Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek

Az előadások a következő témára: "Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek"— Előadás másolata:

1 Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletek

2 Fizikai terek: az áramló közegek (kontinuumok) fizikai jellemzői a térben folytonosan oszlanak meg. E térbeli megoszlásokat gyűjtőnévvel fizikai tereknek nevezzük.

3 Jellemzők lehetnek: skalár mennyiségek (csak nagyságuk van) pl.: nyomás, hőmérséklet, térerősség vektor mennyiségek (nagyság, irány, értelem) pl.: sebesség, gyorsulás, erő

4 Skalár mennyiségek skalár térben, vektor mennyiségek vektor térben kezelhetők.
Speciális vektor tér az erőtér: erőtér az a térbeli tartomány, amelynek bármely pontjában meghatározott irányú, nagyságú és értelmű erő hat.

5 Áramlástanban: Következménye:
Meghatározott irányú és nagyságú erő hat az erőtérben levő folyadékelemre. folyadékok mozgása erőtérben. Következménye:

6 A térerők burkoló görbéi az erővonalak.
Az erőteret a létrehozó jelenségről nevezzük el. erővonalak gravitációs erőtér: föld tömeg vonzásából adódik (minden áramlástechnikai feladatnál fellép) centrifugális erőtér mágneses erőtér, stb. A térerők burkoló görbéi az erővonalak.

7 Az erőtér irányában elmozduló tömeg munkát végez, a térerő ellenében csak munkabefektetéssel lehet elmozdulni. Az erőtér valamely pontjában az egységnyi tömegre ható erőt térerősségnek nevezzük. térerő tömegerő

8 A teljes rendszerre ható tömegerők (térfogati erők) eredője:

9 Az erőtérben nyugvó tömegegységnek munkavégző képessége van, melyet potenciálnak nevezünk.
A munka általános egyenlete alapján:

10 az egységnyi tömeg munkavégző képessége (potenciál)
A valóságban helyesen ill. ahol a negatív előjel arra utal, hogy a térerő mindig a csökkenő potenciál irányába mutat.

11 Az egységtömeg munkája azaz a potenciál:
egyenlet alapján E=const

12 z2 x z 2 1 z1 Munkát kell befektetni, ha 1-ből 2-be kívánjuk emelni a testet. Ha nehézségi erőteret vizsgálunk a fenti koordináta- rendszerben, tehát z g akkor E=-g

13 Bármely úton 1-ből a 2-be jutáshoz munka befektetés szükséges (egységnyi tömeg esetén a potenciál):
2-ből 1-be munkaszolgáltatás

14 Ha azaz igaz akkor az erőtér potenciálos vagy más néven konzervatív erőtér (Mi csak ilyennel foglalkozunk) A munka csak a kezdő ill. véghelyzettől függ. (A tömeg mechanikai energiatartalma nem változik.)

15 Ilyen erőterek: A föld gravitációs erőtere
az egyenes vonalú gyorsuló mozgás tehetetlenségi erőtere centrifugális erőtér elektrosztatikus erőtér

16 equipotenciális felület
2 1 equipotenciális felület E A tér azonos potenciálú felületeit, amelyek munkavégzés képessége azonos equipotenciálos felületeknek nevezzük.

17 F Ö L D Például egységtömeg esetén z magasságban a potenciál: z
a jelölt koordináta-rendszer esetén z x F Ö L D g s=z U=U z=0 U=U0

18 Általános megfogalmazás:
potenciál potenciális energia

19 A potenciális energiák különbsége egyenlő azzal a munkával, amelyet a konzervatív erőknek kell végeznie ahhoz, hogy a testek 1-ből a 2-be kerüljenek. általános alak:

20 Sebességtér: (a vektortér analógiája alapján dolgozzuk fel)
A teret, melyet áramló folyadék tölt ki sebességtérnek nevezzük. A tér minden egyes pontjához (tömegpontjához) tartozik egy sebességvektor (nagyság, irány és helyzet)

21 equipotenciális felület
Azokat a görbéket, melyeknek érintői az adott pillanatban a sebességvektorok, áramvonalnak nevezzük. 1 2 equipotenciális felület

22 Formai analógia: erőtér Sebességtér - erővonalak - áramvonalak
- sebesség potenciál - potenciál

23 A sebességtér potenciálja:
A vektortér analógiájára, ha a sebességtér 1-es pontjából a 2-esbe.

24 Majd 2-esből az 1-esbe mozgatjuk a tömegpontot
potenciális áramlásról beszélünk.

25 ha egy zárt görbe mentén vett potenciál értéke 0 (zérus) potenciálos az áramlás, jelölése:
(Áramlásban a v·ds szorzatot cirkulációnak nevezzük) Potenciálos az áramlás, ha a sebesség zárt görbe mentén vett cirkulációja zérus Bővebb magyarázat nélkül: a potenciális áramlások egyben örvénymentes (rotációmentes, forgásmentes) áramlások is. Egyszerűbben:

26 Fizikai szemléltetése: Potenciálos örvénymentes

27 Nem potenciálos örvényes

28 vt r potenciálos áramlás rotációs vt vt r vt

29 vt r perdületállandóság potenciálos áramlás rotációs hiperbola vt r egyenes

30 Egy sebességtér stacionárius, ha a sebesség a tér minden pontjában időben állandó; azaz
és instacionárius az áramlás, ha a sebesség a tér azonos pontjában időfüggő: Más néven: stacionárius = időálló instacionárius = nem időálló

31 Példa: időálló: szivattyúból kilépő víz v=áll. sebessége nem időálló: szabad kifolyású tartály kilépési sebessége

32 Áramlás folytonosságának törvénye: KONTINUITÁS TÉTELE
Anyagmegmaradás elve mozgó kontinuumokra: Tetszőlegesen zárt rendszer m tömege az áramlás folyamán nem szaporodhat sem, nem csökkenhet.

33 ha

34 Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) közegek esetén
azaz a sűrűség nem függvénye az időnek. Folyadékoknál 100 bar alatt mindig igaz. Gázok összenyomhatatlanoknak tekinthetünk ha sebességük lényegesen kisebb, mint a hang terjedési sebessége.

35 (Mack számmal lehet jellemezni)
Ma < 1 hangsebesség alatti (szubszonikus) Ma > 1 hangsebesség feletti (szuperszonikus) Ma > 5 (hiperszonikus)

36 Vizsgáljuk meg a differenciálegyenlet második tagját:
Tekintsük az elemi áramcsövet Áramcső egy K zárt görbére illeszkedő áramvonalakból álló áramfelület, melynek dA keresztmetszete olyan kicsi, hogy a sebességeloszlást egyenletesnek vehetjük. zárt rendszerben

37 Adott felületen átáramló tömegáram:
vs Összegezve az összes áramlási keresztmetszetet K dA

38 Egy kijelölt áramcső bármely két keresztmetszetére igaz, hogy
vs2 A2 A1 dA vs1 dA azaz általánosságban

39 Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely
Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegységében ugyanannyi tömeg halad át. INKOMPRESSZIBILIS közeg esetén Összenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegység alatt ugyanakkora térfogatú közeg halad át.