Valószínűségszámítás

Az előadások a következő témára: "Valószínűségszámítás"— Előadás másolata:

1 Valószínűségszámítás
Vázlatok

2 Sztochasztika - Görög eredetű: „Sejtés művészete.”
Fő problémaköre: Véletlentől függő problémát egy modellel írunk le, melynek kimenetele ugyancsak a véletlentől függ, tehát determinisztikusan nem meghatározható. STATISZTIKA VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

3 LEÍRÓ STATISZTIKA Kérdésfelvetés
Alkalmas adatgyűjtés megtervezése, végrehajtása Adatok rendszerezése és ábrázolása Abszolút és relatív gyakoriság Osztályba sorolás

4 Középértékek Módusz: Medián: Kvartilis Leggyakoribb érték.
alsó: felső: Leggyakoribb érték. Középső érték. ( Rendezhető halmazok esetén.) mediántól balra levő rész közepe mediántól jobbra levő rész közepe

5 Számtani közép: Mértani közép: Harmonikus közép:

6 Terjedelem: legnagyobb és legkisebb érték különbsége
Átlagos abszolút eltérés: m: számtani közép vagy medián Empírikus szórás:

7 „Szár-levél” (Stengel-Blatt) diagram
Adatok rendezése „Szár-levél” (Stengel-Blatt) diagram Százezresek Tízezresek 2 7 4 566

8 MARKOV-tulajdonság Legyen tetszőleges nemnegatív számokból álló sokaság. A az átlaguknál nagyobb szám. Ekkor a sokaságban legfeljebb szám nagyobb A-nál.

9 CSEBISEV-tulajdonság
Legyen az számsokaság átlaga , szórása D. Ekkor minden szám esetén legfeljebb azoknak az számoknak a száma, amelyeknek -tól vett abszolút eltérése legalább

10 VÉLETLEN MODELLEK Érmedobás Visszatevéses urnamodell
A relatív gyakoriság eloszlása lesz binomiális, mégpedig azzal a p paraméterrel, amelyet az eredmény valószínűségének nevezünk. Visszatevés nélküli urnamodell Hipergeometrikus eloszlás . (Közelítése binomiális eloszlással.)

11 BINOMIÁLIS ELOSZLÁS n = 10, p = 0,5

12 Abraham Moivre-Pierre Laplace
Gauss-féle haranggörbe VÁRHATÓ ÉRTÉK várható érték eloszlás maximuma legvalószínűbb érték SZÓRÁS eltolva (-np-vel) normálva (osztva -val) Abraham Moivre-Pierre Laplace Laplace-feltétel: n.p

13 Normális eloszlás -táblázat a görbe alatti terület meghatározására
GAUSS-FÉLE HARANGGÖRBE A görbe szimmetrikus a függőleges [(z)] tengelyre. A görbe alatti teljes terület 1.

14 (-2) 1-(2)=(-2) (z)

15 Hipergeometrikus eloszlás
N elemből K adott tulajdonságú, n kiválasztottban mekkora az esélye annak, hogy éppen k adott tulajdonságú elem , ha x: az adott tulajdonsággal rendelkező elemek száma a mintában. Megállapodás: Közelítő binomiális eloszlással, ha az elemszám legalább egy nagyságrenddel nagyobb a húzásszámnál.

16 Becsült intervallum Ismert paraméterű alapsokaságból következtetünk az ismeretlen paraméterű mintára.  pontossággal becsült intervallum, ahol A minta abszolút gyakoriságára vonatkozó intervallum.  Relatív gyakoriságra vonatkozó becsült intervallum.  - pontossággal:

17 HIPOTÉZIS-TESZT  pontossággal megfelelő eredmény SOKASÁG
/2  SOKASÁG MINTA  pontossággal megfelelő eredmény nem megcáfolható KÉTOLDALI TESZTELÉS EGYOLDALI TESZTELÉS

18 a helyes hipotézist elvetjük
HIBAFORRÁSOK ELSŐFAJÚ HIBA a helyes hipotézist elvetjük „ termelői rizikó” MÁSODFAJÚ HIBA a hibás hipotézist nem utasítjuk el „ fogyasztói rizikó”

19 KONFIDENCIA-INTERVALLUM
Ismert paraméterű mintából következtetünk az ismeretlen paraméterű alapsokaságra. h’: a megfigyelt minta relatív gyakorisága Egy  konfidencia-intervallumon mindazon értékek halmazát értjük, amelyre a h’ mintabeli relatív gyakoriság esetén a hipotézisünk nem elvethető legalábbis valószínűséggel.

20 Köszönöm a figyelmet! Rójáné Oláh Erika