Matematika a művészetekben

Az előadások a következő témára: "Matematika a művészetekben"— Előadás másolata:

1 Matematika a művészetekben
Hegedüs Dániel, Városmajori Gimnázium Matematika a művészetekben A geometria az a művészet, amely hibás rajzokból helyes következtetéseket von le.      (Henri Poincaré)

2 Matematika / Építészet
A matematika sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika fejlődéséből létrejött rendszereket, struktúrákat, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja. Régebben a „mennyiség és a tér tudományaként” (vagyis számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg. A matematikát nehéz pontosan meghatározni még manapság is élő nem lezárt tudományos probléma. Építészet az a tevékenység, amely épületek és építmények létrehozására, tágabb értelemben az épített környezet alakítására irányul. Az embert körülvevő természeti környezet akaratlagos megváltoztatása. Az épületek megépítésén kívül építészetnek nevezzük a belső terek kialakításától kezdve egészen a városi-, esetenként regionális léptékig terjedő építészetet is. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

3 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés Arányosság Természetben és művészetekben is gyakran előfordul Egyensúly szimmetria és aszimmetria közt Ókortól használják épületeken, képzőművészeti alkotásokon A pitagoreusok a természet egyik alapkövét látták benne: ember, csiga Aranymetszés arányait tartalmazó formák nagy esztétikai értékkel bírnak Az aranyarányt numerikusan kifejező irracionális szám Φ ≈ 1,618 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

4 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Története Már az ókorban is tanulmányozták Ókori Egyiptomban is használták i. e körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is felfedezhető Ókori görögök: Pitagorasz, Theodórosz, és Eukleidész is foglalkozott vele Az ókorban isteni számnak nevezték Több művészeti alkotásban megfigyelhető: a magyar Szent Korona, Bartók Béla bizonyos zeneművei, Dante Alighieri: Isteni színjátéka, Leonardo da Vinci és Michelangelo festményei Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

5 Aranymetszés matematikája
Két rész aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész(a+b) úgy aránylik a nagyobbik(a) részhez ahogy a nagyobbik rész a kisebbikhez(b): Vagyis a nagyobbik fél hossza egyenlő az összeg és a kisebbik rész hosszának mértani közepével: Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

6 Aranymetszés a geometriában
Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

7 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Kiszámítása A definícióból kiszámolható, tehát megkapható az a Φ szám, amelyre teljesül: Definíció szerint: Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk a megoldó képlettel: Jobboldali törtet b-vel osztva: Ebbe a behelyettesítve kapjuk: Az egyenlet negatív gyöke nem megoldása a problémának, így: Φ-vel szorozva, majd 0-ra rendezve: Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

8 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Fibonacci számok A Fibonacci-számok a matematikában az egyik legismertebb másodrendben rekurzív sorozat elemei. Az elemeket az előző kettő összegeként kapjuk. Képletben: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … , 144, 233, 377, 610, …) A Fibonacci-sorozat egymást követő tagjainak hányadosából képzett sorozat (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …) határértéke éppen az aranymetszés aránya, a Φ. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

9 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés Az athéni Pantheon dinamikája is az aranymetszésből ered (A, B, C, D... H pontok). Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

10 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés Az emberi test arányaira az aranymetszetet alkalmazva a testhossz úgy aránylik a köldökmagassághoz, mint ez utóbbi a köldök-fejtető távolsághoz.  De ezt tovább is felbonthatjuk, a köldök-fejtető aránylik a köldök-váll magassággal. A mell-fejmagasság arányos a váll-fejmagassággal, és így tovább... Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

11 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés Leonardo Da Vinci: Mona Liza-ja is ezekre az arányokra épül fel. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

12 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés A Csendes óceán mélyén él a nautilus, egy a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van. Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB = FG:EG) arány aranymetszés. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

13 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés A piramis négyzet alapjának az oldalának a fele és az egyik háromszög oldallapjának a magassága az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz. Pl: a Gízai Nagy-piramis Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

14 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Aranymetszés Millói Vénusz, görög márványszobor A jól kifejlett emberi alak osztási pontja: a köldök. A test törzse és főbb tagjai szintén az aranymetszés szerint arányulnak. A korábbi, különösen a görög szoborművek arányai megfelelnek ennek az elméletének. Ha a test magassága 1000, a test alsó része a köldöktől 618, a test felső része a köldöktől 382, a fej hossza pedig 146. Ezek mind az aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz. Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

15 Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium
Források Hegedüs Dani, Városmajori Gimnázium

16 Hegedüs Dániel, Városmajori Gimnázium
Köszönöm a figyelmet! Készítette: Hegedüs Dániel Felkészítő tanára: Kertai Helga