Binomiális eloszlás.

Az előadások a következő témára: "Binomiális eloszlás."— Előadás másolata:

1 Binomiális eloszlás

2 Bevezető példa Egy speciális kockával, amelynek öt 1-es és egy 6-os oldala van, egymás után négyszer dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy egyáltalán nem dobunk 6-ost? És annak, hogy egyszer, kétszer, háromszor, vagy mind a négyszer hatost dobunk?

3 Írjuk fel a lehetséges dobássorozatokat!

4 Tanulságok: a dobássorozatok nem egyformán valószínűek = nem klasszikus valószínűségi mező a dobássorozat valószínűsége attól függ, hány hatos dobás van benne, de nem függ a hatosok és egyesek sorrendjétől a különböző számú hatosdobásokhoz, különböző számú sorozat tartozik P(k db hatost dobok)=ilyen sorozatok száma * egy ilyen sorozat valószínűsége

5 Általánosítsunk! Van egy kísérlet, amelynek egyik lehetséges kimenetele az A esemény. Legyen P(A)=p Végezzük el egymás után a kísérletet n-szer, és számoljuk meg hányszor következik be a kedvező esemény, azaz A! Mi a valószínűsége, hogy éppen k-szor?

6 Az olyan kísérletsorozat valószínűsége, amelyben A esemény k-szor következik be:
Hány ilyen sorozat van? Más szavakkal: egy n elemű sorozatban hányféle képpen tudunk k helyett az A eseménynek kiválasztani?

7 Egy kis kombinatorika I.
n darab számozott golyónk van. Hány féleképpen tudjuk őket sorbarakni?

8 Egy kis kombinatorika II.
Az első helyre n féleképpen választhatunk, a másodikra n-1 féleképpen, stb, az utolsóra már csak 1 féleképpen. Vagyis n*(n-1)*...*2*1=n! féle sorrend létezik. n elem permutációinak száma: n!

9 Egy kis kombinatorika III.
a golyók nem csak számozottak, de színesek is. Van k darab kék, és n-k darab piros. Hány féleképpen tudjuk őket sorbarakni ha csak a szín számít? Az ilyen sorozatokat az n elem k-adosztályú kombinációinak nevezzük.

10 Egy kis kombinatorika IV.
A kombinaciók száma kisebb, mint a permutációké Minden kombináción belül létezik k! olyan sorozat, ahol a kék golyókon belül a számok sorrendje más Minden ilyen sorozathoz tartozik (n-k)! olyan sorozat, ahol a piros golyók sorrendje más

11 Egy kis kombinatorika V.
Tehát minden kombinációhoz tartozik k!(n-k)! különböző permutáció Ezért a kombinációk száma:

12 Vissza a binomiális eloszláshoz
Egy n elemű sorozatban hányféle képpen tudunk k helyett az A eseménynek kiválasztani? féleképpen

13 Definíció Y=B(n,p), vagyis (n,p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, ha:

14 Mikor kapunk binomiális eloszlást?
Ha egy kísérletet, amelyben a kedvező kimenetel valószínűsége állandó, egymástól függetlenül többször elvégzünk, a kedvező kimenetelek száma binomiális eloszlású Urnamodell: egy urnában piros és kék golyók vannak, többször egymás után húzunk, de húzás után visszatesszük a kihúzott golyót és megkeverjük az urnát. A kihúzott kék golyók száma binomiális eloszlású. Mondjatok biológiai példákat a binomiális eloszlásra!

15 Binomiális eloszlás tulajdonságai
Várhatóérték E=np Variancia D2=np(1-p)

16 Feladatok Órai feladat: Készítsetek binomiális eloszlású random adatsorokat különböző paraméterekkel, majd ábrázoljátok ugyanazt az adatsort histogramon és box-plot-on! Házi feladat: Számoljátok ki hogy egy 10 gyermekes családban mekkora valószínűséggel születik 0, 1, 2, lány, ha a lányok születésének valószínűsége 0.5!