A háromszög Torricelli-pontja

Az előadások a következő témára: "A háromszög Torricelli-pontja"— Előadás másolata:

1 A háromszög Torricelli-pontja

2 E részben ezt a pontot fogjuk meghatározni.
Torr-2 Piere Fermat, a kiváló francia matematikus (aki egyébként jogász volt) a következő feladványt adta Torricellinek, a Firenzében élő kiváló fizikusnak: Keresse meg a háromszög belsejében azt a pontot, melyet a csúcsokkal összekötve az összekötő szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb. Torricelli hamar megoldotta e problémát. A kapott pontot azóta is a háromszög Torricelli-pontjának (vagy más néven izogonális pontjának) nevezzük. E részben ezt a pontot fogjuk meghatározni.

3 A háromszög Torricelli- (izogonális) pontja
A háromszög Torricelli- (izogonális) pontja az a belső P pont, melyből a háromszög mindhárom oldala 120o-os szögben látszik (feltéve, hogy a háromszögnek minden szöge kisebb 120o-nál).

4 Torr-4 Először megmutatjuk, hogy a szabályos háromszög bármely belső P pontjából az oldalakra állított merőleges szakaszok hosszának összege állandó (azaz független a P pont választásától).

5 Torr-5 Legyen P pont az ABC háromszög azon belső pontja, melyből a háromszög oldalai 120o-os szögben látszanak, és állítsunk a csúcsokban merőlegeseket a PA, PB, PC szakaszokra APCT, APBQ, BPCR húrnégyszögek QRT háromszög szabályos Vegyünk egy tetszőleges K pontot és állítsunk K-ból merőlegeseket az oldalakra A megfelelő háromszögekből Az előbbi eredmény alapján

6 összeg a lehető legkisebb
Torr-6 Tehát valóban: ha a P pont a háromszög belsejében a 120o-os látókörök metszéspontja, akkor a összeg a lehető legkisebb