Thalész tétel és alkalmazása

Az előadások a következő témára: "Thalész tétel és alkalmazása"— Előadás másolata:

1 Thalész tétel és alkalmazása
Start

2 Tartalom Thalész élete Thalész tétele Feladatok Kilépés

3 Thalész élete (kb. i.e ) A milétoszi iskola képviselője, a vizet tartotta őselemnek, a mindenség alapjának. Matematikával és csillagászattal is foglalkozott. Egyiptomban egy geometriai módszerrel kiszámította egy piramis magasságát, és előre jelzett egy napfogyatkozást. Konkrét írásos emlékek, idézetek nem maradtak tőle, nem biztos, hogy feljegyezte gondolatait. A "hét görög bölcs" egyikének tartják. Az "Ismerd meg önmagad!" mondást neki tulajdonítják.

4 Thalész tétel Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója.
Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója.

5 Tétel: Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Bizonyítás: A kör átmérője AB, a körvonal két tetszőleges A-tól és B-től különböző pontja C. Rajzoljuk be az OC sugarat. Az AOC háromszögnek az alapon fekvőkét szögét jelöljük α-val. A BOC háromszögnek az alapon fekvő két szögét β -val. Az ABC háromszög belső szögeinek összege: α + β =90° Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Az ABC háromszög C csúcsánál lévő szöge derékszög. Az AOC háromszög és a BOC háromszög egyenlőszárú C α β α β α + β +(α + β )=180° A O B

6 A Thalész tétel megfordítása
Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felező pontja, az átfogó a kör átmérője.

7 A Thalész tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felező pontja, az átfogó a kör átmérője. Bizonyítás: Azt kell megmutatunk, hogy az átfogó felezőpontja egyenlő távolságra van a háromszögcsúcsaitól. Tükrözzük az ABC háromszöget az átfogó F felezőpontjára. A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt egy olyan paralelogrammát kapunk, melynek a két szemközti szöge derékszög. A paralelogramma tehát téglalap . A téglalap átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást. Tehát AF = FB = FC; épp a háromszög köré írható sugarával egyenlők. Ezzel az állítást igazoltuk. C A α β β F α B C '

8 Feladatok Thalész probléma Teszt

9 Az öreg aranyásó halála előtt elárulja fiának, hová rejtette az aranyát. Sajnos csak annyit tudott mondani, hogy a két nyárfa közelébe, oda, ahonnan a két nyárfa derékszögben látszik. Hol lehet a kincs? Lássuk a megoldást!

10 Megoldás A fiúnak olyan kör mentén kell ásnia, melynek egyik
átmérőjét a két nyárfa jelöli ki. (Szerencsére a fák gyökereinél nem kell ásnia.) Szeretnéd megoldani a feladathoz kapcsolódó tesztet? Igen

11 Teszt a feladathoz Ha a két fát 90 foknál kisebb szög alatt látjuk, akkor a) a Thalész-körön belül állunk. b) a Thalész-körön állunk. c) a Thalész-körön kívül állunk. Ha a két fát 90 foknál nagyobb szög alatt látjuk, akkor Hány helyen kellett volna ásnia az aranyásó fiának, ha azt is tudja, hogy az egyik fától milyen távolságra van az arany? (Azt nem tudja, melyik fától, csak a távolságot ismeri.) a)1 b)2 c)4 Megoldás

12 Teszt a feladathoz Ha a két fát 90 foknál kisebb szög alatt látjuk, akkor a) a Thalész-körön belül állunk. b) a Thalész-körön állunk. c) a Thalész-körön kívül állunk. Ha a két fát 90 foknál nagyobb szög alatt látjuk, akkor Legfeljebb hány helyen kell ásnia az aranyásó fiának, ha azt is tudja, hogy az egyik fától milyen távolságra van az arany? (Azt nem tudja, melyik fától, csak a távolságot ismeri.) a)1 b)2 c)4

13 Teszt Mekkora a Thalész-körbe rajzolt háromszög egyik szöge, ha a másik 45 fokos? a) 45 fok b) 90 fok c) 135 fok Egy körben egy olyan háromszög látható, melynek egy szöge derékszög. Biztosak lehetünk abban, hogy a) A háromszög egyik oldala egyenlő a kör sugarával. b) A háromszög derékszöggel szemközti oldala a kör egyik átmérője. c) A háromszög egyenlő szárú. Megoldás

14 Teszt Mekkora a Thalész-körbe rajzolt háromszög egyik szöge, ha a másik 45 fokos? a) 45 fok b) 90 fok c) 135 fok Egy körben egy olyan háromszög látható, melynek egy szöge derékszög. Biztosak lehetünk abban, hogy a) A háromszög egyik oldala egyenlő a kör sugarával. b) A háromszög derékszöggel szemközti oldala a kör egyik átmérője. c) A háromszög egyenlő szárú.

15 Teszt Miért nem érvényes Thalész tétele az átmérő két végpontjára?
a) Mert a két végpontban nincs háromszög: a háromszög oldalai egy egyenesre kerülnek. b) Mert nagyon kicsik lesznek a háromszög szögei. c) Mert az átmérő két végpontja nem tartozik a körhöz. Ha egy szakaszra Thalész-kört rajzolunk, hány olyan egyenlőszárú háromszög írható a körbe, melynek egyik oldala az adott szakasz ? a) Igen, akármennyit. b) Igen, egyet. c ) Nem. Megoldás

16 Teszt Miért nem érvényes Thalész tétele az átmérő két végpontjára?
a) Mert a két végpontban nincs háromszög: a háromszög oldalai egy egyenesre kerülnek. b) Mert nagyon kicsik lesznek a háromszög szögei. c) Mert az átmérő két végpontja nem tartozik a körhöz. Tudunk-e olyan derékszögű háromszöget rajzolni egy körbe, amelynek átfogója nem lesz a kör egyik átmérője? a) Igen, akármennyit. b) Igen, egyet. c ) Nem.