Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. IX.. Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Idősorok elemzése.

Az előadások a következő témára: "Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. IX.. Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Idősorok elemzése."— Előadás másolata:

1 Dr. Szalka Éva, Ph.D.1 Statisztika II. IX.

2 Dr. Szalka Éva, Ph.D.2 Idősorok elemzése

3 Dr. Szalka Éva, Ph.D.3 Alapfogalmak A statisztikai elemzés szempontjából az idősornak három összetevője van. alapirányzat (trend) Periodikus ingadozás véletlenszerű ingadozás Az egyes komponensek között lehet a kapcsolat: –Additív kapcsolat: a komponensek összege adja az idősort. –Multiplikatív kapcsolat: a komponensek szorzata adja az idősort

4 Dr. Szalka Éva, Ph.D.4 Egyszerű elemzési módszerek Számtani átlag (időtartam - flow változóknál) Kronológikus átlag (állományi – stock változóknál): Nyitó és záró állomány átlagának az átlaga (ekvidisztans megfigyeléseknél – időben egymástól egyenlő távolságra levő elemek)

5 Dr. Szalka Éva, Ph.D.5 Egyszerű elemzési módszerek Átlagos változás mutatói : a változás átlagos mértéke: Az időegységre jutó átlagos változást adja meg. a változás átlagos üteme: Ez viszonyszámként adja meg a változás ütemét, fejlődést tükröz

6 Dr. Szalka Éva, Ph.D.6 Mozgóátlagolásos trendszámítás Feltételezés : nem tudjuk megadni a trendfüggvény típusát Nincs kellő ismeret, vagy Ciklusok zavarják a függvényt

7 Dr. Szalka Éva, Ph.D.7 Mozgóátlagolásos trendszámítás Az idősor t-edik eleméhez úgy rendelünk trendértéket, hogy átlagoljuk az idősor t-edik elemének bizonyos környezetében lévő elemeket m tagból számítunk mozgóátlagot:A trend „rövidül”, az elején és a végén k számú időszak kimarad Ha m=2k+1 (azaz páratlan), akkor Rövidülés mértéke:2k=m-1 Ha m=2k (azaz páros), akkor Rövidülés mértéke:2k=m

8 Dr. Szalka Éva, Ph.D.8 A mozgóátlagolás tulajdonságai Kisimítják az idősort Csökkenti a véletlen tag szerepét

9 Dr. Szalka Éva, Ph.D.9 Szezonalitás Többnyire rövid távú ingadozás Feltételezzük az időben állandó hullámhosszat és szabályos amplitúdót Meghatározza a mozgóátlag tagszámát (hullámhossz egész számú többszöröse)

10 Dr. Szalka Éva, Ph.D.10 Analitikus trendszámítás Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, akkor analitikus trendszámításról beszélünk Az idősorban lévő tartós tendenciát alkalmasan választott analitikus függvénnyel írja le, lehet: –Lineáris trendszámítás –Nemlineáris trendszámítás

11 Dr. Szalka Éva, Ph.D.11 Lineáris trendszámítás Alapmodellje

12 Dr. Szalka Éva, Ph.D.12 Lineáris trendszámítás Cél a és a paraméterek becslése Legkisebb négyzetek módszerével Minimalizáljuk a négyzetösszeget:

13 Dr. Szalka Éva, Ph.D.13 Lineáris trendszámítás Minimalizálandó négyzetösszeg: Átrendezve, deriválva és a parciális deriváltakat 0-val egyenlővé téve kapott normálegyenletek :

14 Dr. Szalka Éva, Ph.D.14 Lineáris trendszámítás A megoldáshoz kódolnunk kell az idősor adatait. Ez többféleképpen lehetségesféleképpen történhet: Ha az idősort t=1,2,3,…n kódoljuk

15 Dr. Szalka Éva, Ph.D.15 Lineáris trendszámítás Ha az idősort  t=0 módon kódoljuk, akkor különbség van a páros és páratlan számú idősor esetében. - Páratlan tagszámú időssor: évt 1999-3 2000-2 2001 20020 20031 20042 20053

16 Dr. Szalka Éva, Ph.D.16 Lineáris trendszámítás Páros tagszámú idősor esetén: évtt 1999-3,5-7 2000-2,5-5 2001-1,5-3 2002-0,5 20030,51 20041,53 20052,55 20063,57

17 Dr. Szalka Éva, Ph.D.17 Lineáris trendszámítás Ebben az esetben a normálegyenletek egyszerűbbek, és a trendfüggvény együtthatóit az alábbi képletekkel kapjuk meg

18 Dr. Szalka Éva, Ph.D.18 Lineáris trendszámítás Ezután a regresszió számításhoz hasonlóan, kiszámoljuk a reziduális szórásnégyzetet. és a reziduális szórás mutatószámát: Ez a valós értékektől való átlagos eltérését mutatja a trendértékeknek.

19 Dr. Szalka Éva, Ph.D.19 Exponenciális trendszámítás A  t=0 esetében a normálegyenletek leegyszerűsödnek:

20 Dr. Szalka Éva, Ph.D.20 Szezonális ingadozások elemzése

21 Dr. Szalka Éva, Ph.D.21 Szezonalitás Többnyire rövid távú ingadozás Feltételezzük az időben állandó hullámhosszat és szabályos amplitúdót

22 Dr. Szalka Éva, Ph.D.22 Szezonális ingadozások A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalítás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén pedig szezonindexekkel jellemezzük.

23 Dr. Szalka Éva, Ph.D.23 Szezonális eltérés

24 Dr. Szalka Éva, Ph.D.24 Szezonális eltérés Lineáris trend esetében a kapott szezonális eltérések összege nullával egyenlő. Más trendfüggvények esetében: Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára van szükség, ekkor a kiszámolt szezonális eltéréseket nyers szezonális eltéréseknek nevezzük.

25 Dr. Szalka Éva, Ph.D.25 Szezonindex vagy

26 Dr. Szalka Éva, Ph.D.26 Szezonindex A szezonindexnél is célszerű korrekciót végezni, ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le.

27 Dr. Szalka Éva, Ph.D.27 Véletlenhatás Additív összefüggés esetén: Multiplikatív összefüggéskor pedig:

28 Dr. Szalka Éva, Ph.D.28 Extrapoláció A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. A meghatározott trendegyenletbe behelyettesítjük a becsülni kívánt évhez tartozó „ti”-értéket, és kiszámoljuk a trendértékét. Ezután ha van szezonhatás, akkor azzal korrigálunk. –Additív összefüggés esetén a kiszámított trendértéket hozzáadjuk a szezonális eltérést, –multiplikatív összefüggéskor a trendértéket megszorozzuk a szezonindexszel.