Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
KiadtaDomokos Jónás Megváltozta több, mint 10 éve
1
Makai M.: Transzport71 A hidrodinamikai egyenletek korrekciója Statisztikus dinamika A tér diszkretizált a fázistér: a fázistér egy pontja: statisztikus elmélet, ezért a rendszer nem egy pont, hanem egy p valószínűség, p( ) megadja az állapot valószínűségét gyors folyamat: dinamika (ütközések, nemlineáris) lassú folyamat (véletlen folyamat T): megmaradás: n, E, I (impulzus) 10 -8 cm x értékkészlete:
2
Makai M.: Transzport72 A modell állapottere a p valószínűségeknek egy halmaza -n. Ha a rendszer állapota p, akkor a makrováltozók az alábbi lassú változók középértékei: energia részecskeszám impulzus
3
Makai M.: Transzport73 A model információs sokasága -nak az alábbi M részhalmaza: Amennyiben az {E x }, {N x }, {I x } középértékek halmaza adott, M-ben csak egy állapot van, amely visszaadja ezeket a közép- értékeket. Ezért a középértékeket koordinátaként lehet használ- ni az M halmaz pontjainak leírására. A középértékeket x -el jelöljük és keverék koordinátáknak nevezzük. M egy pontjának megadásához ismerni kell a { x, x, x }halmazokat is. Ezeket az M halmaz kanonikus koordinátáinak nevezzük. A fenti valószínűségeket a maximális információtartalomból hatá- rozzuk meg, ezért az ütközéseket leíró Q mátrix nem csökkentheti az entrópiát.
4
Makai M.: Transzport74 A sebességmező I x -hez kapcsolódik: A kanonikus koordinátákkal a sebesség kifejezhető: Ez az alábbi módon látható be (1D eset). Mivel és
5
Makai M.: Transzport75 Elvégezve a deriválást: Kémiai potenciálsebességmező hőmérséklet Az energia várhatóértéke: Ebben nincsen kis mennyiség és nagy
6
Makai M.: Transzport76 Entrópia és nyomás egyensúlyban Termosztatika szerint nyomás ebből Ez a nyomás nem hidrodinamikai nyomás, termodinamikai nyomás. 3D-ben
7
Makai M.: Transzport77 Ez már egy állapotegyenlet, amit a mikroszkopikus modellből származtattunk. Ha V 0 kicsi, akkor ez a van der Waals egyen- let:
8
Makai M.: Transzport78 Dinamika, a T mátrix A Boltzmann-egyenletben az ütközéseket a nemlineáris tag tartal- mazza. A statisztikus dinamika lineáris elmélet. Ezt úgy éri el, hogy a dinamika lineáris részét egy T lineáris mátrixszal helyettesíti: T-től megköveteljük, hogy őrizze meg a megfigyelhető makrosz- kopikus mennyiségeket (energia, részecskeszám, impulzus). T nem csökkentheti az entrópiát. Egy ilyen leképezés kizárólag permutációkból állhat, az E,N,I állapotokat permutálhatja. Fizikai megfontolások alapján T legyen lokális, csak a közvetlen szomszédok között teremtsen kapcsolatot. Az energiaátadásnak két pont között összhangban kell lennie a sebességekkel.
9
Makai M.: Transzport79 esetén a sebesség k x /m, ennek kellene dt idő alatt egy másik rácspontba mutatnia. Ráadásul, azt szeretnénk, ha az ugrás minden sebesség esetén csak a szomszédos rácspontra történne. Ennek érdekében a determinisztikus mozgás helyett véletlenszerű mozgást veszünk figyelembe. Legyen x-ben egy részecske és legyen a szomszédja üres. Az átugrás gyakorisága Az ugrás után x üres lesz, a szomszédja nem (irány!!!). A részecske, az energia és az impulzus átkerült a szomszédos rácspontba. A helyben maradás valószínűsége: Külső erőtérben a részecske elveszíti kinetikus energiájának a po- tenciálkülönbségnek megfelelő részét, és átugrik az új helyre. Le- gyen Érkezéskor az impulzus legyen k x ’
10
Makai M.: Transzport710 Az ugrás gyakoriságát a kezdeti és végső impulzusok átlagából határozzuk meg: Ezzel biztosítottuk, hogy megmarad az össztömeg és az összenergia, a momentumtranszfer pedig teljesíti az alábbi összefüggést: Akkor is csak a szomszéd üres helyre ugrik, ha az energiája meg- engedné a nagyobb ugrást. A nagy impulzus tehát csak az ugrás gyakoriságában jelent különbséget. A dinamika az ’ átme- neteket jelöli ki, ezért levágási frekvenciát szabunk meg. Jelölje a vizsgált átmeneteket a T x mátrix. Ilyen átmenet lehetséges min- den x helyre, legyen ezek összege T. A második főtétel teljesülé-
11
Makai M.: Transzport711 sét két módon lehet ellenőrizni. Ha T előállítható permutációs mát- rixok összegeként, vagy ha az entrópia nő a makroszkópikus válto- zókból számítva--ez a biztosíték. A hidrodinamikai egyenletek levezetése Legyen =0. Legyen N,E és P a véletlen részecskeszám, energia és impulzus eloszlása a rácson. Általában jelölje X ezek egyikét. X vár- ható értéke a T operátor (azaz, dt idő alatt végbemenő folyamatok) hatására két változáson mehet át: 1, növekedés vagy csökkenés x+ℓ pozicóval kcsh-ban 2, növekedés vagy csökkenés x-ℓ pozicóval kcsh-ban. Az első tagnak megfelelő változás X x -ben J x /ℓ:
12
Makai M.: Transzport712 A második tag hasonló módon írható fel J x+ℓ -re. A két tag együttes hatását Írja le, ami egy FD séma. Ebből látható, hogy az egyenletekben X megmaradó mennyiség. A hidrodinamikai határátmenet ℓ 0, de ℓc véges, ahol c egy nagy szám: Itt 0 egy referenciahőmérséklethez tartozó energia, c pedig a hang- sebesség. A zöld egyenlet az X véletlen mennyiség változásait adja meg, a valószínűségek (p x (k)) segítségével, az x helyen, dt idő alatt. A hidrodinamikai egyenletekben makroszkopikus átlagokra kere- sünk egyenleteket. A sűrűséget így érjük: Várható érték
13
Makai M.: Transzport713 A következő lépés tehát a véletlen változók átlagainak kiszámítása. Az átlagolás -ra vonatkozik, ebben a hely és az impulzus is sze- repel. Bayes tétele alapján a hely “kizárható”, ha x = , akkor x-ben nincs részecske, ezért Ennek alapján értékeljük ki újra X x –et (11. zöld). 1, A feltételes valószínűség a 3. lapon a piros képletből meghatároz- ható:
14
Makai M.: Transzport714 Az összeget integrállal helyettesítjük, a differenciát derivá- lással. Az első tagban található X és I korrelációja. Bármely X változó átlagának kiszámításakor felhasználható: A 10. alján szereplő képlet várható értékét képezzük: Amennyiben több dimenzió van, a differenciákat minden irányra összegezni kell.
15
Makai M.: Transzport715 Végül az X x várhatóértékre vonatkozó időbeli változást leíró egyenlet: Ha ezt összevetjük a Boltzmann-egyenletből kapott hidrodinamika egyenlettel, a különbség a jobboldali tagban van. Ebből az egyen- letből megkapjuk a korrigált hidrodinamikai egyenleteket. 1, Sűrűség X x =N x. A jobboldali tag ℓ nagyságrendű, ezért elhagyható. Továbbá, mivel N=1 az x - halmazon, nincs a korrelációs tag:
16
Makai M.: Transzport716 A valószínűségek a 12. oldalon találhatóak, kiértékelendő az alábbi integrál: Az irányokra történő szimmetrizálás után 2 rendig:
17
Makai M.: Transzport717 A sűrűség (1D): Nem részletezett számítások után az alábbi egyenletet kapjuk: Bevezetjük a diffúziós állandót:
18
Makai M.: Transzport718 Az ℓ c rendű tagokat megtartva a tömegáramra ezt kapjuk: A kontinuitás egyenlethez kezdeti- és peremértéket kell csatolni. Szokás az u=0 peremérték előírása, az adhézió miatt egy határréteg alakul ki (v.ö. Aszimptotikus analízis makroegyenletével). 2, Energia Most X x =E x. A 14. lap piros egyenlete most ahol
19
Makai M.: Transzport719 Az első tagból adódó járulékok: Az első kifejezés: energiatranszport konvekció révén. A második az ideális gáz közelítése a nyomásnak. Az integrál kiértékelése: Ez a belső energia konvekciója a részecskék diffúziója révén. Az ℓ , határátmenettel Az energiakonvekció és a nyomás Az integrál
20
Makai M.: Transzport720 3, Impulzus A 14. Oldal piros egyenletében a jobboldal elhagyható, ezért az egyenlet: X x =I, az impulzus egyik komponense a 13 oldal piros egyenletében, ebből számítjuk J i -t. Az első tag: Energia transzport konvekció révén Ideális gáz nyomása
21
Makai M.: Transzport721 A két tag együtt az entalpia transzportja. Következik a 19 oldalon lévő integrál kiértékelése. Ezekből a következő járulék adódik:
22
Makai M.: Transzport722 momentumok A 14. Oldal piros egyenletében X x =I x, az impulzus áramot a 13 oldal piros képletéből számítjuk. Az első tag a konvekció. Legyen V i =I i /m: Az integrálból kapjuk a diffúziós tagokat. Meg kell különböztetni az i=j és i j tagokat: a, i j, ekkor a jobboldal elhagyható mert rendje ℓ és nincs megszo- rozva c-vel. A baloldalon megmaradó integrál: Ez két tagra esik
23
Makai M.: Transzport723 Az i=j esetben nem részletezett számítások után az eredmény: Ezzel a makrováltozókra vonatkozó egyenleteket meghatároztuk, most még minden szétszórva van. Ahhoz, hogy össze tudjuk ha- sonlítani a kapott eredményeket a Hilbert modell első tagjaival, rendet kell rakni. Ez nem könnyű, a képletekben található integ- rálokat csak bizonyos közelítésben lehet meghatározni, akkor is csak hosszadalmasan. A szerző szerint az alábbi koherens egyen- leteket lehet levezetni:
24
Makai M.: Transzport724 Ezeket az egyenleteket kell tehát összevetni a Hilbert-elméletből kapott egyenletekkel.
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.