A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Halász Máté Gergely Fizika Bsc., III. évfolyam TDK előadás 2010.11.17.

Az előadások a következő témára: "A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Halász Máté Gergely Fizika Bsc., III. évfolyam TDK előadás 2010.11.17."— Előadás másolata:

1 A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Halász Máté Gergely Fizika Bsc., III. évfolyam TDK előadás 2010.11.17.

2 Tartalom Bevezetés A GFR600 reaktor Feladatkitűzés A számítási modell felépítése A modellben foglalt izotópok kiválasztása Rezonancia-árnyékolás és önárnyékolás A Bateman-egyenletek A hatáskeresztmetszetek összetételtől való függése A neutronfluxus számítása A Bateman-egyenletek megoldása A Runge-Kutta-Fehlberg eljárás Az eredmények összehasonlítása Összefoglalás A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

3 A GFR600 reaktor Gázhűtés (kis voideffektus, kis abszorpció, kis korróziós hatás) Gyorsneutron-spektrum (a hűtőközeg kis sűrűsége miatt) Magas hőmérséklet (hűtőközeg: 450°C/850°C, üzemanyag: 1000-1200°C) Egykörös működés Zárt üzemanyagciklus (teljes másodlagos aktinida újrahasznosítás, 1 közeli konverziós faktor) Üzemanyagtenyésztés lehetősége Másodlagos aktinidák transzmutációjának lehetősége A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

4 Hasadás során keletkező és elnyelt neutronok aránya: aholaz egy hasadás során keletkező neutronok átlagos száma az izotóp mikroszkopikus hasadási hatáskeresztmetszete az izotóp mikroszkopikus elnyelési hatáskeresztmetszete, A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése A GFR600 reaktor

5 He gázzal történő hűtés Kis abszorpció, nincs szignifikáns moderáló hatás Gyorsneutron-spektrum Hasadásonként több neutron keletkezik Üzemanyagtenyésztés lehetősége Másodlagos aktinidák transzmutációjának lehetősége A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

6 A számítási modell felépítése

7 A modellben foglalt izotópok kiválasztása A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése A számítási modell felépítése

8 UránNeptúniumPlutóniumAmeríciumKűrium 232 U 235 Np 236 Pu 241 Am 240 Cm 233 U 236 Np 237 Pu 242m Am 241 Cm 234 U 237 Np 238 Pu 243 Am 242 Cm 235 U 239 Pu 243 Cm 236 U 240 Pu 244 Cm 237 U 241 Pu 245 Cm 238 U 242 Pu 246 Cm 243 Pu 247 Cm 244 Pu 248 Cm A modellben foglalt izotópok kiválasztása A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése A számítási modell felépítése

9 Rezonancia-árnyékolás és önárnyékolás A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

10 Rezonancia-árnyékolás és önárnyékolás Tekintsük az alábbi neutronspektrumot: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése fluxus 1/cm 2 s E MeV

11 Rezonancia-árnyékolás és önárnyékolás Az aktinida abszorpciós hatáskeresztmetszete: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése (cm 2 ) E0E0 MeV E

12 Rezonancia-árnyékolás és önárnyékolás A módosult neutronspektrum: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése fluxus 1/cm 2 s E MeV E0E0

13 A reakciósebesség: aholaz adott izotóp magszáma az izotóp teljes spektrumra átlagolt mikroszkopikus hatáskeresztmetszete a teljes spektrumra integrált neutronfluxus A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

14 Az egycsoportos mikroszkopikus hatáskeresztmetszet: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

15 Az egycsoportos mikroszkopikus hatáskeresztmetszet: Az egycsoportos hatáskeresztmetszet a neutronspektrum függvénye. A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

16 Adott izotóp mennyiségének változását leíró ún. Bateman-egyenlet: Az üzemanyag-összetétel időbeli változása: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

17 Behelyettesítve a rátákat: ahol az i izotóp j izotópból k típusú reakcióval történő keletkezési rátája az i izotóp j izotópból spontán radioaktív bomlással történő keletkezési rátája az i izotóp k típusú reakcióból származó fogyási rátája az i izotóp spontán radioaktív bomlásból származó fogyási rátája

18 A hatáskeresztmetszetek izotóp-összetételtől való függése A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Az izotóp-összetétel egyértelműen meghatározza az egycsoportos mikroszkopikus hatáskeresztmetszeteket. Lehetséges módszer: Az egycsoportos hatáskeresztmetszetek analitikus függvényekkel történő közelítése Az egyes hatáskeresztmetszet függvények paraméterei a magsűrűségek.

19 A regressziós probléma Minden hatáskeresztmetszet 31 izotóp magsűrűségének nemlineáris függvénye. Illesztett függvény: Az összes összetételre felírva a fenti egyenletet egy túlhatározott lineáris egyenletrendszert kapunk. Polinomok előnye:Az együtthatóknak lineáris függvénye. A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

20 A regressziós probléma Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakban: Megoldása általános esetben mátrix-invertálással történik: Túlhatározott egyenletrendszer esetében nincsen egyértelmű megoldás. A legkisebb négyzetösszegű eltéréshez tartozó megoldást keressük. A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

21 A regressziós probléma A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Túlhatározott egyenletrendszer esetében nem alkalmazható a hagyományos inverz művelet. Megoldás:Moore-Penrose pszeudoinverz segítségével.

22 A regressziós probléma A Moore-Penrose pszeudoinverz Definíció: Egy mxn-esmátrix pszeudoinverze,az egyedüli mxn-es mátrix, mely kielégíti az alábbi négy feltétel mindegyikét: 1. 2. 3. 4. A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

23 A regressziós probléma A Moore-Penrose pszeudoinverz Két kapcsolódó tétel: Amennyiben a mátrix oszlopai lineárisan függetlenek, a pszeudoinverz zárt alakban megadható: I. II.Amennyiben a mátrix oszlopai lineárisan függetlenek, a lineáris egyenlet- rendszer legkisebb négyzetek problémájának egyetlen megoldása van, melyet a pszeudoinverz ad meg: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

24 A regressziós probléma Az átlagos relatív eltérés százalékos értéke: Jellemzően 4% körüli érték, de előfordulnak 60-70%-os átlagos eltérések is.

25 235 U izotóp (n,2n) mikroszkopikus egycsoportos hatáskeresztmetszete: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése mikroszkopikus hatáskeresztmetszet (barn) 235 U relatív magsűrűsége

26 245 Cm izotóp (n,γ) mikroszkopikus egycsoportos hatáskeresztmetszete: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése mikroszkopikus hatáskeresztmetszet (barn) 245 Cm relatív magsűrűsége

27 235 Np izotóp (n,3n) mikroszkopikus egycsoportos hatáskeresztmetszete: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése 235 Np relatív magsűrűsége mikroszkopikus hatáskeresztmetszet (barn)

28 A neutronfluxus kiszámítása A reaktor teljesítménye: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése ahol az i izotóp mikroszkopikus hasadási hatáskeresztmetszete (cm 2 ) az i izotóp magszáma az egy hasadás során átlagosan felszabaduló energia (208 MeV) a teljes spektrumra integrált neutronfluxus (1/cm 2 ) a reaktor teljesítménye (MW)

29 A neutronfluxus kiszámítása Átrendezve az egyenletet a neutronfluxus: ahol az i izotóp mikroszkopikus hasadási hatáskeresztmetszete (cm 2 ) az i izotóp magszáma az egy hasadás során átlagosan felszabaduló energia (208 MeV) a teljes spektrumra integrált neutronfluxus (1/cm 2 ) a reaktor teljesítménye (MW) A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

30 A Bateman-egyenletek megoldása Elsőrendű közönséges differenciálegyenletekből álló egyenletrendszer. Példa: 232 U izotópra vonatkozó Bateman-egyenlet A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

31 A Bateman-egyenletek megoldása Megoldása: Runge-Kutta-Fehlberg numerikus eljárás használatával. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletekből álló egyenletrendszer. Példa: 232 U izotópra vonatkozó Bateman-egyenlet A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

32 A Bateman-egyenletek megoldása Megoldása: Runge-Kutta-Fehlberg numerikus eljárás használatával. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletekből álló egyenletrendszer. Tekintsük az alábbi differenciálegyenletet: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

33 A Bateman-egyenletek megoldása A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Runge-Kutta-Fehlberg eljárás:

34 A Bateman-egyenletek megoldása Runge-Kutta-Fehlberg eljárás: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

35 Runge-Kutta-Fehlberg eljárás: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Negyedrendű Runge-Kutta módszerrel történő becslés:

36 Runge-Kutta-Fehlberg eljárás: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Negyedrendű Runge-Kutta módszerrel történő becslés: Ötödrendű Runge-Kutta módszerrel történő becslés:

37 Runge-Kutta-Fehlberg eljárás: Negyedrendű Runge-Kutta módszerrel történő becslés: Ötödrendű Runge-Kutta módszerrel történő becslés: Az optimális lépésköz meghatározása A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

38 Runge-Kutta-Fehlberg eljárás: Az optimális lépésköz: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

39 Az eredmények összehasonlítása Kezdeti üzemanyag-összetétel: LWR reaktortípusból származó kiégett üzemanyag, 8% másodlagos aktinida tartalommal. Üzemanyag-összetétel nyomon követése: 300 napon keresztül.

40 234 U izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Idő (napok) Tömeg (kg)

41 237 Pu izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Tömeg (kg) Idő (napok)

42 237 U izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Tömeg (kg) Idő (napok)

43 238 Pu izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Tömeg (kg) Idő (napok)

44 235 Np izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Tömeg (kg) Idő (napok)

45 248 Cm izotóp mennyiségének változása az idő függvényében: A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Tömeg (kg) Idő (napok)

46 Az eltérések oka 248 Cm izotópra vonatkozó Bateman-egyenlet: 248 Cm izotóp keletkezése: 247 Cm izotópból (n,γ) reakcióval. 247 Cm izotóp (n,γ) hatáskeresztmetszet-függvény illesztésének hibája: 63% Saját hatáskeresztmetszet-függvényeinek illesztése viszonylag pontos. A jelentős eltérés oka a 247 Cm izotóp (n,γ) hatáskeresztmetszet-függvény illesztésének nagy pontatlansága. A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

47 Az eltérések oka A neutronfluxus pontatlansága A neutronfluxus hibájának okai: A hasadási hatáskeresztmetszet-függvények pontatlan illesztése Az izotópok mennyiségében jelentkező egyre nagyobb mértékű hiba A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése

48 Összefoglalás A GFR600 reaktor üzemanyagciklusának matematikai modellezése Az egycsoportos hatáskeresztmetszetek valóban jól közelíthetőek analitikus függvényekkel. Az egyszerűsített számítási modell többé-kevésbé pontosan visszaadja az eredeti kiégésszámítások eredményeit. A koncepció alkalmas az üzemanyag-összetétel változásának meghatározására, a modell továbbfejlesztésével várhatóan megvalósítható az eredeti kiégés- számítások eredményeinek nagy pontosságú reprodukálása. Elegendő számú érdemi kiégésszámítás megléte esetén a modell könnyen adap- tálható más reaktortípusokra is, lehetővé téve ezzel a nukleáris üzemanyagciklus- modellezésben történő széleskörű használatát.

49 Irodalomjegyzék [1]Perkó, Z.: Investigating the fuel cycle and the transmutational capabilities of Gas-Cooled Fast Reactors; Master thesis, BME-NTI, 2010 [2]Cambra, D. S.: Analysis of the evolution of the Actinides Composition and their Reaction Rates in GFR600, Master thesis, BME-NTI, 2010 [3]Mathews, J. H., Fink, K.K.: Runge-Kutta-Fehlberg method; In: Numerical Methods Using Matlab, 4 th Edition; Prentice-Hall Inc., New Jersey, 2004, pp.497-499. [4]http://en.wikipedia.org/wiki/Moore-Penrose_pseudoinversehttp://en.wikipedia.org/wiki/Moore-Penrose_pseudoinverse [5]Gauld, I. C., Hermann O. W., Westfall, R. M.: ORIGEN-S: SCALE system module to calculate fuel depletion, actinide transmutation, fission product buildup and decay, and associated ratiation source terms, UT-Batelle Inc., LLC, Oak Ridge, Tennessee, 2005

50 Köszönöm a figyelmet!