Fibonacci-sorozat.

Az előadások a következő témára: "Fibonacci-sorozat."— Előadás másolata:

1 Fibonacci-sorozat

2 Hogy Leonardo Fibonacci itáliai matematikusnak voltak-e nyulai, azt nem tudni, de 1202-ben annyira elmélyült a nyúltenyésztés problémájában, hogy az eredmény egy újfajta számsorozat lett, melyet róla neveztek el. A sorozat elemei több természetes képződményben fellelhetőek, például csigaházakban vagy a napraforgóban.

3 Fibonacci gondolatkísérlete szerint egy nyúlpár a második hónaptól képes szaporodni, és innentől fogva a nyúlmama havonta egy hím és egy nőstény nyulat hoz a világra. Az érési idő elteltével aztán ezek az utódok is sokasodni kezdenek, és soha nem pusztulnak el, hiszen matematikai nyulak. A nyúlpárok száma így az egyes hónapokban 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, és ez még csak egy év volt. A sorozat tagjainak rekurzív (ismétlődő lépésekből álló műveletsorozaton alapuló) képzési szabálya nagyon egyszerű (az új tag mindig az előző két tag összege), de az úgynevezett explicit képlet (a sorozat n-edik tagjára vonatkozó képlet) is ismert. Az igazsághoz hozzátartozik, hogy indiai matematikusok mintegy 50 évvel megelőzték Fibonaccit e sorozat felismerésében (aki erről nem tudott).

4 A sorozat a negatív számokra is kiterjeszthető
A sorozat a negatív számokra is kiterjeszthető. A "mínuszos" tagok esetében a sorozat oszcillál, a pozitív sorszámú tagok viszont csaknem exponenciálisan növekedve követik egymást. Ez nem mértani sorozat, a hányados tehát nem állandó, azonban ahogy egyre nagyobb tagokat veszünk, a szomszédos tagok hányadosa egyre közelebb kerül az ókor óta ismert 1, hoz, a nevezetes aranyszámhoz, amely az aranymetszést kifejező szám. Egy szakasz akkor van az aranymetszésnek megfelelően kettéosztva, ha a hosszabbik darabja úgy aránylik a rövidebbhez, mint az egész a hosszabbhoz.

5 Számos természeti képződményben felismerhetőek az aranymetszés, illetve a Fibonacci-sorozat elemei: puhatestű-házakban (aranyspirál), napraforgóban, sőt az emberi testben is. A napraforgó tányérjában ülő magok spirálok mentén helyezkednek el. Az óramutató járása szerinti spirálok száma nem azonos az ellentétes spirálok számával,  hanem két szomszédos Fibonacci számnak felelnek meg.

6

7 Feladatok 1. Egy lépcsőn szeretnénk feljutni úgy, hogy minden lépésben vagy 1 vagy 2 lépcsőfokot lépünk felfelé. Hány különböző módon juthatunk fel, ha a lépcső 10 fokból áll? 2. Bizonyítsuk be, hogy f1 + f2 + f3 + …. + fn = fn+2 – 1, ha n ≥ 1 és ahol fn a Fibonacci sorozat n. tagja! 3. Bizonyítsuk be, hogy f2 + f4 + f6 + …. + f2n = f2n+1 – 1, ha n ≥ 1 és ahol fn a Fibonacci sorozat n. tagja! 4. Bizonyítsuk be, hogy fn-1*fn+1 – fn2 = (-1)n, ha n>1 és ahol fn a Fibonacci sorozat n. eleme! (Ez az ún. Cassini azonosság)