A hasonlóság alkalmazása

Az előadások a következő témára: "A hasonlóság alkalmazása"— Előadás másolata:

1 A hasonlóság alkalmazása
Hasonlóság modul A hasonlóság alkalmazása

2 A mértani középpel kapcsolatos tételek
Két pozitív szám mértani (geometriai) közepe: Érintő és szelőszakaszok tétele Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakasz a pontból húzott szelőnek, és a szelő ponttól körig tartó darabjának mértani közepe: Mintapélda13 Pitagorasz-tétel alkalmazása nélkül számítsuk ki, hogy milyen hosszú érintő húzható egy 5 cm sugarú körhöz a középpontjától 12 cm távolságból? Megoldás: O P A vázlat felrajzolása után az érintő és szelőszakaszok tételét alkalmazva: cm.

3 Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek: Magasságtétel, befogótétel
Keressünk az ábrán hasonló háromszögeket, és írjuk fel a megfelelő oldalak arányát! A derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két olyan szeletre bontja, amelyek mértani közepe a magasság: A derékszögű háromszögben a befogó megegyezik az átfogónak, és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepével:

4 Két kör közös érintői A körhöz egy külső pontból húzott érintőinek megszerkesztését a Thalész-kör segítségével végezzük. A kör minden pontjából derékszögben látszik az átmérő, és az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Belső érintők: „pumpálással”. Külső érintők: „leeresztéssel”.

5 Mintapélda14 Két kör sugara 5 és 8 cm, középpontjuk távolsága 20 cm. A középpontokat összekötő egyenes mely pontjaiból húzhatók közös érintők a körökhöz? Megoldás A belső érintő, a rá merőleges sugarak és a középpontokat összekötő szakasz (ún. centrális) által alkotott két háromszög derékszögű, és a P-nél levő csúcsszögek miatt egyenlők a szögeik, ARP ~ BQP. A megfelelő oldalak aránya egyenlő: Az AB szakaszon A ponttól cm távolságban van a keresett pont.

6 A külső érintőknél szintén a szögek
egyenlősége miatt ARP ~ BQP. A megfelelő oldalak aránya egyenlő: Az AB egyenesén az A-tól cm-re, a B-től 33, ≈ 53,3 cm-re van a keresett pont.