Térfogat és felszínszámítás 2

Az előadások a következő témára: "Térfogat és felszínszámítás 2"— Előadás másolata:

1 Térfogat és felszínszámítás 2
Henger Kúp Csonkakúp Gömb Beleírt és köréírt testek

2 Egyenes körhenger felszíne:
A henger térfogata, felszíne A henger származtatása, jellemzői Hengerfelület, henger, körhenger, palást, testmagasság Körhenger térfogata: Az egyenes körhenger palástja téglalap . Egyenes körhenger felszíne:

3 Mintapélda Mintapélda1
Az üvegben a címke szerint 750 ml méz található. Milyen magasan kell állnia a méznek a henger alakú üvegben, ha az alaplap átmérője 9 cm? Megoldás 750 ml = 0,75 dm3 = 750 cm3. A térfogat képlete: behelyettesítve: A méznek az üvegben kb. 12 cm magasan kell álnia.

4 Mintapélda Mintapélda2
Egy henger magassága kétszerese az alaplap átmérőjének. Mekkora a térfogata, ha a felszíne 985,2 cm2? Megoldás ; behelyettesítve a felszín képletébe: (cm2). A térfogat értéke a összefüggésből:

5 A kúp Kúpfelület, kúp, körkúp, egyenes körkúp, palást, alkotó, testmagasság. Tengelymetszet: egyenlőszárú háromszög. φ: a kúp nyílásszöge. r 2 + M 2 = a 2

6 A kúp térfogata, felszíne
összefüggésből az egyenes körkúp térfogata: Az egyenes körkúp palástja körcikk, amelynek ívhossza egyenlő az alapkör sugarával. A körcikk területe: Hozzáadva az alapkör területét a kúp felszíne:

7 Mintapélda Mintapélda3
Egy 4 m átmérőjű, alul nyitott kúp alakú sátortól azt várjuk, hogy a szélétől 1,5 m távolságban 1,9 m magas legyen. a) Milyen magas a sátor? b) Mekkora a sátorlap körcikkének középponti szöge? c) Hány m2 anyagból készíthető el a sátorlap? Megoldás a) A hasonlóság miatt (m) b) Az alkotóra érvényes:

8 Mintapélda A megoldás folytatása
A körcikk sugara egyenlő az alkotóval, ívhossza pedig az alapkör kerületével. A középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, ezért (m) A középponti szög nagysága: c) A körcikk területe: Tehát a sátorlap elékészítéséhez kb. 20,3 m2 anyag kell.

9 Az egyenes körkúpból származtatott csonka kúp térfogata:
A csonkakúp térfogata, felszíne Ha a kúpot elmetszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és csonka kúpot kapunk. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága a testmagasság. Az egyenes körkúpból származtatott csonka kúp térfogata: A felszín kiszámításakor a csonkakúpot „szétvágjuk”: az alapkör és a fedőkör mellett egy körgyűrű-cikket kapunk. A csonka kúp felszíne:

10 Mintapélda Mintapélda4
Készítsük el egy vulkán kicsinyített modelljét A4-es papírok felhasználásával! A 14 cm sugarú körcikk még ráfér az A4-es kartonra úgy, hogy 228°-os a középponti szöge. Az alapkört, a fedőkört és a körgyűrű-cikk kisebb ívét neked kell kiszámítanod és megrajzolnod. A modell magassága 8 cm legyen! Megoldás A körcikk ívhosszából kiszámítjuk az alapkör sugarát: ez egyenlő az R sugarú kör kerületével:

11 Mintapélda A megoldás folytatása
A testmagasság: M = 8 cm, a fedőkör sugarát szögfüggvény segítségével állapítjuk meg: Mivel x = R – r , r  2,3 cm. A körcikkből 14 – a  3,6 cm sugarú körcikket kell kivágni.

12 Az r sugarú gömb térfogata és felszíne:
A gömb térfogata, felszíne A gömb egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Az r sugarú gömb térfogata és felszíne:

13 5.2 trimino A A0 É B0 J C0 Ó D0 T E0 Á A1 F B1 K C1 Ö D1 U E1 B A2 G
Találjátok meg az üzenetet! Kódtáblázat A A0 É B0 J C0 Ó D0 T E0 Á A1 F B1 K C1 Ö D1 U E1 B A2 G B2 L C2 Ő D2 Ú E2 C A3 Gy B3 Ly C3 P D3 Ü E3 Cs A4 H B4 M C4 R D4 Ű E4 D A5 I B5 N C5 S D5 V E5 E A6 Í B6 O C6 Sz D6 Z E6

14 Testekkel kapcsolatos számítások
Mintapélda5 A szilikon tömítőanyagot hengerekben árulják. A henger belső átmérője 45 mm, a tubus hossza 21,6 cm, és az aljától 4 cm-nyi helyet nem szilikon tölt ki. A henger folytatása egy 10,6 cm alkotójú csonka kúp alakú kinyomócső, amelynek egyik végén 8 mm, a másik végén 2 mm átmérőjű a lyuk. Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből? (A benne található szilikon folyékony, összenyomhatatlan.) Megoldás: A hengerbe töltött szilikon térfogata: A kinyomócső magassága: (cm) A kinyomócsőben maradó szilikon térfogata: (cm3) A kinyomott csík térfogata : A kinyomott cső sugara 1 mm, az egyenes csíkot hengerként számolva a cső hossza:

15 Mintapélda Mintapélda6
Egy szabályos, négyzet alapú gúla oldallapjai 8 cm oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beleírható és a köré írható gömb sugara? Megoldás A gömbök középpontjai a testmagasságon találhatók. A beírt gömb esetén: (cm) A derékszögű háromszögek hasonlósága miatt : (cm) A köré írható gömb középpontja az alaplap középpontjával egybeesik, mert a négyzet átlója egyenlő a testmagassággal. (cm)