‚alakzat’ kifejezés a terminusok (és ebből a premisszák) elrendezésére utal; nincs olyan szabály, hogy feltétlenül a maiornak kell a konklúzió állítmányának és a minornak az alanyának lennie (habár Arisztotelész megelőzőleg végig így dolgozott); ennek megfelelően nincsen negyedik alakzat, hanem az ide sorolt következtetések Arisztotelész számára egy I. alakzatba tartozó premisszapárból levont további következtetések; ugyanúgy újabb következtetésnek (szillogizmusnak) számítanak a II. és a III. alakzatban a megfordítással nyert következtetések, de ezek az alakzaton belül bizonyíthatók (egyszerűen premisszacserével).

2 „Például ha A minden, vagy némely B-re vonatkozik, B pedig egy C-re sem. Ha megfordítjuk a premisszákat, akkor C szükségképpen nem vonatkozik némely A-ra.” Első eset: A minden B-re, B egy C-re sem vonatkozik. Mindkét premisszát (a nagyobbat részlegesen) megfordítva (és a premisszákat is megcserélve) kapjuk a következő szillogizmust: Egy B sem C és némely A B, tehát némely A nem C. Egy Ferio szillogizmust kaptunk, ezzel igazoltuk, hogy az eredeti premisszák is ezt a következményt adják. A modus hagyományos neve: Fesapo. Tehát a tagadó premisszát írták előre, az volt a maior. Így egy negyedik alakzatba tartozó premisszapárban a középső terminus a nagyobb premisszában állítmány és a kisebben alany. Viszont megmarad az, hogy a nagyobb terminus a konklúzió állítmánya és a kisebb az alanya. Így persze valóban négy alakzat van. Hasonlóan kapjuk a másik esetet, Fresison-t is. A negyedik alakzat további három modusát (Bamalip, Calemes, Dimatis) Arisztotelész az An. Pr. II. 1-ben említi.

3 „Továbbá minden szillogizmust vissza lehet vezetni az első alakzat egyetemes szillogizmusaira. Világos ugyanis, hogy a második alakzatban levő szillogizmusok ezek által válnak tökéletessé… az első alakzatban lévők viszont, mármint a részlegesek, tökéletesek lesznek ugyan önmagukban is, de a második alakzat révén is bebizonyíthatók lehetetlenségre való visszavezetéssel. Például ha A minden B-re vonatkozik, B pedig némely C-re, az, hogy A némely C-re vonatkozik. Mert ha egyre sem, viszont minden B-re, akkor B egyetlen C-re sem fog vonatkozni; ezt ugyanis tudjuk a második alakzatból.” Darii-t most Cesare segítségével bizonyította be, amit viszont annak idején Celarent-ből bizonyított. Ferio-t pedig Camestres alapján bizonyítja, ami szintén Celarent-re vezethető vissza. Tehát végeredményben Barbará-ra és Celarent-re vissza lett vezetve az összes szillogizmus.

4 Modern rekonstrukciók Jan Łukasiewicz 1950 (Aristotle’s Syllogistic …): A szillogisztika terminusok közötti négy reláció (a, e, i, o) axiomatikus elmélete. A kifejezhetőség miatt elég kettőt alapfogalomnak tekinteni (a, i). Keretelmélet a (hallgatólagosan elfogadott) kijelentéslogika. A szillogisztika tételei: „(A  B)  C” alakú logikai igazságok. Szigorúan s szöveg alapján, Arisztotelész tényleg így fogalmaz. Négy axiómára épít: két modus (de nem Barbara és Celarent), továbbá aAA és iAA (terminusok exisztenciális nyomatéka). A megfordítási szabályok(nak megfelelő kondicionálisok) levezethetőek az axiómákból. A teljesség bizonyítható, három lényegesen különböző adekvát modell van (természetes, Leibniz, Euler). Lehetséges olyan (nem triviális) axiomatikus bővítés, amelyben a három terminus-két premissza-konklúzió alakú, de nem helyes sémák érvénytelensége bizonyítható; de az egész rendszerhez nincs teljes cáfolási eljárás (Słupecki).

5 Ellenvetések: Nem igazi logika, hanem egy szakelmélet, amely a logikáját kívülről veszi. A nyelv súlyosan túlgenerál (látszik az eldönthetőségi problémákból). Nagyon nem arisztotelészi a két egyszerű axióma. Más megoldás: John Corcoran (1972-től több cikkben) Természetes levezetési rendszer: értelmezzük a ‚ha-akkor’t a szövegben metanyelvi és nem tárgynyelvi kondicionálisnak, az ‚és’-t pedig felsorolásként. Alapsémáink: Barbara, Celarent és a három megfordítási szabály. Metaszabályok: annak rögzítése, hogy minek mi az ellentmondó párja, metszetszabály (következmény következménye az eredeti premisszáknak is következménye), és azindirekt bizonyítások modellálására egy modus tollens-szerű szabály. Minden úgy működik, mint Arisztotelésznél.

6 Modális szillogizmusokról Arisztotelész szerint, ha egy érvényes egyszerű modus mindkét premisszáját szükségszerűre erősítjük, akkor a szükségszerűvé erősített konklúzió is következik. Ha csak megfordítást alkalmazunk, a bizonyítások ugyanúgy mennek. Erről láttuk, hogy de dicto rendben van,de re problematikus. Az indirekt bizonyítások viszont nem vihetők át, mert egy szükségszerű kijelentés ellentmondó párja csak lehetséges. Ezért annak a két modusnak, amelyet csak indirekt úton tudott bizonyítani, a szükségszerűsített párját kiemeléssel bizonyítja. Baroco-ból ez lesz: Minden M szükségszerűen N, és némely X szükségszerűen nem N. Legyenek O-k azok az X-ek, amelyek szükségszerűen nem N-ek- Camestres szükségszerűsített párja szerint minden O szükségszerűen nem M, és ezek azok az X-ek, amelyek szükségszerűen nem M-ek. Itt a kiemelés egy részterminus kiemelése volt, viszont de dicto ez rendben van.

7 I. 9. „Időnként akkor is szükségszerű a szillogizmus, ha a premisszák közül csak az egyik szükségszerű; de nem bármelyik, hanem amikor a nagyobbal kapcsolatos az. Pl. ha úgy vesszük, hogy A a B-re szükségszerűen vonatkozik vagy nem vonatkozik, B viszon a C-re csak egyszerűen vonatkozik. Ha így vesszük fel a premisszákat, akkor A szükségszerűen vonatkozik vagy nem vonatkozik C-re. Mivel ugyanis a B-k mindegyikére szükségszerűen vonatkozik vagy nem vonatkozik, a C pedig a B-k közül valami, világos, hogy a C is szükségszerűen lesz a kettőből valamelyik [ti. A, ill. nem A].” Barbara és Celarent szükségszerű felső premisszával erősített változata. Arisztotelész szerint ekkor a konklúziót is szükségszerűvé erősíthetjük. A gondolatmenet elég explicite de re megfontolásra utal. A kézenfekvő de dicto értelmezésben a modus elég nyilvánvalóan nem érvényes. Más értelmezések is lehetségesek, pl. Łukasiewicz értelmezése.