Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot.

Az előadások a következő témára: "Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot."— Előadás másolata:

1 Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot a G gráf illeszkedési mátrixának nevezzük, ha bij=1, ha a j-ik él az i-ik ponthoz illeszkedő hurokél. Irányítatlan esetben az él kezdő és végpontjánál is 1 a mátrix elem.

2 Példa e1 e2 e e6 e4 e5 e7 e8 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

3 Tétel Az n pontú c összefüggő komponensből álló, hurokélmentes irányított gráf illeszkedési mátrixának rangja n-c. Összefüggőség irányított gráfban: az éleket irányítás nélkül tekintjük, és akkor ugyanaz, mint irányítatlan esetben. Bizonyítás Ha c > 1, akkor komponensenként sorolva fel a pontokat és éleket, B(G) blokkdiagonális szerkezetű lesz. C1 C2 Cc Elég tehát egy p pontú összefüggő komponensre belátni, hogy a neki megfelelő blokk rangja p-1.

4 Egy ilyen blokk sorainak száma p, és a sorok összege (0,0,…,0), mert minden oszlopban pont egy +1 és egy -1 áll. (nincs hurokél, minden élnek pontosan egy kezdő és egy végpontja van, és ezek különbözőek): a rang tehát legfeljebb p-1 Legyen F egy feszítőfa ebben a komponensben: p-1 élű. Legyen v1 az F egy elsőfokú pontja, e1 a hozzá illeszkedő él. Ekkor (F - {v1}) is egy fa, legyen v2 egy elsőfokú pontja és e2 a hozzá illeszkedő él. Általában, vi+1 legyen az (F - {v1,v2,…,vi}) fa egy elsőfokú pontja, ei+1 a hozzá illeszkedő él. Ha a blokk sorait v1,v2,…,vp sorrendben soroljuk fel, az oszlopait pedig az e1,e2,…,ep-1 felsorolással kezdjük, akkor a mátrix megfelelő p x p-1-es része a következő alakú: Azaz p-1 lineárisan független oszlopot tláltunk.

5 Tétel Vegyünk a p pontú összefüggő hurokél mentes irányított G gráf illeszkedési mátrixában p-1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisn függetlenek, ha a megfelelő p-1 él G egy feszítőfáját alkotja. Bizonyítás Az előző tétel szerint, ha fa, akkor lineárisan független. Tegyük fel, hogy van egy kör, azaz az e1,e2,…,er élek kört alkotnak ebben a sorrendben. a,b,c,d,e{-1,1} e1 e2 e3 e4 e5 v1 v2 v3 v4 v5 Az e1,e2,…,er éleknek megfelelő oszlopokban a többi elem 0.

6 a2 -e2 = -a2+b2=…= d2+e2=0 Legyenek az oszlopok u1,u2,…,ur, a diagonálisban álló elemek a1,a2,…,ar. Ekkor a1u1+…+arur=0. A feszítőfához tartozó p x p-1-es részmátrix bármely sorát elhagyva a maradék determinánsa 1, ugyanis minden esetben pontosan egy nemnulla kifejtési tag van.

7 Tétel Hagyjunk el a G összefüggő p pontú gráf illeszkedési mátrixából egy tetszőleges sort. A keletkező B0 mátrixból képzett B0·B0T mátrix determinánsa éppen a G feszítőfáinak száma. elhagyott sor A bizonyításhoz használjuk: Tétel(Binet, Cauchy) Ha M egy p x r-es, N egy r x p-es mátrix (ahol pr), akkor az M·N mátrix determinánsa ahol Mi az M valamely p oszlopából, Ni pedig N ugyanazon sorszámú soraiból áll, és a szummázás az összes lehetséges p elemű oszlophalmazra történik.

8 Példa B0-ból p-1 oszlopot kivéve, ponosan a feszítőfának megfelelők determinánsa lesz nem nulla, mégpedig ±1. B0T megfelelő soraiból álló részmátrix pont ennek transzponáltja, azaz a determinánsa ugyanaz, azaz a kettő szorzata +1. Pontosan annyi +1-et adunk össze, ahány különböző feszítőfa van.

9 Ha B0·B0T =(dij), akkor dij meghatározható
Ugyanis B0 i-ik sorát szorozzuk a j-ik sorával, hogy dij-t kapjuk. Ezt felhasználjuk Cayley tételének újabb bizonyításához.

10 Az n pontú teljes gráfra

11 Körmátrix Ha a G irányított gráf egy 2 pólusú alkatrészekből álló hálózat kapcsolási gráfja (irányítás: mérőirányok), akkor Kirchoff csomóponti törvényei (áram egyenletek) a B(G)·i=0 alakban irhatók, ahol az i vektor elemei az egyes alkatrészek áramai. Kirchoff feszültség egyenleteit a körmátrix segítségével lehet leírni: C·u=0 Írjuk elő minden egyes kör "körüljárási irányát" (tetszőlegesen, majd rögzítsük.) Ha G-nek k darab köre van, akkor C(G)=(cij) egy k x i-es mátrix, melyre cij=0, ha a j-ik él nem része az i-ik körnek, cij=1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányába mutat, cij=-1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányával ellenkező irányba mutat .

12 Megjegyzés A szomszédsági és az illeszkedési mátrixok izomorfia erejéig meghatározzák a gráfot. A körmátrix nem, például egy síkbarajzolható gráf két különböző (nem izomorf módon) lerajzolt duálisának ugyanaz a körmátrixa. Általában két gyengén izomorf gráfnak ugyanaz a körmátrixa, ha a körüljárási irányokat megfelelően jelöljük ki. Tétel Az n pontú, e élű, c komponensű irányított gráf körmátrixának rangja e - n + c.

13 Tétel Tekintsünk a p pontú, e élű összefüggő irányított gráf körmátrixában e - p + 1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a megfelelő e - p + 1 él a G egy feszítőfájának komplementere.

14 Vágásmátrix A körmátrixhoz hasonlóan definiálható: Minden vágás egy komponenst vág szét X1 , X2 részhalmazokra. Egy (u,v) él irányítása megegyezik a vágással, ha u X1 és v X2, ellentétes vele, ha u X2 és v X1. Tétel Legyen B, C és Q rendre egy hurokélmentes irányított gráf illeszkedési, kör-, illetve vágásmátrixa. Tegyük fel, hogy oszlopaik ugyanabban a sorrendben felelnek meg G éleinek. Ekkor B·CT=0 és Q·CT=0.

15 Vegyük észre, hogy B·CT=0 következik Q·CT=0-ból
Vegyük észre, hogy B·CT=0 következik Q·CT=0-ból. B részmátrixa Q –nak, hiszen az egy pontra illeszkedő élek vágást alkotnak. Q CT zij Vi Kj e1 e em e1 e2 em A zij elem meghatározásánál nem 0 szorzat a Vi vágás és a Cj kör közös éleinél van.

16 Egy szorzat az +1, ha az él irányítása a vágásban és a körben is megegyezik a vágás, illetve a kör irányításásval, vagy mindkettőben ellentétetes. Vi -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 Egy szorzat az -1, ha az él a vágás és a kör egyikével azonos, a másikkal ellentétes irányú. -1 -1 Tehát +1, ha a kör és a vágás ugyanolyan irányban „halad át” az élen, -1, ha ellentétes irányban. Ezek száma egyenlő, mert a kör pont ugyanannyiszor halad a vágással szemben, mint vele egy irányban.